数理方程11,12

1、数学物理方程与特殊函数数理系数理系 赵引川赵引座座52317世纪微积分学产生以后，数学家、物理学家用微积分工具处理力学、物理学中的一些问题，产生了大量的微分方程（Differential Equation）问题。如欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）研究流体力学，拉普拉斯（Laplace）研究势函数，傅里叶(Fourier)研究热传导理论时都归结出一些偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）问题。什么是数学物理方程？什么是数学物理方程？ 通常把物理学和其他自然科学、技术科学中遇到通常把物理学和其他自然科学、技术科学中

2、遇到的偏微分方程称为的偏微分方程称为数学物理方程数学物理方程，数简称为数理方程。，数简称为数理方程。含有未知多元函数及其若干阶偏导数的关系式称为含有未知多元函数及其若干阶偏导数的关系式称为偏微分方程偏微分方程，例如，例如 ： 222222222, , ,uuuuaf x y z ttxyz2222222, ,uuuuafx y z ttxyz222222,uuufxy z txyz 22212222200txxxxtxxnubuuuuuf uuuuuxxxuuxy 一般的，含有n个自变量 的一个未知函数的偏微分方程可写成如下形式12nxxx 22121112,0knknnuuuuuF xx u

3、xxxx xx 其中 是已知函数， 为未知函数，而方程在自变量 的维空间 的某区域 内考虑。F12nuu xxx12nx xxnnR偏微分方程的阶，线性、非线性、拟线性、半偏微分方程的阶，线性、非线性、拟线性、半线性与全非线性方程线性与全非线性方程 出现在方程中的未知函数的最高阶偏导数阶数称为方程的阶数阶数。 如果一个偏微分方程对于未知函数及其所有的偏导数都是线性的，则称为线性方程。否则，称为非线性方程。 如果一非线性方程仅对未知函数的所有最高阶偏导数是线性的，并且系数仅依赖于自变量及未知函数的阶数低于最高阶的偏导数，则称为拟线性方程。进而，若最高阶偏导数的系数仅是自变量的函数，则这种拟线性方

4、程称为半线性方程。 如果方程对未知函数的最高阶偏导数不是线性的，则称为全非线性方程。线性线性PDE非线性非线性PDEPDE拟线性拟线性PDE全非线性全非线性PDE半线性半线性PDE数理方程的内容 把实际问题抽象为数学模型，归结为偏微分方程的求解问题； 提供方程的解法，使能得出解的表达式或解的计算方法； 研究解的性质。第一章第一章 一些典型方程和定解条件的推导一些典型方程和定解条件的推导根据系统边界所处的物理条件和初始状态列根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；出定解条件；从不同的物理模型出发，建立数学物理中三从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类典型方程；类典型方程；提出相应的定

5、解问题提出相应的定解问题1.1 1.1 基本方程的建立基本方程的建立导出数学物理方程的一般方法：导出数学物理方程的一般方法：确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式;简化整理，得到方程。 例1. 弦的微小横振动假设与结论：假设与结论：（1 1）横振动：全部运动出现在一个平面）横振动：全部运动出现在一个平面 上，弦上的点沿垂直于上，弦上的点沿垂直于 轴方向运动轴方向运动 坐标系坐标系oxu，位移位移u(x,t) x（4）有一个随时间变化的外力）有一个随时间变化的

6、外力 作用在弦上，其作用方向垂直于作用在弦上，其作用方向垂直于 轴，轴， 密度密度 ,g t xx（2）弦柔软，做微小振动）弦柔软，做微小振动|1xu（3）弦所受的重力与张力相比小到可）弦所受的重力与张力相比小到可 以忽略不以忽略不uxolMMMxdx dsgds TT uoxMx建立方程建立方程： 取微元 MM ，研究在水平方向和铅垂方向 MM 在受外力的情况下的运动情况。Mxdx dsgds TT uoxMxNN受力分析：受力分析： 10, ,xxxFg td 张力张力12,( , ),( , )T x tT x t T x t 则则21/xTTtgu外力外力由牛顿第二定律由牛顿第二定律M

7、xdx dsgds TT uoxMxNN12,0T x tT xx tFF 2220, xxxuFdt 11( ,)( , )0T t xxT t x水平方向水平方向 2222( ,)( , )( , )xxxuT t xxT t xg tdt 222( , )0 xxxTug tdxxt =这说明：这说明：11()= (t)T x,tT竖直方向：竖直方向： 222,xxxTTt xxTt xdxx 其中其中由微元的任意性知由微元的任意性知2( , )( )0ttTg t xx ux 又又2211( , )( )( )xxxTT t xu T tu T tx 1( )( , )( )0 xxt

