函数的凸性与拐点实用教案

1、如(1)和(2)式中的不等号改为严格(yng)不等号,则相应定义1设 f 为区间 I上的函数若对于 I 上的任意12,(0,1),xx 两点和任意实数总有两点和任意实数总有1212(1)()(1) (), (1)fxxf xf x则称 f 为 I上的一个(y )凸函数. 反之如果总有则称 f 为 I 上的一个(y )凹函数.1212(1)()(1) (), (2)fxxf xf x的函数称为严格凸函数和严格凹函数.第1页/共31页第一页，共32页。2()yx 由此可得在，上为严格的凸函数，由此可得在，上为严格的凸函数，很明显，若 f (x)为(严格(yng)的凸函数, 那么 f (x)就引理

2、f (x)为区间(q jin) I上的凸函数的充要条件是：有有中中的的任任意意三三点点对对于于,321xxxI 32212132()()()()(3)f xf xf xf xxxxx .0上的严格凹函数上的严格凹函数， yx 为为为(严格(yng) 凹函数，反之亦然.第2页/共31页第二页，共32页。213(1).xxx从而(cng r)有 因为(yn wi) f (x)为 I 上的凸函数，所以 213()(1)f xfxx13()(1) ()f xf x3221133131()().xxxxf xf xxxxx 312321213() ()() ()() (),xxf xxxf xxxf x

3、证,1323xxxx 设设（必要性）于是1x2x3xOyx 第3页/共31页第三页，共32页。整理(zhngl)后即为 (3) 式.即322212() ()() ()xxf xxxf x321213() ()() (),xxf xxxf x213(1),xxx由于必要性的证明是可逆的，从而(cng r)得到 （充分性）对于任意 13,(0,1).xx 设设32212132()()()().f xf xf xf xxxxx 则第4页/共31页第四页，共32页。1313(1)()(1) (),fxxf xf x所以(suy) f 为 I 上的凸函数.同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对

4、于(duy) 123,Ixxx中的任意三点有中的任意三点有313221213132()()()()()(). (4)f xf xf xf xf xf xxxxxxx注 (4) 式与 (1) 式是等价的. 所以有些(yuxi)课本将 (4) 式 作为凸函数的定义. ( 参见下图 )第5页/共31页第五页，共32页。詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麦 ) 1x2x3xyx1( )f x2( )f x3( )f xO第6页/共31页第六页，共32页。121, n 必必有有1111()()().nnnnfxxf xf x12121()()() ,nnxxxff xf xf xnn

5、 对于凹函数，请读者(dzh)自行写出相应的定理.1, 01,nixxI 条条件件是是：任任给给1,2, ,in1,in 特别取则特别取则这是著名的詹森不等式 .由数学(shxu)归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要 第7页/共31页第七页，共32页。(5) 式是凸函数最常用(chn yn)的不等式 .即：1111()(5)nniiiifxf xnn例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么(n me)它在下面(xi mian)举例说明凸函数的内在性质.证012, 0,xa bhh对于任意的（）使对于任意的（）使上处处连续.(a, b) 中每一点的左、右导数存在. 特别是

6、在 (a,b)第8页/共31页第八页，共32页。000()()( ),( )(0,)f xhf xF hF hbxh 令令则则在在0.( , ),xa bxx上递增 取由引理又得上递增 取由引理又得00000()()()(),(0,).f xf xf xhf xhbxxxh 01002012()()()().f xhf xf xhf xhh 00102,xxhxhb由引理得到(d do)第9页/共31页第九页，共32页。0().fx 同理可证存在同理可证存在这就证明(zhngmng)了F(h)有下界. 所以00000()()lim( )lim().hhf xhf xF hfxh 存在存在注 开

7、区间上的凸函数处处(chch)连续,但不一定处处(chch)可 导; 闭区间上的凸函数在端点不一定(ydng)连续.第10页/共31页第十页，共32页。定理(dngl) 6.13 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述(i)( );f xI为上的凸函数为上的凸函数12(iii),Ixx对于上的任意两点有对于上的任意两点有(ii)( );fxI 为上的增函数为上的增函数21121()()()().f xf xfxxx 注 (iii) 中的不等式表示(biosh)切线恒在凸曲线的下方.论断互相(h xing)等价：第11页/共31页第十一页，共32页。证12, (i)(ii)xxIh 任任取取

