数列通项公式的求法

1、1复习提问复习提问的通项公式的定义：的通项公式的定义：1.数列数列 na数列数列 的第的第n项项 与项数与项数n的函数关系的函数关系如果可用一个公式如果可用一个公式 来表示，则来表示，则称这个公式为数列的通项公式。称这个公式为数列的通项公式。 na)(nfanna注意：不是任何数列都有通项公式。注意：不是任何数列都有通项公式。若有，通项公式也不一定是唯一的。若有，通项公式也不一定是唯一的。问题问题:是不是任何数列都有通项公式是不是任何数列都有通项公式?若有若有,是不是唯一的是不是唯一的?数列通项公式的求法数列通项公式的求法2dnaan) 1(1),( )(Nmndmnam2.等差数列的通项公式

2、与前等差数列的通项公式与前n项和公式项和公式dnnnaaanSnn2) 1(2)(11问题：问题：知道数列的通项公式（函数的解析式）知道数列的通项公式（函数的解析式）,就可以求出数列的任何一项。哪如何求数列的就可以求出数列的任何一项。哪如何求数列的通项公式？你会求什么数列的通项公式呢？通项公式？你会求什么数列的通项公式呢？等差数列与等比数列等差数列与等比数列3) 1( 11)1 () 1( 111qqqaaqqaqnaSnnn项和公式：的通项公式与前等比数列nan3.11nnqaa),(Nmnqamnm)2( ) 1( 11nSSnSannn 的关系：项和与前的通项数列nnnSnaa . 41

3、1nnnaSS4 数列的数列的通项公式通项公式是数列的是数列的核心核心内容之内容之一一,它如同函数中的它如同函数中的解析式一样解析式一样,有了解析式有了解析式便可研究其性质等便可研究其性质等;而有了数列的而有了数列的通项公式通项公式便可便可求出任一项以及前求出任一项以及前n项和项和等等.因此因此,求数求数列的通项公式列的通项公式往往是往往是解题的突破口、关键解题的突破口、关键点点. 因此近年来的高考题中经常出现给出数因此近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式），求通项公式的问题，对于这类问系式），求通项公式的问题，对于这类问题

4、考生感到困难较大题考生感到困难较大.为了突破这一难点，为了突破这一难点，现将求数列通项的思想方法系统归纳如下现将求数列通项的思想方法系统归纳如下:数列通项公式求法数列通项公式求法5数列通项公式求法数列通项公式求法常用数学思想：常用数学思想：1化归思想；化归思想；2. 换元思想；换元思想；3. 方程思想方程思想6【思路分析【思路分析】 此类问题虽无固定模式此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循但也有其规律可循,主要主要靠观察靠观察(观察规律观察规律)、比较、比较(比较已知的数列比较已知的数列)、归纳、转化、归纳、转化(转化转化为等差或等比数列为等差或等比数列)等方法等方法. 每一项序号每一项序号

5、与与这一项这一项的的对应关系对应关系可可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。推理能力有较高的要求。 已知数列的前几项，求通项公式已知数列的前几项，求通项公式 求下列数列的一个通项公式求下列数列的一个通项公式:,5555,555,55, 5)7( , 0 ,71 , 0 ,51 , 0 ,31 , 0 , 1 )6( 1337 ,1126, 917 ,710 , 1 ,32)5( ,9910,638 ,356 ,154 ,32-4 4 2 15 8 3 03 33 9,17 5 32 , 1 , 1 , 1

6、 , 1 ) 1 (，）（，）（，）（)(n 1)n ( 11为奇数为偶数nnna2 ,32 ,16 , 8 , 4 , 20 , 1 , 0 , 11, 0 , 1, 00 , 1, 0 , 1 , 0 , 1, 0 , 17 ，然后直接套用及出为等差（比）数列，求方法：若na类型一：等差数列与等比数列的通项：类型一：等差数列与等比数列的通项：ma其中一项）（公比公差qd 公式 式为整数，则通项公且公比，若为等比数列，：已知例nnaqaaaaa 512,1241748312n8 ，然后直接套用及出为等差（比）数列，求方法：若na题型二：等差数列与等比数列的通项：题型二：等差数列与等比数列的通