8、tu T tg t xx u 从而从而22212111xTTTTTuT 弦在振动过程中并未伸长，因此由胡克定理知，张力弦在振动过程中并未伸长，因此由胡克定理知，张力T不随时间而变化，从而不随时间而变化，从而T为常数为常数。21dxxxxsuxx 2222( , )uuxTg t xtx若弦是均匀的，则若弦是均匀的，则 常数，常数，于是上式可以写成于是上式可以写成22222( , )uuaf t xtxTa( , )( , )g t xf t x注注2 2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波和声波的传播）和三维波动方程（例如

9、电磁波和声波的传播）, ,它它们的形式分别为们的形式分别为 2, ,ttxxyyuauufx y t 2, , ,ttxxyyzzua uuuf x y z t 注注3: 3: 有一均匀杆，只要杆有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或者速度，必定导致邻段的中任一小段有纵向位移或者速度，必定导致邻段的压缩或者拉长，这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆压缩或者拉长，这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆传播。以传播。以 u(x,t) 表示杆上各点的纵向位移，则杆的表示杆上各点的纵向位移，则杆的纵振动方程和弦的横振动方程相同，即纵振动方程和弦的横振动方程相同，即完全不同的完全不同的物理过程物理过程, ,可以用相

10、同的数学表达式描述可以用相同的数学表达式描述。例2：热传导方程如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热热传导。传导。考虑物体考虑物体G 内的热传导问题。函数内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表示表示物体物体G 在位置在位置 (x,y,z) 以及时刻以及时刻 t 的温度。通过对的温度。通过对仍意一个小的体积元仍意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建内的热平衡问题的研究，建立方程。立方程。假设：假设：假定物体内部没有热源，物体的热传导系假定物体内部没有热

11、源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比热是常数。热是常数。热流密度热流密度q 与温度的梯度成正比，符号相反，即gradqku 物体在无穷小时间段dt内，流过一个无穷小面积 dS的热量dQ为d d d grad d d d dQq nS tku nS tukS tn 其中n 为dS的外法线方向。SVM S n 热场热场傅立叶实验定律傅立叶实验定律,udQkdSdtn 从时刻从时刻 到时刻到时刻 经过曲面经过曲面S 流入流入区区域域V 的热量为的热量为1t2t211ttSuQkdS dtn 21txyztVkukukudVdtxyz

12、高斯公式高斯公式 210ttxyztVcukukukudVdtxyz 在时间间隔在时间间隔 中物体温度从中物体温度从 变化变化到到 所需要的热量为所需要的热量为12 ,t t1( , , , )u x y z t2( , , ,)u x y z t 221, , , , ,dVQcu x y z tu x y z tV 比热比热密度密度2211ttttVVuucdt dVcdV dttt 由于所考察的物体内部没有热源由于所考察的物体内部没有热源, , 根据能量守根据能量守恒定律可得，恒定律可得，21,QQ 即即由于时间由于时间 , , 和区域和区域 V 都是任意选取的都是任意选取的, ,并且并

13、且被积函数连续被积函数连续, , 于是得于是得1t2t xyzuckukukutxyz ( (非均匀的各向同性体的热传导方程非均匀的各向同性体的热传导方程) )对于均匀的各向同性物体，对于均匀的各向同性物体， k为常数，记为常数，记2kac 则得齐次热传导方程则得齐次热传导方程: :2222222uuuuatxyz 三维热传导方程三维热传导方程若物体内部有热源若物体内部有热源 F(x,y,z,t), , 则热传导方程为则热传导方程为 2222222, , ,uuuuafx y z ttxyz其中其中 , , ,.Ffx y z tc 在上述热传导方程中在上述热传导方程中, , 描述空间坐标的独

14、立变量描述空间坐标的独立变量为为 , , 所以它们又称为三维热传导方程所以它们又称为三维热传导方程. . 当考当考察的物体是均匀细杆时察的物体是均匀细杆时, , 如果它的侧面绝热且在同如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同一截面上的温度分布相同, , 则可以得到一维热传导则可以得到一维热传导方程方程 , ,x y z222uxuat 22222uuxyuat 类似类似, , 如果考虑一个薄片的热传导如果考虑一个薄片的热传导, , 并且薄片的并且薄片的侧面绝热侧面绝热, , 可以得到二维热传导方程可以得到二维热传导方程当我们考察气体的扩散当我们考察气体的扩散, ,液体的渗透液体的渗透, ,

15、 半导体半导体材料中的杂质扩散等物理过程时材料中的杂质扩散等物理过程时, , 若用若用u表示表示所扩散物质的浓度所扩散物质的浓度, , 则浓度所满足的方程形式则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同和热传导方程完全相同. . 所以热传导方程也叫所以热传导方程也叫扩散方程扩散方程. .例3 拉普拉斯方程当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、扩散等的扩散等的稳定稳定过程时，由于表达该物理过程的物过程时，由于表达该物理过程的物理量理量 不随时间变化而变化，因此不随时间变化而变化，因此 . .u0ut 如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到如果我

