机械振动基础-单自由度系统-1

1、 振动力学机械科学与工程学院第一章第一章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动等效单自由度系统等效单自由度系统有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动简谐激励下的强迫振动简谐激励下的强迫振动基础简谐激励下的强迫振动基础简谐激励下的强迫振动振动的隔振振动的隔振等效线粘性阻尼等效线粘性阻尼周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析瞬时激励下的振动分析瞬时激励下的振动分析建立系统振动运动方程：找出力与运动量之间微分关系建立系统振动运动方程：找出力与运动量之间微分关系求解方程，找出系统的响应分

2、析响应的时频特性分析响应的时频特性离散化建立有限自由度物理模型离散化建立有限自由度物理模型1.1 1.1 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 振动分析：振动分析： 建立振动微分方程：是振动分析的基础。建立振动微分方程：是振动分析的基础。 动静法、拉格朗日方程法、能量法等。动静法、拉格朗日方程法、能量法等。1）质块质块-弹簧系统（最简单的振动模型）弹簧系统（最简单的振动模型）m)(tf( )u tk ( )mu tku tf t m)(tf( )u t( )u t( )ku t静平衡位置 建立坐标系；建立坐标系； 取分离体画受力图；取分离体画受力图； 牛顿第二定率建立力和运动要素牛顿第二定

3、率建立力和运动要素之间的关系式。之间的关系式。1、动静法：、动静法：单自由度无阻尼振动单自由度无阻尼振动方程一般形式方程一般形式 +0mu tku t 无阻尼单自由度系统无阻尼单自由度系统的自由振动方程的自由振动方程 mu tku tf t(1.1.1)(1.1.2)若外力为零，则有：若外力为零，则有：情况情况1 1： 以初始位置为基准以初始位置为基准，情况情况2 2：以静平衡位置为基准：以静平衡位置为基准( )u tkckckc)(1tyst)()(111111tfmgkyycymtfmgkyycym ( ),ststmucukukmgf tkmg 1ky1yc1y mg)(tfstku c

4、u u mg)(tf2）质块质块-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统 mu tcu tku tf t单自由度系统振动方程一般式单自由度系统振动方程一般式 0mu tcu tku t单自由系统的自单自由系统的自由振动方程由振动方程(1.1.3)(1.1.4)(1.1.5)例例1-1 1-1 （利用动量矩平衡）（利用动量矩平衡） 如图，抗弯刚度无如图，抗弯刚度无穷大的直杆，两端有两个集中质量。穷大的直杆，两端有两个集中质量。ABmm3kEIlll2 ml ml9kl2AY07042803922:022kmklmllmllkllmlmA 拉格朗日方程法：拉格朗日方程法：对单自由度系统，拉格朗日方程为：对单自

5、由度系统，拉格朗日方程为：对于具有定常约束系统，上式进一步简化为：对于具有定常约束系统，上式进一步简化为：对于具有定常约束保守系统，进一步简化为：对于具有定常约束保守系统，进一步简化为：或对具有定常约束保守系统利用机械能守恒，也可导或对具有定常约束保守系统利用机械能守恒，也可导出运动微分方程出运动微分方程QdydUdydTyTdtdQdydUyTdtd0dydUyTdtd0)( UTdtd（1.1.6）（1.1.7）（1.1.8）（1.1.9）例例1-21-2： 如图：光滑水平面上质量弹簧系统。如图：光滑水平面上质量弹簧系统。解：系统的动能和势能分别为：解：系统的动能和势能分别为：系统的广义力

6、为：系统的广义力为：代入到拉格朗日方程得：代入到拉格朗日方程得： 2221,21kxUxmTm)(txk)(tP tPxxtPxWQ)()(tPkxxmQdxdUxTdtd 例例1-31-3： 如图所示：圆弧形滑道上，有一均质圆柱体如图所示：圆弧形滑道上，有一均质圆柱体作纯滚动。建立其运动方程。作纯滚动。建立其运动方程。解：因为纯滚动，所以振动解：因为纯滚动，所以振动系统为单自由度系统，以圆柱系统为单自由度系统，以圆柱中心绕轨道中心转过的中心绕轨道中心转过的角度角度 为自由度。为自由度。圆柱质心速度：圆柱质心速度：圆柱纯滚动角速度：圆柱纯滚动角速度：系统动能为：系统动能为：RorW)(rRv)

7、1(rRrv22222222243)1(2121)(212121rRgWrRrgWrRgWImvT系统的势能为系统的势能为： 机械能守恒方法机械能守恒方法：因为系统为定常约束保守系：因为系统为定常约束保守系统，机械能守恒，故有：统，机械能守恒，故有：即：即：此方程是非线性的。对圆柱微幅运动此方程是非线性的。对圆柱微幅运动， ，方程可近似线性化为：方程可近似线性化为：)cos1)(rRWU0sin)(243)(2 rRWrRgWUTdtd0sin)(32rRg sin0)(32rRg 拉格朗日方法拉格朗日方法0ddUTdtd 22222324343rRgWrRgWrRgWdtdTdtdsin)(

8、)cos1)(rRWrRWddddU代入拉格朗日方程有：代入拉格朗日方程有：（有势力场，（有势力场，Q=0)Q=0)0sin320sin232rRgrRWrRgW 1.2 无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动特征解特征解初始扰动引起的自由振动初始扰动引起的自由振动简谐振动及其特征简谐振动及其特征弹簧阻尼器的串联并联（等效刚度）弹簧阻尼器的串联并联（等效刚度）1.2.1 特征解特征解 无阻尼：系统在运动过程中没有任何阻尼力。无阻尼：系统在运动过程中没有任何阻尼力。 自由振动：系统振动是由初始扰动激励的，自由振动：系统振动是由初始扰动激励的， 没有任何外力作用于系统。没有任何外

