旋转几何证明知识讲解

1、旋转几何证明精品文档巧用旋转解题温州市实验中学周利明传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三 角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介 绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。1 .利用旋转求角度的大小 例1:在等腰直角中,/90° , P是内一点，满足76、2、1 求/的度数.分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，味三簧 线段的' p .y '长度是已知的，但是这三条线段不是三角形A勺言星r/4B要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助旋转来分析问题，因为，这就给我们利用旋转创造了条件，因此可以考虑将 APC绕点C逆时针

2、旋转900 ,得BPC,连接PP ,通过三角形的边与角的关系分别求得CPP和 PPB,就可得到 BPC的大小。解：由已知，将 APC绕点C逆时针旋转90°,得BPC,连接PP ；由旋转可知： PCB ACP, CP CP , AP BP ；P CB PCB ACB 90° ,PCP是等腰直角三角形，CPP CP P 45°且PP 2在 PPB 中，= PB2 PP 2 22 （加）2 6 （眄? ap2 BP2,二 PPB是直角三角形，且 P PB 900 , BPC CPP P PB 450 9001350 .例2:如图所示，正方形的边长为1, P、Q分别为边、

3、上的 点，APQ的周长为2,求 PCQ的大小.分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长 ,所以可以考虑 将PBC绕点C顺时针旋转90° ,易证E、D Q三点共线，通过 证明ECQ和PCQ全等即可求得 PCQ的大小.90 得 EDCPCB , EDDCQ PCQ解：; ，将PBC绕点C顺时针旋转EDCCBP 900 ,ECDCE CP ;ECDDCQPCQPCB且 EDC CDA 1800 , E、DX Q三点共线,APQ的周长为2,即AQ AP PQ 2,又 AQ AP PB QD AB AD 2 ,PQ PB DQ ED DQ E

4、Q ,CE CP在 ECQ 和 PCQ 中： EQ PQ ,ECQ PCQ ；CQ CQPCQ ECQ 450 .练习1: P为正方形内一点，且123,求/的大小.2 .利用旋转求线段的长度 例3:如图，P是等边内一点，2, PB 243, 4,求的长。分析：本题虽然和、同处一个三角形，但是要求其长还缺角度，因此直接从已知条件入手是比较困难的，但是整当运用旋转的'p方法，就可以是问题简单化；因为本题的是等&三A角形，所以其三边是相等的，因此联想到将内部的 某个三角形进行旋转也是比较容易的；解： 是等边三角形，.将绕点B逆时针旋转60° ,则与重合， ABP EBC 且

5、，连接；0ABP CBP EBC CBP 60 ,二.EBP是等边三角形，二 EP PB 2,3; 在 ECP 中：EP2 EC2(2<3)2 22 16 CP2 ;0 CEP 900 ,: EC -PC,. EPC 30°,20 BPC 90 ,二 BC "PC2 PB2 V42 (2v13)2 J28 2电例4:如图，在梯形中，(>),/ 90,12, / 45°，若 10。求的长度。分析：仔细分析就会发现本题所给的条件不易 _尸直接求得的长度，还需要做一些变化，经)E容易发现把把绕点 B顺时针旋转90°可构成一个正方形，然后通过三角形全

6、笨就找出解：把绕点B顺时针旋转90°彳导BGF,连接AG ,易证边之间的关系。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除三点一线，且易知四边形为正方形.由旋转可得：CBE GBF, BE BF ,ABE 450 ,ABF ABG GBFABGCBE 450.在BE BF ABE 和 ABF 中： ABE ABF,AB AB.在ABE ABF,二 AE AF设CEx,贝 U AG 10x，AD DGAG12(10DE DC CE 12 x ;在 RtADE, AE2 AD2DE2 ,即 102(x2)2(12x)2 ；x2 10x 24 0 ,解之得:X14,X26；的长为4或6.练习2:如

7、图四边形中，/ 90° ,其面积为16,求A到的距离.3.利用旋转探求线段之间的关系 例5:如图，在凸四边形中，/ 30° , / 60° ,求证：BD2 AB2 BC2.分析：由本题的结论不难想到在直角三角形中应用勾股定理可以证得含有平方关系的线段之间的关系,尹立、 我们就需要将结论中的这三条线段放到同一个直版ra>bC由于，所以可以考虑将 ADB绕点D顺时针方向旋转 '600 / 弋/使和重合，这样就可以得到Rt BCE,然后通过证明EDBE是等边三角形就可以得到结论中线段之间的关系.解：将ADB绕点D顺时针方向旋转60° ,使和重合，

