倒立摆实验报告(现代控制理论)

1、现代控制理论实验报告倒立摆小组成员：指导老师：2013.5实验一 建立一级倒立摆的数学模型一、 实验目的学习建立一级倒立摆系统的数学模型，并进行Matlab仿真。二、 实验内容写出系统传递函数和状态空间方程，用Matlab进行仿真。三、 Matlab源程序及程序运行的结果（1） Matlab源程序见附页（2） 给出系统的传递函数和状态方程（a）传递函数gs为摆杆的角度：>> gsTransfer function: 2.054 s-s3 + 0.07391 s2 - 29.23 s - 2.013（b）传递函数gspo为小车的位移传递函数：>> gspoTransfer

2、 function: 0.7391 s2 - 20.13-s4 + 0.07391 s3 - 29.23 s2 - 2.013 s（c）状态矩阵A,B,C,D：>> sysa = x1 x2 x3 x4 x1 0 1 0 0 x2 0 -0.07391 0.7175 0 x3 0 0 0 1 x4 0 -0.2054 29.23 0b = u1 x1 0 x2 0.7391 x3 0 x4 2.054c = x1 x2 x3 x4 y1 1 0 0 0 y2 0 0 1 0d = u1 y1 0 y2 0Continuous-time model.（3）给出传递函数极点和系统状态矩

3、阵A的特征值（a）传递函数gs的极点>> PP = 5.4042 -5.4093 -0.0689（b）传递函数gspo的极点>> PoPo = 0 5.4042 -5.4093 -0.0689（c）状态矩阵A的特征值>> EE = 0 -0.0689 5.4042 -5.4093（4）给出系统开环脉冲响应和阶跃响应的曲线（a）开环脉冲响应曲线（b）阶跃响应曲线四、思考题（1）由状态空间方程转化为传递函数，是否与直接计算传递函数相等？答：由状态空间方程转化为传递函数：>> gso=tf(sys)Transfer function from inpu

4、t to output. 0.7391 s2 - 6.565e-016 s - 20.13 #1: - s4 + 0.07391 s3 - 29.23 s2 - 2.013 s 2.054 s + 4.587e-016 #2: - s3 + 0.07391 s2 - 29.23 s - 2.013 #1为gspo传递函数，#2为gs的传递函数而直接得到的传递函数为：>> gspoTransfer function: 0.7391 s2 - 20.13-s4 + 0.07391 s3 - 29.23 s2 - 2.013 s>> gsTransfer function:

5、2.054 s-s3 + 0.07391 s2 - 29.23 s - 2.013通过比较可以看到，gspo由状态空间方程转化的传递函数比直接得到的传递函数多了s的一次项，而6.565e-016非常小几乎可以忽略不计，因此可以认为两种方法得到的传递函数式相同的，同理传递函数gs也可以认为是相同的。（2） 通过仿真表明开环系统是否稳定？请通过极点(特征值)理论来分析。答：开环系统不稳定极点为：>> PP = 5.4042 -5.4093 -0.0689>> PoPo = 0 5.4042 -5.4093 -0.0689由系统稳定性结论可知，极点若都分布在s平面的左半平面则

6、系统稳定，而开环系统的极点有5.4042在右半平面。因此，开环系统不稳定。（3）传递函数的极点和状态方程的特征值的个数、大小是否相等？如果不相等，请解释其原因。传递函数gspo的极点和状态方程的特征值的个数、大小相等。但是传递函数gs的极点和状态方程的特征值个数不相等。因为存在零极点对消。附录：（matlab程序）clear all;f1=0.001;%实际系统参数M=1.32; m=0.132; b=0.1; l=0.27; I=0.0032; g=9.8; T=0.02;%求传递函数gs(输出为摆杆角度)和gspo(输出为小车位置) q=(M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2; num

7、=m*l/q 0; den=1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q; gs=tf(num,den); numpo=(I+m*l2)/q 0 -m*g*l/q; denpo=1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0; gspo=tf(numpo,denpo); %求状态空间sys(A,B,C,D) p=I*(M+m)+M*m*l2;A=0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/p m2*g*l2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(M+m)/p 0; B=0;(I+m*l2)/p;0;