9、力作用于系统。 任何的单自由度系统都可等价为特定的弹簧质量任何的单自由度系统都可等价为特定的弹簧质量系统：系统： 系统运动的微分方程：系统运动的微分方程：m( )u tk00,uv 0m utk ut令：令： ，则方程变为：，则方程变为：mkn2 20nutut（1.2.1b）(1.2.1a)由方程（由方程（1.2.1）可知：其解具有下列形式：）可知：其解具有下列形式： 代入方程得：代入方程得：振动位移不恒为零，有振动位移不恒为零，有其解为特征根：其解为特征根：式中：式中： （弧度（弧度/秒）秒）( )stu tu e220nsunjs2,1特征方程特征方程220ns（1.2.2）（1.2.3

10、）（1.2.4）nkm系统的系统的固有圆频率固有圆频率，简称，简称固有频率固有频率。（1.2.5）一对共轭复根。一对共轭复根。系统的解为：系统的解为：其中，系数其中，系数 由系统的初始条件：由系统的初始条件： 确定。确定。把解改写为振幅相位形式：把解改写为振幅相位形式：其中：其中： 分别为振幅和初相位。分别为振幅和初相位。00,uu 12( )co ssinnnu tatat21, aa( )sinnu tat221122,arctanaaaaa（1.2.6）（1.2.7） tataejaaejaatujaauuueueutunntjtjtjtjnnnnsincos2121,21,)(2121

11、212122121那么，有：令：，可以证明：因为解是实数解，因此1.2.2 初始扰动引起的自由振动初始扰动引起的自由振动给定初始条件给定初始条件确定：确定：代入初始条件到位移响应中得：代入初始条件到位移响应中得：则位移通解（系统的响应）为则位移通解（系统的响应）为 nnnttVttUutVutUtusin,cos)(,)(00)(),(tVtU21, aa00(0 ),(0 )uuuu0102,nuaua（1.2.8）（1.2.9）00( )co ssinnnnuu tutt（1.2.10a）（1.2.10b）另一种表达式另一种表达式：分别为单位初位移、单位初速度引起单自由度无阻尼系统的自由振

12、动。分别为单位初位移、单位初速度引起单自由度无阻尼系统的自由振动。此式可表达为振幅相位形式：此式可表达为振幅相位形式：其中，振幅：其中，振幅：初相位：初相位：( )sin ()nu tat2200nuau00arctannuu（1.2.11）（1.2.12a）（1.2.12b）1.2.3 简谐振动及其特征简谐振动及其特征单自由度系统无阻尼自由振动是单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动简谐振动。是两种同频率的简谐运动的合运动，一种是由初始是两种同频率的简谐运动的合运动，一种是由初始速度产生的，另一种是由初始位移产生的。两种运速度产生的，另一种是由初始位移产生的。两种运动的相位差是动的相位差是90

13、度。度。确定简谐振动的三要素：频率、振幅和初相位。确定简谐振动的三要素：频率、振幅和初相位。振动圆频率振动圆频率=系统的固有频率，与初始条件无关。系统的固有频率，与初始条件无关。振幅和初相位依赖系统的初始条件。也就是说，取振幅和初相位依赖系统的初始条件。也就是说，取决于初始时刻输入系统的能量。决于初始时刻输入系统的能量。tatututunnnnsinsincos)(00简谐振动的重要特征：简谐振动的重要特征： 简谐振动是一种周期振动简谐振动是一种周期振动周期振动满足条件：周期振动满足条件：即每经过固定时间间隔，振动将重复原来的过程。最小正即每经过固定时间间隔，振动将重复原来的过程。最小正常数常

14、数 - -振动周期。振动周期。()( )u tTu tT22nnmTk（1.2.14）（1.2.13） 无阻尼单自由度系统自由振动的固有周期。无阻尼单自由度系统自由振动的固有周期。 由频率公式由频率公式 可以看出：可以看出： 1）质量不变下，刚度越大或刚度不变下，质量越小。）质量不变下，刚度越大或刚度不变下，质量越小。其振动的频率越大，振动的周期越短。振动的恢复力其振动的频率越大，振动的周期越短。振动的恢复力越大，物体越容易回到静平衡位置。越大，物体越容易回到静平衡位置。 2）反之，情况恰好相反。）反之，情况恰好相反。nkm12nnnfT( (赫兹）赫兹）表示表示1 1秒内重复振动的次数。秒内

15、重复振动的次数。（1.2.15- 1.2.16）固有频率的另一种形式：固有频率的另一种形式：(a)图: 简谐振动时间域内变化特征周期:两个波峰或波谷间的水平距离T称为周期. 它也是振动一次需要的时间;频率:周期的倒数为频率.表示振动的快慢程度,即在1秒之内振动的次数.振幅:波峰或波谷的高度.初相角:初始时刻OR矢量与x轴之间的夹角.(b)表示长度为A的矢量OR从角初始位置出发,以等角速度在xOy平面内做圆周运动.该矢量在t时刻在y轴上的投影即为位移响应在同一时刻的值.xy(b) 用旋转矢量表示简谐运动 旋转矢量表达的简谐振动：旋转矢量表达的简谐振动：简谐运动的位移、速度和加速度之间的关系简谐运