8、得DCE弁连接EB ,由旋转可得：ADBCDE , DCE DAB, DB DE ；0BDEBDCCDE BDC ADE ADC 60 ,二.DBE是等边三角形，DB BE ,0DCB DCE DCB DAB 270 BCE 90°, /. RtBCE 中：BE2 CE2 BC2 , 2222 BD BE CE BC .例6:如图，在中，/ 90° , , D E在上，/ 45° ,求证：CD 2 BE2 DE2 .分析：由本题的结论我们可以联想到直角三角形中勾股定 理的结论，因此我们就需要将结论中的三条线段放在同一个直 角三角形中，再由,a我们不难想到将 ADC

9、绕点A延顺时针方向旋多;9夕 这样我们就将DC、BE放到了同一个三角形甲，E D 同时我们也不难证明FBE 900 ,然后我们只要设法证明AFE AED ,则结论可得.解：: ，将ADC绕点A延顺时针方向旋转90°得AFB, 连接EF ,由旋转可得：FAB CAD , FBA ACD 450 , FB DC,AF AD ;:EAD 45°,BAE CAD BAE FAB FAE 45° ,AF AD在 AFE 和 AED 中： EAD FAE,. AFE AED； AE AEEF ED ,0 FBE FBA ABC ACD ABC 90二 FBE 是 Rt , 二

10、 BF2 BE2 EF2 ED2.练习3:如图、，是正三角形，是顶角/=1200 的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交、 边于M N两点，连接.探究：线段、之间的关系，弁加以证明.4.利用旋转求面积的大小30° , / 15° ,求的面积.FC例7:如图正方形中，ab J3,点E、F分别在、上，且/分析：本题由已知条件直接去求结论是比较疝 由于该题中含15° , 30°等特殊角度，因此通过 可构作出45°角，构造三角形全等，通过等侬打帕 问题是比较容易的解：将绕A点延顺时针方向旋转 90°得4,由旋转性质可知：AG

11、AF , BAG FAD 15°,ABG FDA 900 ,: ABG ABC 180°,点 G B、E 三点共线，又:GAE GAB BAE 450 , EAF 900(150300)450 ,AG AF在 AFE 和 AGE 中： GAE FAE ,. AFE AGE；AE AE EF EG,又 AEF AEG 600 ,RtABE 中：AB 73 , / 30° , BE 1,在中FEC 1800 (600 600) 600 ,/. EC BC BE、/31 ,/.EF 2EC2(/31),EF EG 2(73 1),S AEG - EGAB1 2(731)

12、 33 3V3 ,22 S AEF S AEG 3- 3例8:如图A B、C、D是圆周上的四个点，Ab Cd Ac ?d .且弦8,弦6,则图中两个弓形(阴影)的面 积和是多少？分析：从已知条件直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知 条件Ab Cd Ac ?d ,容易发现Ab Cd正好是整个圆弧的一 半，因此通过将弓形绕圆心旋转使点D与点B重合，就可以得到直角三角形，然后求阴影部分的面积就会很容易.解：由于Ab Cd Ac Bd ,知Ab Cd的长正好是整个圆弧的 一半，将弓形绕圆心旋转，使点 D与点B重合（如图2）:则 Abc恰好为半圆弧，为 e O的直径， ./90° ,由勾股定理

13、可求得 AC 10,215-68 12.521S阴影枭圆SRt ABC 二2练习4:如图是等腰直角三角形，D为的中点，2,扇形和分别是以、为半径的圆的4,求阴影部分面积.A.参考答案:练习1 ：1350 ,提示：如图将 BPC逆时针旋转900得AEB,连接PE,分别求得 APE和 BPE .练习1练习2练习3 练习练习2:距离为4,如图通过旋转变换得正方形.练习3： MN NC BM ,把绕点D顺时针旋转120°得到CDM ,易证 DMN CDM .练习4:， 1),将扇形和绕D点顺时针旋转180° .观察巧旋转妙解题沈岳夫旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一

14、步 深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是 题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着 手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通 过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部 分试题加以归纳，供参考。一.通过旋转，解答角度问题例1.如图1, P是正三角形内的一点，且 6, 8, 10。求/ 的度数。图1解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。将绕点A逆时针旋转60°后，得到,连接（如图 2）, 则 10, 6, / 60° 。是等边三角形，6。在中，-L 1-/ 90°/ 60