8、和和正正数数使使1212, , .xxxhI xhI且且22()().hf xf xh 112121()()()()hfff xxxxfxxh f已知是凸函数，由(4)式已知是凸函数，由(4)式因为因为令令,0 h11110()()lim()(),hhf xxffxfxh 第12页/共31页第十二页，共32页。22220()()lim()(),hhf xf xfxfxh所以所以( ).fx 故递增故递增211221()()()(),f xf xfxfxxx 第13页/共31页第十三页，共32页。1212,(ii)(iii,.)x xIxx对对于于任任意意不不妨妨设设212112()()( )(

9、).f xf xfxxxx 则则( ),fx 因为递增 所以因为递增 所以21121()()()().f xf xfxxx 12012(iii)()1i)xxxxx仍仍设设，(01), 则则10010()()()(),(6)f xf xfxxx 20020()()()().(7)f xf xfxxx 第14页/共31页第十四页，共32页。ABxyO(6)(7)(1) 将式乘以 ，式乘以作和，并注意到将式乘以 ，式乘以作和，并注意到120(1)0,xxx故故01212()(1)()(1) ().f xfxxf xf x我们(w men)在这里再一次强调， 的切线位于曲线(qxin)的下方. 于相

10、应曲线(qxin)段的上方;而它 义是:曲线 y = f (x) 的弦位函数 f 是凸函数的几何意 点击上图动画演示第15页/共31页第十五页，共32页。证 由定理(dngl) 6.13 立即可得.定理(dngl)6.14 设 f (x) 在区间 I 上二阶可导，则 f (x)( )0 ( )0).fxfx我们在定理中列出了凸函数的三个等价(dngji)性质. 对理. 于凹函数也有类似的性质, 请大家写出相应的定 在区间I上是凸(凹)函数的充要条件为：第16页/共31页第十六页，共32页。(, 0),( )0 ,( ) xfxf x 所以当时为凸函数；所以当时为凸函数；(0),( )0,( )

11、.xfxf x 当，时为凹函数当，时为凹函数解 因为(yn wi)例 2 ( )arctan.f xx 讨讨论论函函数数的的凹凹凸凸性性区区间间222( ),(,).(1)xfxxx 21( ),1fxx (,),x 第17页/共31页第十七页，共32页。(本例说明：在凸(凹)函数(hnsh)的条件下，可微函数(hnsh)的极值(j zh)点与稳定点是等价的.)例 3 设函数(hnsh) f (x)为 (a, b) 上的可导凸(凹)函数(hnsh).00 ()0 ( ).fxxf x 那那么么的的充充要要条条件件是是为为的的极极值值点点证 充分性是显然的(费马定理). 下面证明必要性.由定理

12、6.13 的 (ii), 是递增的. 所以()fx 0()0.fx 即即设 f (x)是凸函数, x0 是 f (x) 的稳定点, 第18页/共31页第十八页，共32页。00( )(),( ,);f xf xxa x00( )(),(, ).f xf xxxb00( )(),( , ),()( )f xf xxa bf xf x综综上上, ,即即是是的的0( ,)( )0, ( )xa xfxf x 当当时时，是是递递减减的的，故故(i)0(, )( )0,( ),xx bfxf x 当时,是递增的 故当时,是递增的 故(ii)极小值.第19页/共31页第十九页，共32页。 注 我们实际上已经

13、证明，对于可微凸函数，其极0()( )( )f xf xf x若若是是的的一一个个极极值值，则则仅仅有有惟惟一一的的极值(j zh)，并且是极小值.证 应当注意，这里并没有(mi yu)假设函数 f (x) 的可微 ( )( , )f xa b设是区间上的一个严格凸函数，设是区间上的一个严格凸函数，例 4此下面这个(zh ge)例题自然就产生了.值总是极小值, 可微凹函数的极值总是极大值. 因 性，所以例 2 的方法就失效了.第20页/共31页第二十页，共32页。102( ) f xxxx因为严格凸,所以当时,因为严格凸,所以当时,01200120()()()().f xf xf xf xxx