16、动的位移、速度和加速度之间的关系：速度和加速度可分别表达为：速度和加速度可分别表达为：速度和加速度也是简谐函数，并与位移具有相同频率；速度和加速度也是简谐函数，并与位移具有相同频率；在相位上，速度超前位移在相位上，速度超前位移90 ，加速度超前位移，加速度超前位移180。加速度始终与位移反向：加速度始终与位移反向：速度和加速度的幅值分别是振幅的速度和加速度的幅值分别是振幅的22( )cossin()2( )sinsinnnnnnnnnu tatatu tatat 2( )( )nu tu t （1.2.17）（1.2.18）2nn和倍。静平衡位置静平衡位置最大振幅最大振幅A-A0 x初始位置初

17、始位置速度为零，速度为零，位移，加速度位移，加速度绝对值最大，绝对值最大，方向反向。方向反向。速度为零，速度为零，位移，加速度位移，加速度绝对值最大，绝对值最大，方向反向。方向反向。速度减小速度增加速度减小速度增加速度最大位移，加速度为零最大振幅最大速度 简谐振动过程简谐振动过程动能最大势能为零动能为零势能最大动能为零势能最大振动方向相同的简谐振动合成振动方向相同的简谐振动合成：运用三角函数公式容易证明：运用三角函数公式容易证明： 两个同频率简谐振动的合成结果仍然为简谐振两个同频率简谐振动的合成结果仍然为简谐振动，且频率不变。动，且频率不变。 两个不同频率的简谐振动合成结果一般为周期运两个不同

18、频率的简谐振动合成结果一般为周期运动，特殊情况下为非周期振动（频率比为无理动，特殊情况下为非周期振动（频率比为无理数）。数）。0102030405060708090100-2-1.5-1-0.500.511.52 两个频率十分接近的简谐振动合成后会产生周期性两个频率十分接近的简谐振动合成后会产生周期性的的拍振拍振。(振幅按着两个振动频率的差频简谐变化振幅按着两个振动频率的差频简谐变化)202sin21221BTt taatattattaattaattaattttaattttaattaattaatatauutautau2cos2sinsin2cos22sincos22cossin22sin2si

19、n22sin2sin2sinsin2sinsin2sinsinsin,sin21212121212121212121221121222111振动方向相互垂直的简谐振动合成振动方向相互垂直的简谐振动合成利用解析几何知识可以证明：同频率两个简利用解析几何知识可以证明：同频率两个简谐振动在同一平面内沿相互垂直方向合成后谐振动在同一平面内沿相互垂直方向合成后的运动轨迹一般为的运动轨迹一般为椭圆椭圆。若频率不同，合成后的运动轨迹则较为复杂。若频率不同，合成后的运动轨迹则较为复杂。当频率间存在一定的比例关系时，合成后的当频率间存在一定的比例关系时，合成后的运动轨迹呈现出稳定有规律的图像。运动轨迹呈现出稳定

20、有规律的图像。这些图形这些图形- -李沙育图李沙育图 22cos,sin,/1x taty tbtx ay b 设两个简谐振动为设两个简谐振动为 111222sinsinu tatutat-1-0.500.51-2-1012020406080100 动点独立地动点独立地 在水平方向作在水平方向作圆频率为圆频率为1 1rad/s,rad/s,振幅为振幅为 的振动；的振动； 在垂直方向作在垂直方向作圆频率为圆频率为 ，振，振幅为幅为 的振动。的振动。（见（见P11P11图图1.2.31.2.3） 李沙育图形在平面李沙育图形在平面u1,u2u1,u2上的投影与频上的投影与频率，相位有很大关系。率，相

21、位有很大关系。1a2a1u2ut12211,2,1.5,1.5aa-1-0.500.51-2-101202040608010012211,2,0,1aa12211,2,/ 4,1aa12211,2,/ 2,1aa-1-0.500.51-2-101202040608010012211,2,1aa -1-0.500.51-2-1012020406080100-1-0.500.51-2-1012020406080100-1-0.500.51-2-101202040608010012211,2,/4,1.1aa1.2.4 弹簧和阻尼器的串联与并联弹簧和阻尼器的串联与并联 在较复杂的单自由度结构系统中，

22、有较多的弹在较复杂的单自由度结构系统中，有较多的弹性元件，每个弹性元件相当于一个弹簧，它们性元件，每个弹性元件相当于一个弹簧，它们之间串联、并联和混联关系，可用一个之间串联、并联和混联关系，可用一个等效弹等效弹簧簧来代替。来代替。 利用等效弹簧刚度，使固有频率计算简化。利用等效弹簧刚度，使固有频率计算简化。弹簧并联：弹簧并联： 两个弹簧并联：两个弹簧并联： 弹性变形相等。弹性变形相等。kxFxkFxkF,222111考虑到：由上两式求得：（1.2.20）FFFxxx2121,k1k2k21kkk 显然，弹簧并联后，等效弹簧刚度加强，即：显然，弹簧并联后，等效弹簧刚度加强，即： n个弹簧并联：个