15、76; +90° =150°图2通过旋转，计算线段长度问题例2.如图3, P是正内一点，2, PB=2g, 4,求的长。解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来 解题，就显得十分容易。将绕点B逆时针旋转60° ,则与重合（如图4）,连 接。则是正三角形，即MP=2PC=4,MC = 2 ,由广，. 故/ 90 ° ,MC= - PC 因为 2,例3.如图5, 10。求的长度。在梯形中，（）,/ 90° , 12, /45° ,若DC解析：经观察,图5把绕点 B顺时针旋转90° ,可构成一个所以/ 30°

16、 , 又因为/ 60° , 故/ 90 ° , 得"一正方形，然后通过三角形全等，找出边之间的关系。延长，把绕点B顺时针旋转90° ,与的延长线分别交于 点G,点M （如图6）,易知四边形为正方形。又/应./ 45°应.10设，则:1'I1.匚 1 - 11 一在中，AE，= AD、DE即.二一一二 I一所以的长为D图6三.通过旋转，巧算面积问题例4.如图7,正方形中，AB=g，点E、F分别在、上，且 /30° , / 15° ,求的面积。图7解析：由于该题中含15。，30。等特殊角度，通过旋转4, 可构作出45&#

17、176;角，构造三角形全等，通过等积变形而获解。将绕A点顺时针旋转90°到的位置（如图8）,由旋转性质可知：，/ 15° ,故/ 15° +30° =45° 。./90。-。5。+ 3吗=45。 / /又丁应（）./ 60°在中，AB=g , / 30°，贝U 1,在中，/ 1即。-6口、印呢皿口，L1- -1-EF= NEC =23-1)即 EG = EF = 21君-1)SiAE(i = |x EG xAB= 1x2(75- 1) .币=3-4AAEF = $iAEG =3一 出图8例5.如图9, A B、C、D是圆周上

18、的四个点，AB+cb=AC+BDo且弦8,弦4,则图中两个弓形（阴影）的面 积和是多少？（结果保留三个有效数字）图9解析：要直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件，运 用整体思维可简易求得。由于值无=:6而，知盘十心长等于圆的周长的一半，将弓 形绕圆心旋转，使点D与点B重合（如图10）,则也玩恰好为半圆弧，此时为圆 。的直径，从而/ 90° ,由勾股定理可求得ac = 4万，国第=M卓国-Seuiabc =彳 X 3 -14 父（2石）Q 一 乂苫 m 4 fs 15一4 故其面积和为15.4。图10四.通过分割、旋转、拼接平行四边形例6.如图11,已知四边形纸片，现需将该纸片剪成

19、一个与 它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条， 能否做到：（用“能”或“不能”填空），若填“能”，请确 定裁剪线的位置，弁说明拼接方法；若填“不能”，请简要说 明理由。解析：解此题的关键是把大四边形分割成四个小四边形，然 后通过分割旋转达到目的，简答如下：能，如图12,取四边形各边的中点 E、G F、H,连接、， 则、为裁剪线，、将四边形分成 1、2、3、4四个部分，拼接 时，图中的1不动，将2、4分别绕点H F各旋转180° , 3平 移，拼成的四边形满足条件（如图 13）。图12B G C图13五.通过旋转巧证三点一直线例7.已知，点P是正方形内的一点，连接、。（

20、1）将绕B点顺时针旋转90°到p1cb的位置（如图14）设的长为a,的长为b （b<a）。求旋转到 p1®的过程 中边所扫过区域（图14中阴影部分）的面积。若2, 4, / 135° ,求的长。图14（2）如图15,若PAn+PcLNPE ,请说明点P必在对角线 上。解析：要说明点P必在对角线上（即点 A、点P、点C三点 成一直线）关键是弄懂第（1）小题的问题，实质第（1）小题 的解答过程为第（2）问埋下伏笔，让学生从中受到启发，运用 类比方法就易解答该题，简答如下：（1）一图15如图16,连接pp,将绕B点顺时针旋转90°到p,cb 的位置，则 bp=bpo cp: /bpp,.pep为等腰直角三角形，.pp-aPBJ嵬 /四七=克产。） Z-U6图16(2)将绕点B顺时针旋转90°到P,1的位置(如图17)贝库六：5目母=1：卜/ZBPP,连接PP,贝fPP、2PB30PA2 + PC2 =2PB;.PC1 + PCa =2PBa/. PC1 + PC2 =Fpn：.ZPCP- 90°- ZBPC + ZBPC=1SO.ZAPB +ZBPC = 1SO即点P必在对角线上。图17六.通过旋转探求线段之间的关系例8.如图18, E是正方形的边上的一点，平分/交于点 F。求证：。图18解析：解此题的关键是如何把分散的