16、们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到不随时间变化而变化的温度不随时间变化而变化的温度 所满足的方所满足的方程：程： , , ,u x y z t2222220,(*)uuuxyz 方程方程( (* *) )称为称为三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程或者或者调和方程调和方程，它通常表示成为它通常表示成为 或者或者 的形式。的形式。0u 20u 拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静电场的电位分布等物理现象。电场的电位分布等物理现象。 222222, ,( )uuufx

17、y zxyz 其中其中 , ,( , , )/ .fx y zF x y xk 如果我们考虑有源的稳定热场，则可以得到方程：如果我们考虑有源的稳定热场，则可以得到方程：非齐次方程非齐次方程 通常叫做通常叫做泊松方程泊松方程，记作，记作 , ,ufx y z 或者或者 2, ,.ufx y z ( ) 待研究物理量: 电流强度 i (x,t),电压 v (x,t)xR xL xG xC iii vvv R 每一回路单位的串联电阻每一回路单位的串联电阻,L 每一回路单位的串联电感，每一回路单位的串联电感，C 每单位长度的分路电容，每单位长度的分路电容，G 每单位长度的分路电导，每单位长度的分路电导

18、，Kirchhoff 第一,二定律tixLixRvvvvxGtvxCiii )()( 00RitiLxvGvtvCxi微分第一个方程关于x求偏导，第二个方程关于t并乘以常数C得：22222200ivvCGxx txviiCCLCRx ttt 两式相减得：22220iiviCLGCRxtxt 并把viLRixt 代入得：22220iiiiCLGLRiCRxttt从而 2222iiiCLRCRLGRixtt 类似的可以得到关于v的方程GRvtvGLRCtvLCxvGRitiGLRCtiLCxi )()(22222222 传输线方程2222222211xvLCtvxiLCti 高频传输，G=0, R

19、=0高频传输线方程化简与一维波动方 程 类 似电场强度：磁场强度：电感应强度：磁感应强度：EHDB满足麦克斯韦方程组rot (1.8)rot (1.9)div 0 (1.10)div (1.11)DHJtBEtBD EtEHtH22222211 其中H磁场强度E电场强度导导磁磁率率。介介电电常常数数， 三维波动方程麦克斯维方程组物 质 方 程 组 (1.12) (1.13) (1.14)DEBHJE 对方程(1.8)两边取旋度得22rotrot rot rot rot rot HJDtEEtBBtttHHtt 利用公式222rotrot graddiv 1 graddiv HHHBHH 得到2

20、22HHHtt 消去H得到E的方程222EEEtt 从方程(1.11)与(1.12)还可以推导出静电场的电位所满足的微分方程=div div E= div ED 电场强度E与电位u之间存在关系grad Eu 2div div grad Euu 两边取散度得从而静电场的电位方程静电场的电位方程 u2 Poisson方程02 u Laplace方程波动方程波动方程 声波、电磁波、杆的振动；声波、电磁波、杆的振动；热方程热方程 热传导，热传导， 物质扩散时的浓度变化规律物质扩散时的浓度变化规律, , 长海峡中潮汐波的运动，长海峡中潮汐波的运动， 土壤力学中的渗透方程；土壤力学中的渗透方程；Lapla

21、ceLaplace方程方程 稳定的浓度分布稳定的浓度分布, ,静电场的电位静电场的电位, , 流体的势流体的势. .总总 结：结：1.2 1.2 初始条件与边界条件初始条件与边界条件热传导问题：若热传导问题：若 f(M) 表示表示 t = 0 时物体内一点时物体内一点M的温度，则的温度，则热传导问题的初始条件热传导问题的初始条件为为泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态的，与时泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态的，与时间无关，所以不提初始条件。间无关，所以不提初始条件。 0,|.tu M tf M ( )0( )0 xx且称为齐次边界条件)(),(00 xuxuttt )(),(xx 弦振动问

22、题：设初始位移、初始速度为 ,则波动方程的初值条件若 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。关不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。关于于t t的的n n阶偏微分方程，要给出阶偏微分方程，要给出n n个初始条件个初始条件 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。系统中个别点的初始状态。注意：注意：第一类边界条件第一类边界条件1.Suf 描述某系统或过程边界状况的约束条件称为描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条边界条件件. .例如例如，在弦振动问题上，如果弦的两端是固定的，在弦振动问题上，如果弦的两端是固定的，也就