23、弹簧并联：弹簧串联：弹簧串联： 两个弹簧串联：弹性力相等。两个弹簧串联：弹性力相等。21,kkkkikk1k2kkk1k2kxxxFFF2121,kFxkFxkFx/,/,/222111联立得：联立得： 显然，弹簧串联，等效弹簧刚度减弱，即：显然，弹簧串联，等效弹簧刚度减弱，即： n个弹簧串联：个弹簧串联： 弹簧的串联、并联，不能按表面形式划分，要根据力学弹簧的串联、并联，不能按表面形式划分，要根据力学特性的分析来判断。特性的分析来判断。ikk11（1.2.23）1k2kk212121,111kkkkkkkk21,kkkk例例2-4: 2-4: 一一卷扬机通过钢丝绳卷扬机通过钢丝绳, ,绕过定

24、滑轮吊起一重物绕过定滑轮吊起一重物. .已知已知: : 重物重重物重 吨吨, , 钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度 下降速度：下降速度：求求: : 卷扬机突然刹车卷扬机突然刹车, ,钢丝绳上端突然停止时钢丝绳上端突然停止时, , 钢丝绳的最大张力钢丝绳的最大张力. .解解: : 重物匀速下降时重物匀速下降时, , 钢丝绳中的张力钢丝绳中的张力: : 当钢丝绳上端突然停止当钢丝绳上端突然停止, , 重物重物 由于惯性继续往下运动由于惯性继续往下运动, ,开始在开始在 静平衡位置上下自由振动静平衡位置上下自由振动. .15Wcmkgk/109.53min/15 mv 11 5TW吨vW)(tyk静

25、平衡位置静平衡位置固有频率为固有频率为: : 初始条件为初始条件为: :振幅振幅: :由于振动引起钢丝绳中的最大张力为由于振动引起钢丝绳中的最大张力为: :钢丝绳中最大张力为钢丝绳中最大张力为: :1356 .1910158 .9109 .5/smknvyy00,0cmmyyyann27.10127.06 .1960/1502020kgmkvkaT3321049.727.1109 .5吨49.221049.221049.7105 .133321kgmkvmgTTT 讨论：显然，振动增加了钢丝绳中的张力。显然，振动增加了钢丝绳中的张力。当钢丝绳的刚度当钢丝绳的刚度k k和运动速度和运动速度 比较

26、大时，最大动比较大时，最大动张力会很大，可能导致钢丝绳的损坏；张力会很大，可能导致钢丝绳的损坏；因此，运行中应避免这种情况发生。由于最大动张力因此，运行中应避免这种情况发生。由于最大动张力与刚度与刚度k k的平方根成正比，故对承受这种突然冲击载的平方根成正比，故对承受这种突然冲击载荷的零件，刚度小反而安全。荷的零件，刚度小反而安全。为此，人们在吊钩与钢丝绳间加一个圆柱螺旋弹簧，为此，人们在吊钩与钢丝绳间加一个圆柱螺旋弹簧，这等于在钢丝绳上串联一个刚度较小的弹簧，降低系这等于在钢丝绳上串联一个刚度较小的弹簧，降低系统的刚度。这种吊钩统的刚度。这种吊钩- -弹簧减振钩。弹簧减振钩。0vk 0tkt

27、J 改写为：改写为： 02ttn 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 单自由度扭振系统单自由度扭振系统G-剪切模量I-截面极惯性矩J-圆盘转动惯量T-扭矩由材料力学可知：由材料力学可知：GITl扭转刚度为：扭转刚度为：lGITk产生单位角位移所需的扭矩。由对由对x轴的动平衡可得：轴的动平衡可得：（1.3.2) JkT JkxyGI(1.3.1)（1.3.4a)（1.3.4b)lTk :1系统的响应为：系统的响应为： 0000sincos)(tVtUtttnnn与质量与质量- -弹簧系统的对应关系弹簧系统的对应关系( ),tuJmkk系统的扭振的固有频率（自振频率）系统的扭振的固有频率（自

28、振频率）Jkn（1.3.5)（1.3.6) 0tlgt 改写为：改写为： 02ttn 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 单摆单摆以角度以角度 为位移为位移, 其运动其运动微分方程为微分方程为: 0sintmgtml 当摆幅很小时当摆幅很小时, 有有 , 线性化为：线性化为：(1.3.7a)（1.3.7b)（1.3.8a)lom 0sintlgt sin（1.3.8b)（1.3.9)lgn系统的固有频率为系统的固有频率为: 微幅摆动下，振动周期与摆锤的质量无关。微幅摆动下，振动周期与摆锤的质量无关。 摆动周期和摆长的关系：摆动周期和摆长的关系：2224nngTglsTn1当摆动周期为当摆

29、动周期为时，其摆长为：时，其摆长为：cml82.241.3 等效单自由度系统等效单自由度系统（1.3.10)例例1-5 已知：已知： 直升机桨叶的质量直升机桨叶的质量m， 质心与铰质心与铰 之间距离为之间距离为 。微幅摆动，测得摆。微幅摆动，测得摆 动周期动周期 。求：桨叶绕垂直铰求：桨叶绕垂直铰O的转动惯量的转动惯量解：取图示坐标系解：取图示坐标系lnTolmgC根据绕固定铰的动量矩定理，有根据绕固定铰的动量矩定理，有： tmgltJosin 微幅摆动有：微幅摆动有：sin于是振动方程线性化为：于是振动方程线性化为： 0tmgltJo 固有频率和固有周期分别为：固有频率和固有周期分别为：mg