8、m*l/p; C=1 0 0 0;0 0 1 0; D=0;0; sys=ss(A,B,C,D); %通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应 t=0:T:5; y1=impulse(gs,t); y2=impulse(gspo,t); figure(1); plot(t,y2,'b',t,y1,'r'); xlabel('t/s');ylabel('Position/m or Angle/rad');axis(0 2 0 80); legend('Car Position','Pendulu

9、m Angle'); %将状态空间方程sys转化为传递函数gs0 gs0=tf(sys); %通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应 t=0:T:5; y=impulse(sys,t); figure(2); plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r'); xlabel('t/s');ylabel('Position/m or Angle/rad');axis(0 2 0 80); legend('Car Position','Pendulum Angle'); %通过传递函数求系

10、统(摆杆角度和小车位置)的开环阶越响应 t=0:T:5; y1=step(gs,t); y2=step(gspo,t); figure(3); plot(t,y2,'b',t,y1,'r'); axis(0 2.5 0 80); xlabel('t/s');ylabel('Position/m or Angle/rad');legend('Car Position','Pendulum Angle'); %通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环阶越响应 t=0:T:5; y=step(sys

11、,t); figure(4); plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r'); xlabel('t/s');ylabel('Position/m or Angle/rad');axis(0 2.5 0 80); legend('Car Position','Pendulum Angle'); %求传递函数极点 P=pole(gs); Po=pole(gspo); %求A的特征值 E=eig(A);实验二 倒立摆系统控制算法的状态空间法设计一、 实验目的学习如何使用状态空间法设计系统的控制算法。二、 实验内

12、容用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加 0.2m 的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：(1) 杆角度µ 和小车位移x的稳定时间小于5秒(2) x的上升时间小于2秒2(3) µ 的超调量小于20度（0.35弧度）(4) 稳态误差小于4%.三、Matlab源程序及程序执行结果（1）Matlab源程序（见附录）（2）程序执行结果（a）k的值>> KK = -14.1421 -12.1570 63.5837 11.8416（b）反馈后的响应曲线（3）给出无扰动时两次不同K 值下，小车的稳定位置P1和摆杆的稳定角度Pend1；（a）>> KK =-14.

13、142-12.15763.58411.842小车的稳定位置P1=-0.02绿色的曲线为摆杆的稳定角度Pend1=0.001度(b) >> KK = -14.1421 -12.1570 63.5837 11.8416小车的稳定位置P1=-0.007绿色的曲线为摆杆的稳定角度Pend1=0.0015度（4）给出两次不同 K 值下，实际系统的响应曲线，并计算实验要求中的四项响应指标，并注意要利用实验三中统计出的响应时间延迟修正响应曲线。K = -14.1421 -12.1467 63.5825 11.8413=(0.11-0.0825)/0.0925=29.7% tp= (4100-38

14、80)/1000*8.8=1.936str=(4030-3880)/1000*8.8=1.32s ts=(4800-3880)/1000*8.8=8.096sK = -14.1421 -12.1570 63.5837 11.8416 =(0.11-0.085)/0.092=27.17% tp= (3025-2840)/1000*8.8=1.628str=(2955-2840)/1000*8.8=1.012s ts=(4800-3900)/1000*8.8=7.92s四、思考题(1) 计算Ac 的特征值。K = -14.1421 -12.1467 63.5825 11.8413K = -14.1

15、421 -12.1570 63.5837 11.8416(2) 通过仿真分析Q11和Q33的大小对控制效果的影响(Q11为Q阵的第(1; 1)个元素)： 固定Q33 ，改变Q11Q33= 100 Q11=100（红）、500（蓝）、1000（绿）从图中可以看出Q11增大,角度超调随着增大,位置的超调基本不变,但是响应时间缩短了。 固定Q11 ，改变Q33Q11= 100 Q33=100（红）、1000（蓝）、2000（绿）从图中可以看出Q33增大,角度超调减小,位置的超调基本不变,但是响应时间延长了。附录：（matlab程序）clear all;f1=0.001;%实际系统参数% M=1.09

