第二章守恒定律

1、精选课件1 大大 学学 物物 理理精选课件2第二章第二章 机械能守恒定律机械能守恒定律 2-1 功和功率功和功率 2-2 动能和动能定理动能和动能定理 2-3 势能势能 2-4 机械能守恒定律机械能守恒定律精选课件32-1 功和功率功和功率abfLdr 若质点在恒力若质点在恒力F作用下沿直线运动，作用下沿直线运动， 位移为位移为r, 则则力力F作的功为作的功为cosFrrFA 若质点受变力若质点受变力f 作用作用, 沿一曲线沿一曲线L从从a到到b, 位移元位移元dr上的上的元功元功为为cosfdscosdrfdrfdAdsdr 从从a点运动到点运动到b点点,力力 对质点所对质点所作的总功就是各

2、元功之和作的总功就是各元功之和:f一一. .功：单位功：单位J J（焦耳，焦）（焦耳，焦）定义：定义：作用于质点的力与质点作用于质点的力与质点沿力的方向沿力的方向所作位移的乘积。所作位移的乘积。babadsfdrfAcos精选课件4合力所作的功合力所作的功niinFFFFF121则则rdFFFrdFAbanba)(21nAAA21若若即：合力对某质点所作的功，等于在同一过程中各即：合力对某质点所作的功，等于在同一过程中各分力所作功的代数和。分力所作功的代数和。在直角坐标系中有在直角坐标系中有bazyxdzFdyFdxFA)(即：合力所作的功等于其直角分量所作功的代数和。即：合力所作的功等于其直

3、角分量所作功的代数和。精选课件5二、功率二、功率 单位时间内所作的功称功率，用单位时间内所作的功称功率，用P表示，单位，表示，单位，W（瓦特，瓦）（瓦特，瓦）.dtrdFdtrdFdtdAPcosFvvF精选课件6例例2-12-1设作用在质量为设作用在质量为2kg2kg的物体上的力的物体上的力F F =6=6t t(N)(N)。如。如果物体由静止出发沿直线运动，问在头果物体由静止出发沿直线运动，问在头2s2s时间内，这个时间内，这个力对物体所作的功。力对物体所作的功。解：按功的定义式计算功，必须首先求出力和位移的解：按功的定义式计算功，必须首先求出力和位移的关系式。根据牛顿第二定律关系式。根据

4、牛顿第二定律F=ma可知物体的加速度为可知物体的加速度为 a=F/m=6t/2=3t所以所以 dv=adt=3tdt2005 . 13ttdtdvtvdttvdtdx25 . 1 JdttdtttFdxW3695 . 162032 力所作的功为力所作的功为精选课件7例例2-2一个质点沿如图所示的路径运行，求力一个质点沿如图所示的路径运行，求力F=(4-2y)i (SI) 对该质点所作的功，（对该质点所作的功，（1）沿）沿ODC；（；（2）沿）沿OBC。 解：解： iyF)24( 0 24 yxFyF（1）OD段：段：y=0,dy=0, DC段：段：x=2,Fy=0 ,dx=0JdxrdFrdF

5、WDCODODC80)024(20 （2）OB段：段：Fy=0, dx=0, BC段：段：y=2,dy=0 0)224(020dxrdFrdFWBCBOOBC结论：力作功与路径有关，即力沿不同的路径所作的功是不同的结论：力作功与路径有关，即力沿不同的路径所作的功是不同的B B2 2O OC C2 D2 D精选课件82-2 动能和动能定理动能和动能定理1.动能动能221mvEk即：质点的动能定义为质点的质量与其速率平即：质点的动能定义为质点的质量与其速率平方的乘积的一半，用方的乘积的一半，用EkEk表示。表示。定义：定义：精选课件92.质点动能定理质点动能定理式叫做式叫做质点动能定理质点动能定理

6、。它说明。它说明:作用于质点的合外力作用于质点的合外力所作的功，等于质点动能的增量。所作的功，等于质点动能的增量。 (1)功是标量功是标量,且有正负。且有正负。 (2) A为过程量，为过程量， EkEk为状态量，过程量用状态量之为状态量，过程量用状态量之差来表示，简化了计算过程。差来表示，简化了计算过程。 动能定理成立的条件是惯性系。动能定理成立的条件是惯性系。 功是能量变化的量度。功是能量变化的量度。222121abbammdrfA精选课件10 例题例题2-3 今有一倔强系数为今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放的轻弹簧，竖直放置，下端连接一质量为置，下端连接一质量为m的物体，开始时使弹簧为的