30、lJTJmglonon2,于是绕固定铰于是绕固定铰O的转动惯量为：的转动惯量为：2204nTmglJ根据平行移轴公式，可求出绕质心的转动惯量为根据平行移轴公式，可求出绕质心的转动惯量为20mlJJc1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 简支梁横向振动简支梁横向振动A简化模型简化模型：梁的质量全部集中在梁的梁的质量全部集中在梁的中部，其等效质量为中部，其等效质量为BEI( )u tem2l2lP梁的中部静挠度作为系统的静位移，根据材梁的中部静挠度作为系统的静位移，根据材料力学中静挠度公式，有料力学中静挠度公式，有EIPl483梁的等效刚度为梁的等效刚度为：EI为梁的抗弯刚度348lEIPke

31、（1.3.11)（1.3.12)em取静平衡位置为系统的坐标原点取静平衡位置为系统的坐标原点，系统的系统的振动方程为：振动方程为：( )( )( )eem u tk u tP t自由振动下，外力为零，有：自由振动下，外力为零，有：( )( )0eem u tk u t振动的固有频率为：振动的固有频率为：,483lmEImkeeen1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统（1.3.13a)（1.3.13b)（1.3.14)例例1-61-6：如图：一等截面简支钢梁质量不计，有一物快：如图：一等截面简支钢梁质量不计，有一物快从梁的中点上方处落下，且物块与梁接触后不分开。从梁的中点上方处落下，且物块与

32、梁接触后不分开。计算接触后系统自由振动的固有频率及振幅计算接触后系统自由振动的固有频率及振幅。已知已知: : 解解: :梁中点受单位力作用梁中点受单位力作用的挠度即为柔度系数的挠度即为柔度系数: :因此，系统的固有频率为：因此，系统的固有频率为：,58800,10,32NmEImmhmlkgm90ABEI)(tyhlmekEIl14831331.343905880048481smlEImmken1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为：重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为：振幅为：振幅为：梁中点的最大位移：梁中点的最大位移：mmmmgyst44.8104

33、4.8588004838.990330ghy20222002221 5 .5stnststyaym ghhm mm ax1 5 .58 .4 42 3 .9styam m 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统0st静平衡位置初始位置 悬臂梁悬臂梁简化模型简化模型：梁的质量全部集中在自由梁的质量全部集中在自由端，其等效质量为端，其等效质量为 。梁自由端的静挠度作为系统的静位移，根据梁自由端的静挠度作为系统的静位移，根据材料力学中静挠度公式，有材料力学中静挠度公式，有EIPl33悬臂梁的等效刚度为悬臂梁的等效刚度为：EI为梁的抗弯刚度33lEIPke（1.3.15)（1.3.16)em1.3

34、等效单自由度系统等效单自由度系统AEI)(tyem2lP 等效质量等效质量在前面的讨论中，一般假定弹性元件的质在前面的讨论中，一般假定弹性元件的质量可忽略。这样的简化有时可以满足精度量可忽略。这样的简化有时可以满足精度要求。要求。但是，当弹性元件的质量占系统的总质量但是，当弹性元件的质量占系统的总质量的一定比例时，弹性元件的质量不能忽略。的一定比例时，弹性元件的质量不能忽略。否则计算的固有频率就偏高。否则计算的固有频率就偏高。这时就需要把弹性元件的质量等效地集中这时就需要把弹性元件的质量等效地集中到系统的质量上。到系统的质量上。等效的原则是系统的总动能不变。等效的原则是系统的总动能不变。1.3

35、 等效单自由度系统等效单自由度系统 以弹簧质量系统为例：以弹簧质量系统为例：假定弹簧单位长度质量：假定弹簧单位长度质量： ，弹簧长：，弹簧长： ，重，重那么，距离固定端那么，距离固定端 处的位移为：处的位移为：整个弹簧的动能为：整个弹簧的动能为：l)()(tultxm)(tukd tumtumtullltudltutuldTeqlls222322022220213213213212121系统的总动能：系统的总动能：lm tumtummTtumTeqeqs222212121弹簧的等效质量31mmmmmeqeq（1.3.17）1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 系统的势能仍和忽略弹簧质量时相

36、同：系统的势能仍和忽略弹簧质量时相同： 对于保守系统，机械能守恒，故有：对于保守系统，机械能守恒，故有： 对于简谐振动，对于简谐振动， 因此，最大动能和势能分别为：因此，最大动能和势能分别为： 能量守恒得：能量守恒得： tkuU221maxmax.UTconstUT平衡位置最大振幅位置 tatunsinauaunmaxmax,（1.3.18）22maxmax22222maxmax212121,2121kakuUamTTamumTeqrefrefneqneq2222121kaamneq 结果说明，只要把弹簧质量的结果说明，只要把弹簧质量的1/3作为一个集中质量加到作为一个集中质量加到质量块上，就

37、可把弹簧质量对系统固有频率的影响考虑进质量块上，就可把弹簧质量对系统固有频率的影响考虑进去。去。 近似解的精度：近似解的精度： 当当 ， 固有频率的相对误差：固有频率的相对误差： 当当 ， 固有频率的相对误差：固有频率的相对误差： 当当 ， 固有频率的相对误差：固有频率的相对误差： 等效质量的计算：把弹簧分布质量的总动能等效质量的计算：把弹簧分布质量的总动能=以等效质量以等效质量作为集中质量的动能。作为集中质量的动能。mm2 mm21 mm %5.0%75.0%3,212122max2eqeqrefnmkamkaTU3mmkmkeqn（1.3.18）例例1-71-7：设有一均匀等截面简支梁，中

38、间有一集：设有一均匀等截面简支梁，中间有一集中质量中质量 ，若将梁本身质量考虑在内，试计，若将梁本身质量考虑在内，试计算梁的等效质量和系统的固有频率。算梁的等效质量和系统的固有频率。解：假定自由振动时梁解：假定自由振动时梁 的动挠度曲线形式与梁的动挠度曲线形式与梁 中间作用集中力产生的静中间作用集中力产生的静 挠度曲线形式一样，挠度曲线形式一样， 任意两点动位移之比等于任意两点的静位移之任意两点动位移之比等于任意两点的静位移之比，因此有：比，因此有： m)()(),(xytutxys)sin(),2()(tatlytunABEI2/lm2/lx),(txy)(tu式中：式中： 是梁左半段单位力

39、作用下静位移挠度曲线，是梁左半段单位力作用下静位移挠度曲线，由材料力学可知：由材料力学可知： 是是梁中间点处单位力作用下静挠度。梁中间点处单位力作用下静挠度。因此，因此， 动挠度曲线为：动挠度曲线为：设梁单位质量为设梁单位质量为 ，则整个梁的动能为：，则整个梁的动能为：3243481)(xxlEIxys)(xysEIllys48)2(3)(43)()(),(22tuxxltuxytxys1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统因此简支梁的等效质量为：因此简支梁的等效质量为：简支梁的弹簧刚度为：简支梁的弹簧刚度为：考虑梁的质量情况下，系统的固有频率为：考虑梁的质量情况下，系统的固有频率为：)(2

40、1)(351721)(351721)(43),(21222222222/022/01tumtumtultudxxxldxtxyTeqll3517mmeq差不多是梁的总质量的一半3481lEIk3517mmkmmkeqn(1.3.19)(1.3.20)1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统例例1-8: 1-8: 一支承于无摩擦轴承中一支承于无摩擦轴承中的等截面圆轴，两端各带有的等截面圆轴，两端各带有转动惯量分别为转动惯量分别为 的推的推进器。把两圆盘按相反方向进器。把两圆盘按相反方向扭转，然后放松，求扭转振扭转，然后放松，求扭转振动频率。动频率。解：解：21,JJ1J2Jd1l2ll不动面 该

41、例本来是两个自由系统。但是题中所述两个该例本来是两个自由系统。但是题中所述两个圆盘反向扭转引起的自由振动，运动位移是相圆盘反向扭转引起的自由振动，运动位移是相对角位移。对角位移。 因此可判断在两个圆盘之间轴上存在一个不动因此可判断在两个圆盘之间轴上存在一个不动面（该点相对角位移在振动过程中始终为零）。面（该点相对角位移在振动过程中始终为零）。1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 对这样的两个自由度振动系统对这样的两个自由度振动系统实际是可看成两个单自由度以实际是可看成两个单自由度以相同固有频率振动。相同固有频率振动。 固有频率为：固有频率为：2211JkJkn1J2Jd1l2ll不动面1l

42、2l1J2JpGIpGIpGI1k2k2211,lGIklGIkpp 扭转刚度分别为：扭转刚度分别为：1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统则由两段振动频率相同得：则由两段振动频率相同得：再由再由 ，故可求出：，故可求出：系统的扭转振动的固有频率为：系统的扭转振动的固有频率为：式中：式中：2211lJlJlll2121122121,JJlJlJJlJleqpppnJkJJJJlGIlJGIlJGIJk212122111121111,JJJlGIkeqp（1.3.21)（1.3.22)1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统例例1-91-9：求图所示的两个结：求图所示的两个结构系统的固有频率。

43、其中构系统的固有频率。其中弹簧的刚度弹簧的刚度解：这两个结构中的悬臂梁解：这两个结构中的悬臂梁可视为竖直方向的弹簧，可视为竖直方向的弹簧，刚度系数为：刚度系数为： 324lEIk EI2klEI2kl1k2k1k2k（a）（b）313lEIk 因此，对第一个结构系统可看成两个弹簧串联结因此，对第一个结构系统可看成两个弹簧串联结构，第二个结构系统可看成两个弹簧并联结构。构，第二个结构系统可看成两个弹簧并联结构。它们的等效弹簧刚度分别为：它们的等效弹簧刚度分别为：,71232121lEIkkkkka3217lEIkkkb固有频率分别为固有频率分别为：337,712mlEImkmlEImkbnban

44、a1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动阻尼力：阻尼力：从无阻尼自由振动的解我们知道，当系统受到从无阻尼自由振动的解我们知道，当系统受到一个初始扰动之后，质量将永不停止地在其平一个初始扰动之后，质量将永不停止地在其平衡位置附近做等幅振动。但实际情况是，这种衡位置附近做等幅振动。但实际情况是，这种振动不久就会停止。理论分析和实际之间的差振动不久就会停止。理论分析和实际之间的差别的原因在于理论分析没有考虑系统阻力。别的原因在于理论分析没有考虑系统阻力。阻力的存在将消耗系统的机械能转化为声能和阻力的存在将消耗系统的机械能转化为声能和热

45、能传出去。热能传出去。在自由振动中，系统的机械能来自初始输入系在自由振动中，系统的机械能来自初始输入系统的能量（动能和势能），随着时间的增加，统的能量（动能和势能），随着时间的增加，能量的消耗导致系统的振幅逐渐减小而最后停能量的消耗导致系统的振幅逐渐减小而最后停止。这种振幅衰减振动为有阻尼自由振动。止。这种振幅衰减振动为有阻尼自由振动。1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 阻力有多种来源，例如两种物体之间的干摩擦、阻力有多种来源，例如两种物体之间的干摩擦、有润滑的两个面之间的摩擦力、气体和液体等介有润滑的两个面之间的摩擦力、气体和液体等介质的阻力、电磁阻力或材料内部