16、6; % m=0.109; % b=0.25; % l=0.25; % I=0.0034; % g=9.8; % T=0.001; %求系统状态空间参数 M=1.32; m=0.132; b=0.22; l=0.27; I=0.0032; g=9.8; T=0.02;p=I*(M+m)+M*m*l2; A=0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/p m2*g*l2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(M+m)/p 0; B=0;(I+m*l2)/p;0;m*l/p; C=1 0 0 0;0 0 1 0; D=0; %求反馈向量K R=1; Q1=200;Q2=0;Q

17、3=100; Q=Q1 0 0 0;0 Q2 0 0;0 0 Q3 0;0 0 0 0; K=lqr(A,B,Q,R); %求状态反馈后的系统sysstate Ac=A-B*K; Bc=B*K(1); %输入变换使输入与反馈的量纲匹配 sysstate=ss(Ac,Bc,C,D); %对lqr控制系统进行仿真 t=0:T:5; U=0.2*ones(size(t); y=lsim(sysstate,U,t); figure(1);hold on;plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');box on;xlabel('t/s');ylabel(

18、9;Position/m or Angle/rad');legend('Car Position','Pendulum Angle');实验三 研究倒立摆系统对信号的跟踪一、实验目的观察倒立摆对于不同输入信号的跟踪情况，加深对状态空间和状态反馈的理解。二、实验内容在平衡位置，分别设定下列三种信号，记录倒立摆的运动情况：(1) 方波信号：频率0.2Hz，幅值0.05m(2) 正弦波信号：频率0.2Hz，幅值0.05m(3) 锯齿波信号：频率0.2Hz，幅值0.05m三、Matlab源程序及程序执行结果(1)Matlab源程序（见附录） (2)Matlab仿

19、真图形（三种扰动下的响应曲线）A 阶跃信号下的响应曲线B 方波信号下的响应曲线C 正弦信号下的响应曲线（3）实际系统的响应曲线当Q1=500，Q2=700A 锯齿波信号下的实际响应曲线B 方波信号下的实际响应曲线C 正弦信号下的实际响应曲线当Q1=300，Q2=500A锯齿波信号下的实际响应曲线B 方波信号下的实际响应曲线C 正弦信号下的实际响应曲线（4）在锯齿波跟踪曲线图上，利用“放大”功能测量出实际系统对于输入的延迟时间：测量输入曲线和锯齿波响应曲线最高点之间的时间差，利用多个时间差求平均获得平均延迟时间。根据图可得时间对应关系为20s对应图中2325,即每一格对应8.602*10-3s.

20、则当Q1=500，Q2=700时，锯齿波中实际输入延迟时间为25*8.602/1000=0.215s则当Q1=300，Q2=500时，锯齿波中实际输入延迟时间为15*8.602/1000=0.129s（5）根据统计出的时延，对实验二中阶跃响应的曲线进行修正修正后的曲线：K = -14.1421 -12.1467 63.5825 11.8413K = -14.1421 -12.1570 63.5837 11.8416四、思考题(1)仿真曲线和实际响应曲线是否大致相同？通过比较可以看出仿真的曲线和实际响应曲线大致相同。(2)请说明原系统是否完全可控？因为3<4，所以，原系统不完全可控。附录：

21、Matlab源程序clear all; f1=0.001;%实际系统参数M=1.096; m=0.109; b=0.25; l=0.25; I=0.0034; g=9.8; T=0.02; %求系统状态空间参数 p=I*(M+m)+M*m*l2; A=0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/p m2*g*l2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(M+m)/p 0; B=0;(I+m*l2)/p;0;m*l/p; C=1 0 0 0;0 0 1 0; D=0; %求反馈向量K R=1; Q1=200;Q2=0;Q3=100; Q=Q1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 Q3 0;0 0 0 0; K=lqr(A,B,Q,R); %求状态反馈后的系统sysstate Ac=A-B*K; Bc=B*K(1); %输入变换 使输入与反馈的量纲匹配 sysstate=ss(Ac,Bc,C,D);%信号模拟发生器T=0.02Tmax=45;%生成阶跃信号¨ % t=0:T:Tmax; % U=0.1*ones(size(t);%生成方波¨ t=0:T:Tmax; U = 0.1.*gensig('square',15,Tmax,T)-0.1/2;%生成正弦波 % t=0: