大学计算方法和数值分析复习试题

1、2013计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：1. 会平方根法求解方程组2. 会求Lagrange, Newton插值多项式和余项3. 会Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式，迭代矩阵及其谱半径，收敛性。4. 会高斯-勒让德公式求积分5. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式6. 会用改进的欧拉公式求解初值问题7. 会求最佳平方逼近多项式8. 会计算求积公式的代数精度9. 会写插值基函数10. 会三次样条函数的概念11. 会计算差商12. 了解矩阵范数第一章、绪论(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字

2、；误差的传播。(二) 复习要求1.了解数值分析的研究对象与特点。2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。3.了解误差的定性分析及避免误差危害。例题例1. 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。例2. 为了提高数值计算精度, 当正数充分大时, 应将改写为 。例3. 的相对误差约是的相对误差的1/3 倍.第二章、插值法(一)考核知识点插值多项式，插值基函数，拉格朗日插值多项式，差商及其性质，牛顿插值多项式，差分与等距插值；分段线性插值；样条函数，三次样条插值函数；(二) 复习要求1.了解插值的概念。2.掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公

3、式。3.了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。5.了解埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。6.知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。7.会三次样条插值,知道其误差和收敛性。例题例1. 设f(x)=x3+x2-3,则差商f3,32,33,34=1.例2.例2. 设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则= 例3. 已知列表函数 1 2 3 4 0 5 6 3试求满足上述插值条件的3次Newton插值多项式，并写出插值余项。解： 牛顿插值公式是

4、首先构造重节点的差商表：nxy一阶二阶三阶01012-5-5 23-6-1 2 3439 5 1所以，要求的Newton插值为： 插值余项是：例4 已知函数y=f(x)的观察数据为xk2045yk5131试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn (x)，并计算f(1)。解 先构造基函数 所求三次多项式为P3(x)= P3(1)第三章、函数逼近与曲线拟合(一)考核知识点勒让德多项式；切比雪夫多项式；最佳平方逼近; 曲线拟合；正交多项式曲线拟合;最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、多项式拟合。(二) 复习要求1.了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。2.了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项

5、式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。3.理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式的求法,了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。4.了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。5.了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换。例题1. 定义内积，试在中寻求对于的最佳平方逼近多项式.解 ， ， ，法方程为，解得，。所求的最佳平方逼近多项式为。2. 设，试在中求在区间 -1，1 上的最佳平方逼近元。解:设3. 给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.解 ， 法方程 的解为， 得到三次多项式误差平方和为

6、 第四章、数值积分与数值微分数(一)考核知识点代数精度；插值型求积公式，牛顿柯特斯公式，复合求积公式，求积公式的误差，步长的自动选择，龙贝格求积公式，高斯型求积公式。(二点、三点)高斯勒让德求积公式。(二) 复习要求1.了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。2.掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。3. 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。4.了解龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。5.会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。例题1. 试确定参数A,B,C及a,使数值积分公式有尽可能高的代数精度,并

7、问代数精度是多少?它是否是Gauss公式?解 令公式对f(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有4=A+B+C, 0=Aa-Ca, 16/3=Aa2+Ca2, 0=Aa3-Ca364/5=Aa4+Ca4,解得:A=C=10/9,B=16/9,a=(12/5)1/2容易验证公式对f(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。2. 求积公式具有3次代数精度.3. 用两点高斯-勒让德公式求积分解:4. 分别用抛物线公式和三点高斯公式计算积分，并比较它们的精度，准确值为0.478267254解：设由抛物线（辛普森）公式由三点高斯公式而故与准确值比较知：Simpson公式的计算结

8、果无有效数字；三点高斯公式有两位有效数字。5.试利用函数在节点，其中,h1/4，k0,1,2,3,4上的值,分别用复化Simpson公式和复化梯形公式计算定积分,(保留小数点后三位数). 解：0 0 0.251 1/4 0.246152 1/2 0.235293 3/4 0.219184 1 0.2000 则 6. 用两点Gauss-Legendre求积公式求积分。 (10分)解：两点Gauss-legrende求积公式为：所以7. 试确定参数A,B,C及a,使数值积分公式有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是Gauss公式?解 令公式对¦(x)=1,x,x2,x3,x4

9、都精确成立,则有4=A+B+C, 0=Aa-Ca, 16/3=Aa2+Ca2, 0=Aa3-Ca364/5=Aa4+Ca4解得:A=C=10/9,B=16/9,a=(12/5)1/2容易验证公式对¦(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。第五章、解线性方程组的直接方法(一)考核知识点高斯消去法，列主元消去法；矩阵三角分解法；平方根法；追赶法；(二) 复习要求1.了解矩阵基础知识，了解向量和矩阵的几种范数。2.掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。4.掌握直接三角分解法，了解平方根法，会追赶法，了解有关结论。5.了解矩阵和方程组的性态，会求其条件数。例题1.设矩阵