7、物体，开始时使弹簧为原长而物体原长而物体m恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提起，直到物体地提起，直到物体m刚能脱离地面时止，求此过程刚能脱离地面时止，求此过程中外力作的功。中外力作的功。 kmgdxkxAx2)(200 解解 将弹簧上端缓慢地提起的过程中，将弹簧上端缓慢地提起的过程中，需要用多大的外力？需要用多大的外力？ x(原长)xomF 外力外力: F=kx ，这是一个变力。建，这是一个变力。建立如图所示的坐标。立如图所示的坐标。 物体物体m脱离地面的条件是什么？脱离地面的条件是什么？ kx0=mg x0=mg/k 所以外力作的功为所以外力作的功为精选课件

8、11)(2100222abyxbamdyFdxFA 解解 如何求出合外力及分力呢？如何求出合外力及分力呢？ Fx=-m 2x, Fy=-m 2y,其中其中: x=acos t, y=bsin t 当当t=0时，时，x=a, y=0; 当当t= /(2 )时，时，x=0, y=b。 合外力的功为合外力的功为合外力合外力:=-m 2(xi+yj )rmmaF2 例题例题2-4 一质量为一质量为m的质点在的质点在xoy平面上运动，其平面上运动，其位置矢量为位置矢量为 (SI),式中式中a、b、 是正值常数，且是正值常数，且ab。求：。求：t=0到到t= /(2 )时间内合时间内合外力的功及分力外力的

9、功及分力Fx、Fy的功。的功。 tjbtiarsincos精选课件12 分力分力Fx、Fy的功为的功为 )(21222bamAAAyx22021amdxFAaxx22021bmdyFAbyy(1)显然合外力的功等于分力的功之和：显然合外力的功等于分力的功之和： (2)合外力的功也可由动能定理直接求出。合外力的功也可由动能定理直接求出。 tjbtiarsincostjbtiadtdrcossin精选课件13)(212121222202bammmA由动能定理得合外力的功为由动能定理得合外力的功为当当t=0时，时， o= b j , 大小大小: o= b; 这样作的优点是：不必求出力，就能求出这个力

10、这样作的优点是：不必求出力，就能求出这个力的功，且更简便。的功，且更简便。tjbtiadtdrcossin当当t= /(2 )时时, =- a i , 大小大小 = a 。精选课件14 例题例题2-5 在光滑的水平桌面上，平放着如图所示在光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固定的半圆形屏障。质量为的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度的滑块以初速度 0沿沿切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为。求滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。求滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。 解解 滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦力滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦

11、力fr、屏障给它的支持力屏障给它的支持力N, 如图所示。如图所示。 在自然坐标系中，在自然坐标系中， o 0Nfr 法向：法向： (1) RmN2dtdmN切向：切向： (2) 将式将式(1)代入式代入式(2), 有有精选课件1500dde0,) 1(21220em将上式化简后得：将上式化简后得：d = - d 对上式分离变量并积分：对上式分离变量并积分：dtdR2 由于支持力由于支持力N不作功，不作功， 由动能定由动能定理得摩擦力的功为理得摩擦力的功为2022121mmA o 0Nfr RmN2dtdmNddRdtddd精选课件162-3 势势 能能一、势能的概念一、势能的概念 由物体（质点

12、）间的相互作用和相对位置决定的由物体（质点）间的相互作用和相对位置决定的能量称为势能。常见的势能形式有引力势能、重力势能量称为势能。常见的势能形式有引力势能、重力势能和弹力势能。能和弹力势能。 动能可以属于某个物体所有，也可以属于某个系动能可以属于某个物体所有，也可以属于某个系统共有，但势能却只能属于相互作用着的物体构成的统共有，但势能却只能属于相互作用着的物体构成的系统共有。系统共有。 能量包括动能和势能。动能是物体以自身的运动能量包括动能和势能。动能是物体以自身的运动速率所决定的作功的本领。速率所决定的作功的本领。二、万有引力、重力、弹性力作功的特点二、万有引力、重力、弹性力作功的特点精选