23、是说端点无位移，则其边界条件为也就是说端点无位移，则其边界条件为00;0 xx luu 若弦的两端不是固定的，而是按照规律若弦的两端不是固定的，而是按照规律 在运动在运动, ,则其边界条件为则其边界条件为12( ),( )u tu t120( );( )xx luu tuu t 又如又如，在热传导问题中，当物体与外界接触的表，在热传导问题中，当物体与外界接触的表面温度面温度 f(M,t) 已知时，其边界条件为已知时，其边界条件为(, )Suf M t 第二类边界条件第二类边界条件2Sufn 例如例如，在弦振动问题中，弦的一端（如，在弦振动问题中，弦的一端（如 x = l）可）可以在垂直以在垂直

24、 x 轴的直线上自由的上下滑动，且不受轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为垂直方向的外力，我们称这种端点为“自由端自由端”。sintanx luTTTxUX0l当该点处的张力沿垂直当该点处的张力沿垂直x 轴的方向的分量是轴的方向的分量是 t 的已的已知函数知函数 时，有时，有( ) t x lutx 在这一端点，边界上的张力沿垂直于在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的轴的方向的分量为分量为0 0，因此在方程的推导中知，因此在方程的推导中知 , , 即即0 xluTx 0( , )0 xlxxluulnxtu 或或在热传导问题中，如果物体和周围介质处于绝热在热

25、传导问题中，如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为状态，即在表面上热量的流速始终为0 0，则由方，则由方程推导过程可知，有边界条件程推导过程可知，有边界条件0 .Sun ,SuM tn 当物体与外界接触的表面当物体与外界接触的表面 S 上各单位面积在单位上各单位面积在单位时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在 S 上有上有 ，这表明温度沿外法线方向的方，这表明温度沿外法线方向的方向导数是已知的，故边界条件可以表示为向导数是已知的，故边界条件可以表示为dQukdSdtn 第三类边界条件第三类边界条件3Suufn 例如例如在弦振动问题中

26、，当端点在弦振动问题中，当端点 x=l 被弹性支撑所被弹性支撑所支承，设弹性支撑原来位置在支承，设弹性支撑原来位置在 u=0，则，则 表示表示弹性支撑的应变。弹性支撑的应变。x lu 由由HookeHooke定律知，在定律知，在 x=l 端张力沿位移方向的分量端张力沿位移方向的分量 应等于应等于 , ,即有即有xlxluTk ux 0,x luux 其中非负常数其中非负常数 k 表示弹性体的弹性系数表示弹性体的弹性系数, ,/.k T 在热传导问题中，如果物体内部通过边界在热传导问题中，如果物体内部通过边界S S 与周与周围的介质有热量交换，这时能测量到物体与接触围的介质有热量交换，这时能测量

27、到物体与接触处的介质的温度处的介质的温度 。通常情形下，。通常情形下， 与物体在表与物体在表面面S S上的温度上的温度 u 不相同。根据传热学中的牛顿实不相同。根据传热学中的牛顿实验定律，物体从一介质流入另一介质的热量与两验定律，物体从一介质流入另一介质的热量与两个介质间的温度差成正比，即个介质间的温度差成正比，即其中常数其中常数h h表示两种介质之间的热交换系数。表示两种介质之间的热交换系数。1u1u1()dQh uu dSdt在物体内部任意取一个无限贴近在物体内部任意取一个无限贴近S S 的闭曲面的闭曲面 ，由于在由于在S S 的内侧热量不能积累，所以在的内侧热量不能积累，所以在 上的热上

28、的热量流速应等于边界量流速应等于边界S S上的热量流速。上的热量流速。 上的热量流上的热量流速为速为 ，其中，其中 k 为传热系数为传热系数. . dQukdSdtn 所以当物体与外界有热交换时，相应的边界条件所以当物体与外界有热交换时，相应的边界条件为为1() ,SSukh uun 即即1,SSuuun 其中其中/ .h k 在上面给出的边界条件中，在上面给出的边界条件中， 都是定都是定义在边界义在边界S S上（通常也依赖于上（通常也依赖于t）的已知函数。）的已知函数。当当 时，相应的边界条件称为时，相应的边界条件称为齐齐次次的，否则称为的，否则称为非齐次的非齐次的。 1,2,3ifi 0,

29、1,2,3ifi 1.3 1.3 定解问题定解问题 )(|)( )(|)0,( 0002xuxxutxuautttxxtt 弦振动的Cauchy问题 )( )(|)0,( 002xxutxuautxxt 包含初值条件的定解问题称为初边值问题初边值问题（Cauchy Cauchy 问题）问题） ), ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题混合问题 (初边值问题初边值问题) )热传导方程的混合问题热传导方程的混合问题波动方程的混合问题波动方程的混合问题 0, 0)0( )(),()0,0( 0002lxxxtttxxttuulxxuxutlxuau 只附加边界条件的定解问题称为边值问题边值问题. 初值条件、边界条件统称为定解条件定解条件初