10、A=,当a取_值时,A可以唯一分解为GGT,其中G为下三角矩阵。解：令得.2.分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组2.解：1) Gauss消去法，回代 x3=3, x2=2, x1=12) 直接三角分解法(杜利脱尔分解)：=LU解Ly=b得y=(14,-10,-72)T解，Ux=y得x=(1,2,3)T例4.3.用追赶法求解三对角方程组解：4.平方根法求解对称正定方程组 解: 其次解 Ly=b其次解 LTx=y第六章、解线性方程组的迭代法(一)考核知识点迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法，共轭梯度法，迭代解数列收敛的条件。(二)

11、 复习要求1.了解迭代法及其收敛性的概念。2.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。例题1.对于方程组分别写出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式，并考察求解的收敛性。解：Jacobi迭代计算公式的分量形式为，雅可比迭代矩阵为=, =， ， Gauss-Seidel迭代计算公式的分量形式为，高斯-赛德尔迭代矩阵为=，2. 设线性方程组(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);(2)讨论这两种迭代法的收敛性.(3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时,预估误差|x

12、*-x(10)| (取三位有效数字).解: (1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为 (2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当0<1时收敛.(3)由(1)可见|B|=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是|x(1)-x(0)| =1/2,所以有3.讨论的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性其中，解：Jacobi迭代法的迭代矩阵则Jacobi迭代收敛Gauss-Seidel迭代矩阵Gauss-Seidel迭代发散4.已知方程组，其中，(1)列出Jacobi迭代法和Gau

13、ss-Seidel迭代法的分量形式；(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解：（1）Jacobi迭代法： Jacobi迭代矩阵： 收敛性不能确定 （2）Gauss-Seidel迭代法： Gauss-Seidel迭代矩阵： 该迭代法收敛 第七章、非线性方程求根(一)考核知识点对分法；不动点迭代法及其收敛性；迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法与抛物线法。(二) 复习要求1.了解求根问题和二分法。2.了解不动点迭代法，及不动点存在性和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。3.了解加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛顿法及其收敛性、了解简化牛顿法和牛顿法

14、，下山法, 了解重根情形。5.掌握弦截法，了解抛物线法。例题1.对于方程在附近，（1）试建立收敛的简单迭代格式；（2）用牛顿迭代法求其根，；（3）试写出其弦截法公式。解：（1）令，将原方程改为 得迭代函数。因为，所以迭代格式为（2）牛顿迭代格式为 取， ， （3）取 2 选择填空题：为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A) (B)(C) (D)迭代公式解：在(A)中,=1.076故迭代发散。应选择(A)。可以验证在(B)，(C)， (D)中，j(x)满足，迭代收敛。3.用Newton法求方程在区间内的根,

15、要求。解 此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设则 ， Newton法迭代公式为， 取，得。 第八章、矩阵特征值问题计算(一)考核知识点幂法及反幂法；正交变换与矩阵QR分解与舒尔分解；QR算法(二) 复习要求1.了解特征值和特征向量的概念和性质。2.掌握乘幂法，了解其加速收敛技术, 会反幂法。3.了解豪斯霍尔德方法。4.了解QR方法。例题1.用幂法求矩阵按模最大的特征值及相应的特征向量，取，精确至7位有效数字。解：设，则，=v2=(99.997059,33.2991174)T2=max(v2)= 99.997059u2=(1,0.3330009675)Tv3=(99.999002

16、9,33.29970087)T3=max(v3)= 99.9990029u3= (1,0.333000329)Tv4=(99.99900098,33.29970029)T4=max(v3)= 99.99900098u4= (1,0.333000330)T因为，所以 第九章、微分方程数值解法(一)考核知识点欧拉法, 后退欧拉法；梯形公式; 改进欧拉法；龙格库塔法，局部截断误差。(二) 复习要求1.掌握欧拉法和改进的欧拉法，知道其局部截断误差。2. 知道龙格¾库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格¾库塔法。掌握四阶龙格库塔法，知道龙格¾库塔法的局部截断误差。例题例1 用欧拉法解初值问题,取步长h=0.2。计算过程保留6位小数。解h=0.2, f(x)=yxy2。首先建立欧拉迭代格式 当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)»y1=0.2×1(40×1)0.8当k