2018版高中数学苏教版选修1-2学案：2.2.2间接证明

1、2. 2.2 间接证明 【学习目标】1了解反证法是间接证明的一种基本方法 2 理解反证法的思考过程，会用反证 法证明数学问题. 问题导学 新知探究贏点落冥 知识点间接证明 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天， 他们发现路边的 一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上， 去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子 一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？ ”王戎说：“假如李子不 苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.” 思考 王戎的论述运用了什么论证方法？ 1间接证明 (1) 定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这

2、种不是直接证明的方法通常称 为间接证明. (2) 常用方法：反证法. 2.反证法 (1)基本过程： 反证法证明时， 要从 _ 开始，经过 _ ，导致 _ 从而达到 _ (即肯定原命题 ) (2)证题步骤：反设 假设 _ 不成立，即假定原结论的反面为真 归谬 从 _ 和 _出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； 存真 由 _ ，断定 _ 不真，从而肯定原结论成立题型探究 重点难点牛亍击破 类型一用反证法证明“否(肯)定式”命题 x 2 例1已知函数 f(X)= aX+ (a1) 用反证法证明方程 f(x)“没有负数根. 反思与感悟 (1)对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正

3、面突破较困难时， 可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题， 然后用转 化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的. (2) 用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就 可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立. (3) 常见否定词语的否定形式如下表所示： 否定词语 否定词语的否定形式 没有 有 不大于 大于 不等于 等于 不存在 存在 跟踪训练 1 已知三个正数 a, b, c 成等比数列，但不成等差数列，求证： 一 a, ,b, . c 不 题型探究 重点难点牛亍击破 成等差

4、数列. 类型二 用反证法证明“唯一性”命题 例 2 求证：方程 2x= 3 有且只有一个根. 反思与感悟 (1)证明“有且只有一个 ”的问题， 需要证明两个命题， 即存在性和唯一性 当 证明结论以 “有且只有 ”、“只有一个 ”、“唯一存在 ” 等形式出现的命题时， 由于反设结 论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明 (2)若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立 跟踪训练 2 已知 a 与 b 是异面直线，求证：过直线 a 且平行于直线 b 的平面只有一个. 类型三 用反证法证明“至多、至少”问题 1 + x 1 + y 例 3 已知 x, y0，且 x+ y2.

5、求证： , 中至少有一个小于 2. y x 反思与感悟 (1)用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确否 定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误. (2)用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下: 结论词 反设词 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有 x成立 存在某个 Xo不成立 至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 xo成立 至少有 n个 至多有 n 1 个 p 或 q 綈 p 且綈 q 至多有 n个 至少有 n +1 个 p 且 q 綈 p 或綈 q 跟踪训练 3 设 a、b、c 都是小于 1 的正数，求证(1

6、a)b、(1 b)c、(1 - c)a 三个数不可能 1 同时大于- 达标检测 当堂检测巩固反馈 1 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设 _ 111 2.设 x、y、z0，则三数 x+ y, y + z，z+ x 的值 _ 都大于 2;都不小于 2;至少有一个不小于 2;至少有一个不大于 2. 3用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数 a, b, c 中无偶数”，正确的假设为 4证明：方程 2x= 3 有且仅有一个实根. 3, 3 1 + x 2. 艮卩3 x+ 1， 而 b2= ac,即卩 b= ac, 则有 a+ c+ 2 ac= 4 ac, 即（山一寸 c）2= 0

7、. 所以 a = c, 从而 a= b= c,与 a, b, c 不成等差数列矛盾， 故 a, b, .c 不成等差数列. 例 2 证明 显然 x= log 23 是方程的一根，假设方程 2x= 3 有两个根 则 26= 3,2b2= 3. 两式相除，得 2bi b2= 1. 因为 6 工 b?,bi 0. 如果 bi b20，贝V 2bi b21，这与 2bi b?= 1 相矛盾； 如果 bi b20，贝V 2bi b21，这与 2bi b2= 1 相矛盾， 所以假设不成立. 从而 2x = 3 的根是唯一的. 故 2x = 3 有且只有一个根. 跟踪训练 2 证明 如图所示假设过直线 a

8、且平行于直线 b 的平面有两 个，分别为a和 在直线 a 上取点 A,过直线 b 和点 A 确定一个平面 Y且平面丫与平面a, 的直线 c, d, 由 b II a,知 b II c,同理 b/ d, 故 c/ d，这与 c , d 相交于点 A 矛盾， 故假设不成立，原结论成立. a 即不存在一 1 x 2, 2. y x /x0, y0, 1 + x 2y,1 + y 2x. 2 + x+ y 2(x + y), 即 x+ yw 2，这与已知 x+ y2 矛盾. 匕空，中至少有一个小于 2. y x 跟踪训练 3 证明 假设三个数都大于2, 4 即(1 a)b1, (1 - b)c (1

9、- c)a1, 4 4 4 1 三个数相乘，得(1 a)b(1 b)c(1 c)a . 64 1 a + a 1 1 1 又因为(1 a) a ()2= 4，(1 b) b-, (1 c) c-, 1 所以(1 a)a (1 b)b (1 c)c . 64 2 所以(1 a)b、(1 b)c、(1 c)a 三个数不可能同时大于 4 达标检测 1. 至少有两个钝角 2. 解析假设三个数都小于 2, 则(x+y)+ (y+ 弓 + (z+ 弓矛盾，因此假设不成立. 64 1 1 1 =(x+ x)+ (y+ y) + (z+ Z)6,矛盾，故 正确. 3. a, b, c 中至少有一个偶数 解析 a, b, c 中无偶数，即 a, b, c 都是奇数，反设应是 “a, b, c 中至少有一个偶数 3 4. 证明 T 2x= 3,二 x= 2, 方程 2x= 3 至少有一个实根. 设 xi, X2是方程 2x= 3 的两个不同实根, 2xi= 3, 2X2= 3, 由一得 2(Xi X2)= 0, xi= X2, 这与 X1 x2矛盾. 方程 2x=