最新7-两个重要极限练习题

1、精品文档1-7两个重要极限练习题精品文档教学过程:x(弧度)0.500.100.050.040.030.02sin xX0.95850.99830.99960.99970.99980.9999引入：考察极限lim匹Xx问题1:观察当x_；0时函数的变化趋势:当x取正值趋近于0时，沁 >1，即lim 沁 =1 ； xX0x当x取负值趋近于 0时，-x：0,-x>0, sin(-x)>0 .于是si nxsin( -x)limlimxQ _ x公一0 (-x)综上所述，得_.sin x.lim1 .x 0 xlim竺冬=1的特点：xj x(1) 它是“0理，即若形式地应用商求极限

2、的法则，得到的结果是0(2) 在分式中同时出现三角函数和 x的幕.如果lim (x)=0,(a可以是有限数X0,二:或：)，xT推广limx_asin'x L lm 曲x =.X：x ：0Xsin xtanx _lim =limX-0 X xj沁=lim沁 limX xj x cosxxjsinx lim x x 】0 cosxsin 3x 求limx7Xsin3x _lim = limx_0 xx0求，.1 -cosx求 lim2x 0 x2詈(令3x二t) 3冋乎2si n2X21 -cosxy叫匚=Xi叫x2 2 xsin=lim -x：0X 22（一）=lim -X0 2x2.

3、x . Xsin sin2 2x2求limac沁X0X解 令 arcsinx=t，贝U x=sint 且 x_. 0 时 t0.所以arcsi nxt=lim -xt0 sint例5求lim匹轮.x-0x3limx 0tanx -sinxx3sinxsinxcosx1 - cosxsinx -cosx= lim 匹x° xlim x0 cosx1cosx 1 lim 2x J0X22考察极限lim（1）x =ex问题2:观察当x > + :时函数的变化趋势:x1210100010000100000100000(1)xx22.252.5942.7172.71812.71822.7

4、1828当x取正值并无限增大时，（1 丄）x是逐渐增大的，但是不论 x如何大，（1 -）x的值xx总不会超过3.实际上如果继续增大x.即当x >+：时，可以验证（1 丄）x是趋近于一个确x定的无理数e= 2.718281828.当Xr-：:时，函数（1 ）x有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e .x综上所述，得一1 x 小二. lim （1）x=e.x*xlim( -)x=e 的特点:j xlim（1+无穷小）无穷大案；(2)“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数.推广(1)若丄1xma(1莎)(x)lim （x）= :：,（a可以是有限数xo,二或二），则 X(2)若lim （

5、x）=0,（a可以是有限数xo,二:或：），则 xalim H :;，lx】石二 lim o亠门X （x）=e.1lim 1 t = e .1 ,因此通常称之为1不变形 令-!=t，则xj:时t；o,代入后得到x如果在形式上分别对底和幕求极限，得到的是不确定的结果 定型.例6求mJ 一彳广-解22令一x=t，则 x = - - Xt当 x )：:时 t. 0,于是2 1lim(-)x = lim(1 t)=lim(1 t)'-=e -例7求 lim(3x)x X； ： 2 _x解令彳x =i + u，则 x=2- 1 2 -xu当 x.'时 UrO,于是3 _x2丄_!2lim

6、()x = lim(1 u) Ulim(1 u) U (1 u)21= lim(1 u)a lim(1 u)2=e -1.例8求 lim(1 tanx)cotx 解1设 t=tanx,U - = cotx.t当 x；0 时 t；0,于是1?叫(1 ta nx)cotx = 1帆(1 t)t=e.小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。作业：见首页§ 2-1导数的概念教学过程：引入：一、两个实例实例1瞬时速度考察质点的自由落体运动.真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段内下落的路程s由公式s = 1 gt2来确定现在来求t = 1秒这一时刻质点的速度.2

7、当.址很小时，从1秒到1+ t秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间 内的平均速度作为质点在 t=1时速度的近似.左(s)is(m)is(m/s) At0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度-随着厶t变化而变化，当.：t越小时，越接近于一个定值一氏At9.8m/s .考察下列各式:s = 1g (1+ t)2- 1g 12= 1g2 t+C-t)2,2 2 22兰=爲2址(用=1g(2+，t), ：t

8、2.：t2思考：当氏越来越接近于0时，兰越来越接近于t1秒时的速度”现在取心tT0的极限，得/. s1lim lim g 2=t =g=9.8(m/s).为质点在t=1秒时速度为瞬时速度.一般地，设质点的位移规律是S=f(t),在时刻t时时间有改变量At, s相应的改变量为 s =f( t+ ：t)-f( t)，在时间段t到t+ t内的平均速度为Asf(t"t)-f(t)v =tt对平均速度取-t >0的极限，得v(t)= lim 兰=limf t ：t - f tAt称v(t)为时刻t的瞬时速。研究类似的例子实例2曲线的切线设方程为y=f(x)曲线为L .其上一点A的坐标为(