14、xx 0120 ()() ()()0.f xf xf xf x( )f x又因是严格凸的，所以又因是严格凸的，所以0120()()0,()()0,f xf xf xf x0().f x所以是极小值所以是极小值0()f x由于是极值,因此由于是极值,因此120, x xx当充分接近时,有当充分接近时,有第21页/共31页第二十一页，共32页。对于任意因为 f (x0) 是极小值，所以0(, ),xxb 10()().f xf x 又因为 f(x0) 是严格(yng)凸函数，所以100100()()( )()0,f xf xf xf xxxxx0 ( )().f xf x 即即同理可证：对于任意仍

15、有 f (x0) f (x) .0( ,),xa x 10(,),xxx 存在使得第22页/共31页第二十二页，共32页。00()() ()()f xf xf xf x和和同时成立, 矛盾(modn).所以极值点惟一.设 f (x) 有另一极小值 . 根据以上讨论，把 ()f x x 和 x0 分别看作极值点时, 有第23页/共31页第二十三页，共32页。均为正数(zhngsh).1( )ln1 ,( )0,fxxfxx( )0f xx 所所以以在在时时为为严严格格凸凸的的. .由由詹森不等式1( ( )( )( ),33abcff af bf c3(), ,a b cacbabca b ca

16、 b c 证明不等式其中证明不等式其中例 5( )ln ,f xxx 设则设则证第24页/共31页第二十四页，共32页。1lnln.333abcabcabca b c 即又因3,3abcabc 故有31lnln().33abcabcabca b c 再由对数函数(du sh hn sh)是严格增的，就证得3().a b cabcabca b c 第25页/共31页第二十五页，共32页。.11qpbqapab ( )ln . ( )0,( )f xxfxf x 设因故是设因故是0 x 上上1111()()pqpqfabf af bpqpq.lnln1ln1abbqapqp 11.pqababpq

17、即即的严格(yng)凹函数，所以有110,0,0,0,1.abpqqp设设求求证证例 6 第26页/共31页第二十六页，共32页。( )Myf x 点为曲线的拐点.点为曲线的拐点.图中所示的M 是一个(y )拐点.(0, 0)arctan; yx 例例如如点点是是曲曲线线的的一一个个拐拐点点 而而cos, 0 ,2yxk 余余弦弦曲曲线线的的所所有有拐拐点点为为00( )(,()yf xM xf x 设曲线在点处有穿过设曲线在点处有穿过定义2曲线的切线，并且(bngqi)切线的两侧分别Z.k 其中其中M0 xxyO 是严格(yng)凸和严格(yng)凹的，这时称第27页/共31页第二十七页，共

18、32页。0( )()0.yf xfx 曲曲线线的的拐拐点点的的必必要要条条件件是是00( )(),(),fxUxUx 若若在在的的符符号号相相反反 那那么么00(,()( ).xf xf x是的一个拐点是的一个拐点下面(xi mian)两个定理是显然的.000( ),()f xxxf x若在点二阶可导 则(为若在点二阶可导 则(为定理6.1500( )().f xxUx 设设在在点点可可导导，在在二二阶阶可可导导定理6.16第28页/共31页第二十八页，共32页。00,()( )xf xyf x 应应当当注注意意：若若( (是是曲曲线线的的一一个个0 .fx拐点,那么在点的导数不一定存在 比如拐点,那么在点的导数不一定存在 比如30,yxx函数在的导数不存在函数在的导数不存在但根据定义2,3.yx 的一个拐点的一个拐点点(0, 0) 却是曲线-2-1O12-11xy第29页/共31页第二十九页，共32页。复习(fx)思考题1. 两个(lin )凸函数的乘积是否是凸函数 ? 2. 两个(lin )凸函数的复合是否是凸函数 ? 3. 任选一个凸函数, 利用詹森不等式构造出新的 不等