13、课件17 如图所示如图所示,质量为质量为m的质点在质量的质点在质量为为M的质点的引力场中的质点的引力场中,由由a点沿任意路径运动到点沿任意路径运动到b点点(用用ra和和rb分别表示分别表示a、b两点到质点两点到质点M的距离的距离)。 注意到：注意到：dscos( - )=dr(即质点即质点m与与M之间距离之间距离r的的增量增量),所以所以引力对质点引力对质点m所作的功为所作的功为drrMmGfdsAbarrbaab2cos)11(barrGMm上式中的上式中的G是引力常数。是引力常数。 由式可见由式可见,万有引力的功也只与质万有引力的功也只与质点始末位置有关点始末位置有关,而与质点所经过的而与

14、质点所经过的实际路径形状无关。实际路径形状无关。万有引力的功万有引力的功frrarbabMdrdsm精选课件18 设质量为设质量为m的质点沿一曲线的质点沿一曲线L从从a点运动到点运动到b点点(高度高度分别为分别为ha和和hb),如图所示如图所示;重力对质点重力对质点m作的功为作的功为 bahhbaabmghmghmgdyA 假如质点假如质点m从从a点沿另一曲线点沿另一曲线C运动运动b点点,显然所作的功仍如式显然所作的功仍如式所示。由此可见所示。由此可见,重力作功只与重力作功只与质点的始末位置有关质点的始末位置有关,而与质点而与质点所经过的实际路径形状无关。所经过的实际路径形状无关。Labmgh

15、aoyxhbC重力的功重力的功 精选课件19 将轻弹簧的一端固定将轻弹簧的一端固定,另一端连接一另一端连接一小球小球,如图所示。当小球由如图所示。当小球由a点运动到点运动到b点过程中点过程中,弹弹性力所作的功为性力所作的功为 baxxabkxdxA 由式可知，弹性力作功和重力作功一样由式可知，弹性力作功和重力作功一样,只与运动只与运动质点的始末位置有关质点的始末位置有关,而与其经过的实际路径形状无而与其经过的实际路径形状无关。式中关。式中k为弹簧的倔强系数。为弹簧的倔强系数。弹性力的功弹性力的功222121bakxkxxa (原长原长)oxbabx精选课件20 三、保守力三、保守力保守力保守力

16、：作功只与初始和终了位置有关而与路径无：作功只与初始和终了位置有关而与路径无关这一特点的力关这一特点的力万有引力、重力、弹性力万有引力、重力、弹性力非保守力非保守力：作功与路径有关的力：作功与路径有关的力摩擦力摩擦力 因为保守力作的功只与质点的始末位置有关，因为保守力作的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关而与路径无关,故保守力故保守力F保保沿任意闭合路径沿任意闭合路径L所作所作的功总为零的功总为零,亦即亦即LdrF0保保守力作功与路径无关保守力作功与路径无关和和保守力沿任意路径一周所保守力沿任意路径一周所的功为零的功为零保守力的判据保守力的判据精选课件21四、势能四、势能可见，保守力的功可

17、写为可见，保守力的功可写为baabmghmghA重力的功重力的功222121baabkxkxA弹性力的功弹性力的功)11(baabrrGMmA引力的功引力的功 定义：定义：Epa是系统在位置是系统在位置a的势能的势能; Epb是系统在位置是系统在位置b的势能。的势能。bapapbpbpaEEEEdrFA)(保保精选课件22上式的意义是上式的意义是: 保守力的功等于势能增量的负值。保守力的功等于势能增量的负值。 若取若取b点为零势点，则由式我们得到系统在位置点为零势点，则由式我们得到系统在位置a的势能为的势能为 上式表示，上式表示，系统在位置系统在位置a的势能等于系统从该位置的势能等于系统从该位

18、置移到势能零点时保守力所作的功移到势能零点时保守力所作的功。这就是计算势能这就是计算势能的方法。的方法。 原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此势能仅具有相对的意义。势能仅具有相对的意义。drFEapa零势点保bapapbpbpaEEEEdrFA)(保保精选课件23 (1)通常选取两物体相距无穷远时通常选取两物体相距无穷远时(此时引力为零此时引力为零)的势能为零。的势能为零。 rPrMmGdrrMmGE2 (3)引力势能总是负值。引力势能总是负值。 应当注意：势能是属于相互作用着应当注意：势能是属于相互作用着的物体所组成的系统的的物体所组成的系统的