9、Xo,f(xo).在曲线上点A附近另取一点 B,它的坐标是(X0+, f(X0+ X).直线 AB是曲线的割线，它的倾斜角记作 '由图中的RL ACB，可知割线 AB的斜率tan ：=CB _ ：y f X。：x _f x° .AC Ax 一Z在数量上，它表示当自变量从X变到X+ X时函数f(x)关于变量x的平均变化率(增长率或减小率).现在让点B沿着曲线L趋向于点A，此时.x. 0, 过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置tan: = lim2tan 上 lim -.x : Mx=lim x 0f(Xo Lx) - f (xo)iXx直线AT ,我们就称L在点A处存在切

10、线AT .记AT 的倾斜角为，则：为的极限，若二=90，得切线AT 的斜率为在数量上，它表示函数 f(x)在X处的变化率.上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量x具体内容不同，但本质都是要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率.1.自变量X作微小变化 X，求出函数在自变量这个段内的平均变化率X处变化率的近似;2.对y求Axr0的极限lim，錶必x若它存在，这个极限即为点X处变化率的的精确值.、导数的定义1. 函数在一点处可导的概念定义 设函数y=f(x)在X0的某个邻域内有定义.对应于自变量x在X0处有改变量lx ,函数y=f(x)相应的改变量为 二y=f(x0+.x)-f

11、(x0)，若这两个改变量的比Ayf(X。F )-f(X。)XX当. 0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点X0处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)在点X0处的导数(或变化率),记作yxn0或f (X0)或dy I.dx I v|f( )r 3f(x°+4) f(x°)y |x=x0 =f (X0)= liml.im®X分0或 df (x) dxX空0.即(2-1)y '|x0则表示了函数比值二y表示函数y=f(x)在X0到X0+ x之间的平均变化率，导数 心X在点X0处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点X0处的变化的快慢.如果当=x；0时-工的

12、极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x0处不可导或导数不存在.x在定义中，若设 X=X0+ X，则(2-1)可写成(2-2)f(X0)=iimO 虽XToX _X 0根据导数的定义，求函数 y=f(x)在点X0处的导数的步骤如下:第一步求函数的改变量Ay=f(X0+ix)-f(X0);第二步求比值-=f(X-tf(X0);第三步 求极限f (xo)= limy -例1 求y=f(x)=X2在点X=2处的导数.2 2 2解 .y=f(2+ . ：x)-f(2)=(2+ . ：x) -2 =4 x+( ：x)； y4-x =4+ x；iim=lim (4+ :x)=4.lxlxx0 lxJ0所

13、以 y |x=2=4 .当lim f x° x -f X。存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点xo处的左导数，记作.x 0 -. xf_(Xo);当lim f x°：x f X。存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点xo处的右导数，记作 f .(X。).据极限与左、右极限之间的关系f (xo)= 存在 f _(Xo) ,(Xo)，且 f _(Xo) = f (Xo) = f (xo).2.导函数的概念如果函数y=f(x)在开区间(a ,b)内每一点处都可导， 就称函数y =f (x )在开区间(a,b)内可 导.这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值 xo都有对应着

14、一个确定的导数 f (xo),这样就在 开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f(x)或y等.根据导数定义，就可得出导函数(2-3)yf x：x - f xf (x)=y = limlim匚 JO _xo-x导函数也简称为导数.注意 (1) f(x)是X的函数，而f(Xo)是一个数值(2) f(x)在点处的导数f(xo)就是导函数f(x)在点xo处的函数值. 例2求y =C (C为常数)的导数.解 因为：y=C-C=o, y =2=o，所以 y = lim y =o.Z Z Ax即(C) =o常数的导数恒等于零).例3求y=xn(nN xR)的导数

15、.解 因为 ：y=(x+ X)n-Xn=门乂21.妆+。梏22(垃)2+.+(3八- = nxn-1 +C：xn-2 "=x+.+C"x)n"1,x从而有y = lim . - = lim Ax i0-1nx n+ Cxn 2 =x+.+(=x)n1=nxn-1即(xn) = nxn_ .可以证明，一般的幕函数y=x°徑皋R, x>0)的导数为(x ：) = ： X：-1.例如 r.x)=(x')=1x4 =1；)=(x-1)=-x-2=-W .22. x xx例4 求y=sinx, (x R»的导数.$ =sin(X：x)sin