46、的摩擦阻力等。质的阻力、电磁阻力或材料内部的摩擦阻力等。 在振动中这些阻力统称为在振动中这些阻力统称为阻尼。阻尼。黏性阻尼黏性阻尼：物体沿润滑表面滑动或在流体中低速：物体沿润滑表面滑动或在流体中低速运动时，阻力的大小可认为与相对速度成正比，运动时，阻力的大小可认为与相对速度成正比，方向与速度反向方向与速度反向黏性阻尼。黏性阻尼。 数学表达为：数学表达为： 式中：c 为黏性阻尼系数，单位：Ns/m。 tucFd1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动材料阻尼：材料阻尼：结构材料本身的内结构材料本身的内摩擦引起的阻力。摩擦引起的阻力。 完全弹性材料内应力与应完全弹性材料内应

47、力与应变相位相同，在反复加卸变相位相同，在反复加卸载过程中，没有能量损失。载过程中，没有能量损失。 而在黏弹性材料中，应变而在黏弹性材料中，应变滞后于应力，有相位差，滞后于应力，有相位差，在加卸载过程中形成滞后在加卸载过程中形成滞后回线，因此要耗散能量，回线，因此要耗散能量，成为振动的阻尼。成为振动的阻尼。 黏性阻尼与速度成正比，因此黏性阻尼与速度成正比，因此又称又称线性阻尼线性阻尼。OA加载卸载OA加载卸载BC振动方程及其解振动方程及其解：考虑一个质量考虑一个质量-弹簧弹簧-阻尼系统。阻尼系统。以静平衡位置为坐标原点，其运动方程为：以静平衡位置为坐标原点，其运动方程为：由常微分方程理论，设解

48、具有下列形式：由常微分方程理论，设解具有下列形式：代入微分方程后，其特征方程可表示为：代入微分方程后，其特征方程可表示为：1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 000(0),(0)mu tcu tku tuuuu( )stu tue（1.4.2）m( )u tkckucu u （1.4.1）特征方程为：特征方程为：解出一对特征根：解出一对特征根：02kcsmsmkmcmcs22,122（1.4.3）（1.4.4）（1.4.5）n引入无量刚参数阻尼比：引入无量刚参数阻尼比：cnccmcmkcmkmc222系统的固有频率，系统的固有频率，mkmcnc22系统临界阻尼系数

49、系统临界阻尼系数1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动运动方程可改写为：运动方程可改写为：特征方程的根可改写为：特征方程的根可改写为：显然，对于不同的阻尼比，解的性质取决于根显然，对于不同的阻尼比，解的性质取决于根式式 是实数还是虚数。是实数还是虚数。（1.4.1b）220nnuuu1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动122,1nns（1.4.6）21临界阻尼系数取决于系统的刚度和质量特性。临界阻尼系数取决于系统的刚度和质量特性。阻尼比反映了阻尼系数与临界阻尼系数之比。阻尼比反映了阻尼系数与临界阻尼系数之比。1.4 有阻尼单自由度系统的自由

50、振动有阻尼单自由度系统的自由振动 过阻尼情况过阻尼情况 ：特征方程的两个根为不等的实根：特征方程的两个根为不等的实根：因此运动微分方程通解为：因此运动微分方程通解为：122,1nns221112( )nnttu ta ea e（1.4.6a）（1.4.7）1响应曲线表明：响应曲线表明： 响应由初始位移先增加响应由初始位移先增加到某一极值，然后逐渐衰到某一极值，然后逐渐衰减为零。减为零。 越过静平衡位置只有一越过静平衡位置只有一次，因此大阻尼下系统的次，因此大阻尼下系统的运动不是振动。运动不是振动。000010202211,2211nnnnuuuuauau由初始条件可确定积分常数为由初始条件可确

51、定积分常数为1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动（1.4.8）1.4有阻尼单自由度系统自由振动有阻尼单自由度系统自由振动 临界阻尼情况临界阻尼情况：在这种情况下，特征方程的根为两个相等的在这种情况下，特征方程的根为两个相等的实根，即：实根，即： 根据微分方程理论，根据微分方程理论，此时有阻尼运动微分方程的通解为：此时有阻尼运动微分方程的通解为：引入初始条件得：引入初始条件得：临界阻尼状态下，临界阻尼状态下， 系统的运动具有系统的运动具有 衰减性，但不具衰减性，但不具 有振动性。有振动性。1ns2,112( )ntu taa t e00( )1ntnu tutu te

52、（1.4.10）（1.4.11） 欠阻尼情况欠阻尼情况：根式根式 为虚数，为虚数，令令 运动微分方程的通解为：运动微分方程的通解为： 11222, 11nnjs一对共轭复数一对共轭复数。21nd12( )cossinntddu teatat式中式中 由初始条件确定由初始条件确定。21, aa（1.4.13）1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动（1.4.14）（1.4.12）1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动引入初始条件得：引入初始条件得：则：则： 00102,nduuaua（1.4.15） 00000( )cossinntnddduuu