19、,不应把它看作不应把它看作是属于某一个物体的。是属于某一个物体的。引力势能引力势能 (2)两物体两物体M、m相距相距r时的引力势能时的引力势能,rfMdrm精选课件24 (1)零势面可任意选择零势面可任意选择,由问题的方便而定。由问题的方便而定。 (2)重力势能为重力势能为Ep=mgh (3)物体在零势面以上物体在零势面以上,重力势能为正重力势能为正,否则为负否则为负。 弹力势能弹力势能 2021kxkxdxExp(3)弹性势能总是正值。弹性势能总是正值。重力势能重力势能 (1)通常规定弹簧无形变通常规定弹簧无形变(即未伸长也未压缩即未伸长也未压缩)时的时的势能为零。势能为零。 (2)弹簧伸长

20、或压缩弹簧伸长或压缩x时的弹性势能时的弹性势能xx (原长)aok精选课件25五五*、势能曲线、势能曲线重力势能曲线重力势能曲线弹力势能曲线弹力势能曲线万有引力势能曲线万有引力势能曲线势能曲线不仅给出势能在空间的分布，而且还可以表示系统势能曲线不仅给出势能在空间的分布，而且还可以表示系统的稳定状态。的稳定状态。曲线斜率为保守力的大小。曲线斜率为保守力的大小。从势能曲线可分析系统的平衡条件及能量的转化。从势能曲线可分析系统的平衡条件及能量的转化。精选课件26 设系统由设系统由n个质点组成个质点组成, 对对mi 应用动能定理应用动能定理,有有2-4 机械能守恒定律机械能守恒定律2022121iii

21、iiiimmAAA外内2022121iiiiiiiiiiiimmAAA外内 这就是质点系动能定理：这就是质点系动能定理：外力和内力对系统所作外力和内力对系统所作功的代数和，等于系统内所有质点的总动能的增量。功的代数和，等于系统内所有质点的总动能的增量。写成：写成：A内内 + A外外 = Ek Ek0式中：式中：i=1,2,3,。对上式求和。对上式求和得得1.质点系动能定理质点系动能定理精选课件27 将上述结果代入动能定理将上述结果代入动能定理: A内内+A外外 = Ek- Ek0 移项后移项后,则得则得A外外+A非保守内力非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 式中式中:E=Ek+

22、Ep是系统的机械能。上式表明是系统的机械能。上式表明:系统合系统合外力的功和非保守内力的功的代数和等于系统机械外力的功和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量能的增量。这一结论称为系统的。这一结论称为系统的功能原理功能原理。 这里需要指出的是，系统机械能的改变不仅与外这里需要指出的是，系统机械能的改变不仅与外力的功有关，而且还与非保守内力的功有关。力的功有关，而且还与非保守内力的功有关。 2.功能原理功能原理 内力的功内力的功A内内也可以写成也可以写成 A内内=A保守内力保守内力+A非保守内力非保守内力 )(popEEA保守内力精选课件28 A外外+A非保守内力非保守内力=(Ep+Ek)

23、- (Ep0+Ek0) 如果如果合外力的功与非保守内力的功之和为零合外力的功与非保守内力的功之和为零(即即A外外+A非保守内力非保守内力=0)时时, 则则Ep+Ek=恒量恒量这一结论称为这一结论称为机械能守恒定律机械能守恒定律。3.机械能守恒定律机械能守恒定律精选课件29 例题例题2-6如图所示，一链条总长为如图所示，一链条总长为L、质量为、质量为m，放，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为a，链条与桌，链条与桌面之间的滑动摩擦系数为面之间的滑动摩擦系数为,令链条由静止开始运动，令链条由静止开始运动，求链条末端离开桌面时的速率。求链条末端离开桌面时的速率。

24、 A 解解 链条受三个力作用：摩擦力、重力链条受三个力作用：摩擦力、重力(保守力保守力)以以及桌面对它的支持力及桌面对它的支持力(此力不作功此力不作功)。此题宜用功能原。此题宜用功能原理求解。理求解。 建立如图所示的坐标建立如图所示的坐标ox, 先求摩擦力先求摩擦力(变力变力)的功：的功：oL-aax2)(2aLLmgLa)(xLLmgdx精选课件30 取桌面为零势面，由功能原理取桌面为零势面，由功能原理:)212(2mLmg解得解得A外外+A非保守内力非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)oL-aax)2(aagLm 对链条、细棒这样一些对链条、细棒这样一些有有一定长度的物体一定

25、长度的物体，计算，计算重力势重力势能和重力的力矩能和重力的力矩时可将其时可将其质量质量集中在集中在质心质心，从而当作一个质，从而当作一个质点处理点处理。2)(2aLLmgA(222L)aL()aLg 精选课件31 例题例题2-7如图所示，光滑地面上有一辆质量为如图所示，光滑地面上有一辆质量为M的的静止的小车，小车上一长为静止的小车，小车上一长为L的轻绳将小球的轻绳将小球m悬挂于悬挂于o点。把绳拉直，将小球由静止释放，求小球运动到点。把绳拉直，将小球由静止释放，求小球运动到最低点时的速率。最低点时的速率。 解解 以小球为研究对象，它受以小球为研究对象，它受两个力：绳的张力两个力：绳的张力T，重力

26、，重力mg。因为小球绕因为小球绕o点作圆运动，张力点作圆运动，张力T与运动方向垂直，因此它不作与运动方向垂直，因此它不作功，只有重力功，只有重力(保守力保守力)作功，所作功，所以机械能守恒：以机械能守恒：221mmgL 解得：解得：gL2 这个解法对吗？这个解法对吗？oLmM Tmg精选课件32 说小球绕说小球绕o点作圆运动，张力点作圆运动，张力T不不作功，因而机械能守恒，这是以小作功，因而机械能守恒，这是以小车为参考系作的结论。这里有两个车为参考系作的结论。这里有两个错误错误: 一是小车是非惯性系一是小车是非惯性系(有加速度有加速度)，机械能守恒定律是不成立！机械能守恒定律是不成立！ 二是机

27、械能守恒条件中的功，应二是机械能守恒条件中的功，应该在惯性系中计算。在惯性系该在惯性系中计算。在惯性系(地面地面)上看上看,张力张力T要作功要作功,机械能是不守恒机械能是不守恒的。的。 错错! 错在那里？错在那里？oLmM Tmg 正确的解法是取小车、小球和地球为系统，一对内正确的解法是取小车、小球和地球为系统，一对内力力(张力张力T)作功之和为零，只有保守内力作功之和为零，只有保守内力重力作功，重力作功，系统系统(M+m)机械能守恒。机械能守恒。精选课件33222121MVmmgL(1)mMMgL2 系统动量守恒吗？系统动量守恒吗？ 竖直方向的动量显然不守恒，竖直方向的动量显然不守恒，只有在

28、水平方向只有在水平方向(根本不受外力根本不受外力)动量守恒动量守恒 0= MV-m (2) 解式解式(1)、(2)得小球运动到最得小球运动到最低点时的速率为低点时的速率为oLmM Tmg(M+m)：精选课件34 例题例题2-8 半径为半径为R 、质量为、质量为M且表面光滑的半球，且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为放在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为m的小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图的小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图所示的所示的 角位置处，开始脱离球面，试求：角位置处，开始脱离球面，试求： (1) 角满足的关系式；角满足的关系式； (2)分别

29、讨论分别讨论m/M1时时cos 的取值。的取值。 解解 (1)小物体脱离球面前相小物体脱离球面前相对球面作圆运动，沿法向有对球面作圆运动，沿法向有 脱离球面的条件是：脱离球面的条件是：N=0。RmNmgr2cos(1)RM mmVx rmgN精选课件35 取地面为惯性系取地面为惯性系, 以以m、M和地球为系统，机和地球为系统，机械能守恒械能守恒,于是有于是有 取地面为惯性系取地面为惯性系, 以以m、M为系统为系统,只有水平方只有水平方向动量守恒向动量守恒:222121)cos1 (xMVmmgR(2)(3)0 xxMVm 应当注意：式应当注意：式(2)、(3)中的中的 x、 是是m相对地面的相对地面的速度。速度。RM mmVx rmgN精选课