16、x，在§了 中已经求得xAy lim =cosx, x 0 x(sinx) =cosx.用类似的方法可以求得 y=cosx, (xR)的导数为(cosx) =-s inx.例 5 求 y=logax 的导数(a >0, a=1, x>0).解 对a=e、y =lnx的情况，1(ln x)=.x在§ 1-7中已经求得为对一般的a，只要先用换底公式得y=logax=喧，以下与§ 1-7完全相同推导，可得In a1(logax)= 一 .x l n a三、导数的几何意义方程为y = f(x)的曲线，在点A (x o,f (x o)处存在非垂直切线 AT的充分

17、必要条件是f (x)在xo存在导数f(xo),且AT的斜率k=f (xo).导数的几何意义一一函数y=f(x)在X。处的导数f(x。)，是函数图象在点(xo,f(xo)处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y-f (xo)=f (xo)(x-xo)(2-4)过切点A (xo,f(xo)且垂直于切线的直线，称为曲线y=f(x)在点A (xo,f(xo)处的法线，则当切线非水平(即(xo)®时的法线方程为1 y-f(x o)=-(x-xo)If "(Xo )例6求曲线y=sinx在点(二，丄)处的切线和法线方程.6 2321 V3兀y- - = (x-),2 26y -

18、 1 _ 2后 /兀 y (x ).236例7求曲线y=Inx平行于直线y=2x的切线方程.解 设切点为A(xo, yo),则曲线在点 A处的切线的斜率为 y(xo),_ 1x No，Xo因为切线平行于直线y =2x,所以 丄=2,即xo= 1 ；又切点位于曲线上，因而yo=|n=-ln2 .X。22解(sinx)".=cosxx (2-5)所求的切线和法线方程为法线方程y (xo)=(ln x) *故所求的切线方程为1y+ln2=2(x-)，即 y=2x-1-ln2 .2四、可导和连续的关系如果函数y=f(x)在点xo处可导，则存在极限(lim 二=0),.x ：olimy=f(x

19、o),则=f (xo)+： ( lim : =0)，或二y= f (x°) =x+lxxr0 xx摂一Q所以 lim =y= l.imjf (xo) ix + x、x=0.这表明函数y=f(x)在点x0处连续.但y=f(x)在点x0处连续，在x0处不一定是可导的. 例如：(1) y=|x|在x=0处都连续但却不可导.(2) y = Vx在x=0处都连续但却不可导.注意在点(0,0)处还存在切线,只是切线是垂直的.学生思考：2设函数f(x)=， X占0，讨论函数f(x)在x=0处的连续性和可导性. 込十1, x c0小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。 作业：见首页§

20、-2换元积分法教学过程复习引入1. 不定积分的概念；2. 不定积分的基本公式和性质。新课：一、第一类换元积分法例如：cos2xdx，积分基本公式中只有：cosxdx =sin x+C .为了应用这个公式，可进行如下变换：cos2xdx = cos2x d(2x)令 2x=u- coSiidusin u+C 2 2 21sin2 x+C,2因为(Isin2 x+C) =cos2x，所以 cosxdx =1 sin2 x+C 是正确的.2 2定理1 设f(u)具有原函数F(u) ,(x)是连续函数，那么f (x)(x)dx =F (x)+ C.证明思路 因为F(u)是f(u)的一个原函数，所以 F

21、 (u)=f(u);由复合函数的微分法得：d F (x)= F (u) (x)dx=f (x)(x) dx ,所以 .f (X)(X)dx=F (x)+ C.基本思想：作变量代换u= (x), (d (x)= T(x)dx)，变原积分为f(u)du，利用已知f(u)的原函数是F(u)得到积分，称为 第一类换元积分法例 1 求(ax b)10dx , ( a,b 为常数).解因为dx =丄d(ax+b)，所以令 mx+b1u10du =_u11+C尹11aa(ax b)10dx = (ax b)10d(ax b) a u=ax+b 回代 丄(ax+b)11+C .11a例 2 求 lndx .x

22、解因为1 dx =d (In x)，所以x原式=In xd (I nx)令 lnx=u Udu Ju2+C u=lnx 回代 1 (I nx)2+C.2 22例 3 求.xex dx .解因为xdx=1d(x2)，所以2原式=1 ex2d(x2)令丄。0宀+十2回代Iex2+C 2 2 2 2求因为 xdx =1 d(x2)= .ld( a2-x2)，所以2 2令 a2-x2=u原式=-1 d(a 2 _x 2)= f-du = Vu +C2()2比2 2u回代a2 _x2+c .学生思考： 求sinx2 dx 1+ cos2 x第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d (x)，另一部分为(x)的函数f (x)，且f(u)的原函数易于求得因此，第一类换元积分法又形象化 地被称为凑微分法.常用微分式：1dx= d(ax)；a1 2、xdx = d( x );21 dx =d (ln| x|); xdx =2d ( . x );2 dx =- d( 1)； x2xdx =d (arctan x)；1 x21dx=d (arcsin x)；1 -X2exdx =d (e x);sin xdx = d (cos x);cosxdx =d