53、 teuttU t uV t u（1.4.16）式中式中: : 2( )cossin1sinnntddtddU tetteV tt（1.4.17）分别为单位初位移和单位初速度引起的自由振动分别为单位初位移和单位初速度引起的自由振动1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动进一步改写为振幅和相位形式：进一步改写为振幅和相位形式：式中：式中：( )sinntdu taet22000000arctannddnuuauuuu（1.4.18）（1.4.19）a. 欠阻尼情况下响应特性欠阻尼情况下响应特性:振幅振幅 随时间逐渐衰减，衰减的程随时间逐渐衰减，衰减的程度依赖系统的阻尼比；

54、度依赖系统的阻尼比；欠阻尼下自由振动仍有周期性；欠阻尼下自由振动仍有周期性；欠阻尼下振动的圆频率欠阻尼下振动的圆频率 比无阻比无阻 尼时圆频率要小；因此尼时圆频率要小；因此 振动的周期要比无阻尼振动的周期要比无阻尼 时的大。时的大。nd21 ntAae1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动221122nnddTT(1.4.20)ntaesinntdaetntae u t阻尼对自由振动的影响：阻尼对自由振动的影响：阻尼对固有频率的影响：阻尼对固有频率的影响： 工程中通常工程中通常 , 所以阻尼对固有频率所以阻尼对固有频率影响较小。有阻尼频率（周期）可近似等于影响较小。有

55、阻尼频率（周期）可近似等于无阻尼的频率（周期）。无阻尼的频率（周期）。阻尼对振幅的影响：阻尼对振幅的影响很大，阻尼对振幅的影响：阻尼对振幅的影响很大，阻尼使系统的振幅按几何级数衰减。阻尼使系统的振幅按几何级数衰减。振幅衰减率振幅衰减率：相邻两个振幅之比。：相邻两个振幅之比。2.011()21n knkkndnnn ktttTTktkAaeeeeeAaend21 TTdnd,1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 对数衰减率对数衰减率：为了避免求指数值不便，常常采为了避免求指数值不便，常常采用对数形式，即：用对数形式，即： 为了提高计算精度，往往可用相隔几个周期的为了提

56、高计算精度，往往可用相隔几个周期的振幅之比来表示对数衰减率：振幅之比来表示对数衰减率：212lnln21dnkkTAAlnln2n knkdtkn dn ntnTk nAaenTnTnnAae（1.4.21）njnjjjkjknknknkkkkkknkkAAAAAAAAAAAA0111211lnlnln由此可得对数衰减率为：由此可得对数衰减率为：阻尼比为阻尼比为:可用此式测量系统的阻尼比可用此式测量系统的阻尼比.（1.4.21b）（1.4.22）在阻尼比小于0.4时,可用近似式计算阻尼比.2ln11ln11011njjkjknjjnkkAAnnAAn101ln21ln21njjkjknkkAA

57、nAAn1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动例例1-101-10：已知：结构如图所示。：已知：结构如图所示。不计摆杆的质量，不计摆杆的质量， 求：结构系统的绕求：结构系统的绕O O点小幅摆点小幅摆动的阻尼振动频率和临界阻动的阻尼振动频率和临界阻尼系数尼系数. .解：选取刚杆转角解：选取刚杆转角 为系统为系统位移。位移。 设顺时针方向为正，设顺时针方向为正，静平衡位置为坐标原点。静平衡位置为坐标原点。mkcOal 222cakaml根据动量矩定理，根据动量矩定理，可得系统的运动方程为：可得系统的运动方程为：进一步简化成形式为：进一步简化成形式为：02222mlkaml

58、ca 进一步改写标准形式为：进一步改写标准形式为： 022tttnn 系统的固有频率为：系统的固有频率为：阻尼比为：阻尼比为：lamkmklamlkan,22kmcmclmcann222222阻尼振动频率为：阻尼振动频率为：21nd当阻尼比是当阻尼比是1 1时，可得临界阻尼系数为：时，可得临界阻尼系数为：kmcc2例1-11： 如图单跨排架。横梁刚度无穷大，横梁及柱的部分质量集中在横梁处。在横梁处加一水平力，柱顶产生侧移 。这时，卸除载荷，排架做自由振动。振动一周后柱顶侧移为 。求：1）排架阻尼比； 2）振动十周后，柱顶侧移。解： 1）由 得阻尼比为：2）由 得EIm,cm6.02ln10yy

59、013.06.065.0ln21102ln100yy247.1013.014.32065.0ln2065.0lnln10ycmey29.0247.110EIEIhcmy65. 001.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动例1-12: 试证明:在衰减的自由振动中,振动系统每个周期耗散的机械能 与每个周期开始的机械能 之比为常量,在阻尼比很小时等于证明:设在某一周期开始时的振幅为: 结束时的振幅为:则对应的机械能为:因此,利用级数展开:所以:U1U211tnaeAdnTtaeA1222221121,21kAUkAU2222121211111eeAAUUUUU! 242122

60、e! 24221UU当阻尼比很小时:21UU1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动1.5 单自由度系统简谐力激励下强迫振动单自由度系统简谐力激励下强迫振动强迫振动：由外界持续激励引起的振动。强迫振动：由外界持续激励引起的振动。激励来源：激励来源：一类是持续的激励力，可能直接作用于系统的质块一类是持续的激励力，可能直接作用于系统的质块上或由系统中运动部件的不平衡离心力引起的；上或由系统中运动部件的不平衡离心力引起的；另一类是持续的支座运动。另一类是持续的支座运动。BEIm)(tym1驾驶者m2自行车k1=2k车坐下弹簧k2=k轮胎x2vvltaxs2),sin(l1.5