7、项：ma其中一项）（公比公差qd 公式公式 为整数，则通项公式且公比，为等比数列，若例：已知nnaqaaaaa 512,1247483，然后套公式。与程组，解出的方与表示，得出与全部用，本题也可以把qaqaqaaaaa 1118743124512838374aaaaaaan，为等比数列，则分析：是整数，又与的两根是方程与故知qxxaa 4128 051212428313353883)2(232 128 4nnnqaaqqaaaa，12n，等比5128374aaaaan9类型三：类等差数列类型三：类等差数列,方法归纳：方法归纳：累加累加 的通项公式。求数列，中，例：数列nnnnannaaaa)3

8、 , 2 , 1(2211)(1nfaann即)()2() 1 (:(的和是可求的条件nfff分析：由已知易得naann21）1(2, 32, 22, 21342312naaaaaaaann),1()1(321 21nnnaan上面各式相加得), 3 , 2 , 1(22nnnan故可求和可求和10 的通项公式为列，则数且满足中，已知数列：例nnnnannaaaa21 11nnnnnaannnaa11)2(2nnannann) 1()2)(1(1其他解法探究：其他解法探究：是常数数列则可构造nann) 1( 11645342312:13423121nnaaaaaaaannaannnn得分析)

9、1(21) 1(2111nnaannaann) 1(21221) 1(11nnaaaannnn，故有累乘的积是可求的，且若) 1()2() 1 (),(1nfffnfaann该题型方法归纳：该题型方法归纳：na累乘法求得11变式训练：变式训练：12nnaS ，求知类型四： 求解方法：可直接应用公式)2() 1( 11nSSnSannn 的通项公式。的图象上，求数列均在函数点和为的前数列，其导函数为经过原点的图象例：已知二次函数nnnnaxfyNnSnSnaxxfxfy)( )(,26)(,)( 13nnaS ，求知类型四： 求解方法：可直接应用公式)2() 1( 11nSSnSannn 的通项

10、公式。的图象上，求数列均在函数，点和为的前，数列为函数的图象经过原点，其导例：已知二次函数nnnnaxfyNnSnSnaxxfxfy)( )(,26)()( nnSxxxfn2323)( 22，故有略解：依题意易得56)1(2) 1(3232221nnnnnSSannnn时，故当合上式时，而当1 1 11San)(56Nnnan故14 公式为的通项，则满足项和的前已知数列nnnnanSSna1) 1(log . 12练习:不合上式，时，当由略解32) 12() 12(2121) 1(log:111112SaSSanSnSnnnnnnnnn)()2( 2) 1( 3Nnnnann故15nnnan

11、aS求通项的关系式，及与类型五：知 的通项公式求，且满足项和的前列各项均正数的数重庆例：nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(61)07( 16nnnanaS的关系式，求通项及与类型五：知 析求解。再分得出相邻两项的关系式式两式相减，子，与原关系，得另一式代替或方法总结：可考虑用 )2( 11nnnn17nnnanaS的关系式，求通项及与类型五：知 ），再求的关系式，先求出与得消（有时用nnnnnnnnaSSSanSSa11)2(解。两项的关系式再分析求式两式相减，得出相邻与原关系，得另一式子，代替或方法总结：可考虑用 )2( 11nnnn 的通项公式，求且满足项和的前各项均正数的

12、数列重庆例：nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(6 1)07( 2362nnnaaS分析：由题意得2366112111aaSan时，当212111111aSaaa故又或解得由由整理得整理得2361211nnnaaS且有300)3)(1111nnnnnnnnaaaaaaaa又 13) 1(3232nnaaannn的通项为故的等差数列，公差为是首项为故)()(1比或类等差比的关系？化为等差与找nnaa11nnnaSS的关系与可找出nnaa118 的通项公式，求数列项和的前数列福建nnnnnaNnaSaSna)(2 , 1,)07 ( 1.11变式训练：两式相减整理得略解：,2 21n

13、naS，而3212aa)2(32) 1( 12nnann故312nnaa232nna19类型六：等定系数法求递推数列类型六：等定系数法求递推数列的通项：的通项： 的通项公式，求数列满足项和为的前例：数列nnnnnaNnnaSSna)( 1220 xaqxann1xan01 xana)dqxx满足dqxx21类型六：等定系数法求递推数列的通项：类型六：等定系数法求递推数列的通项：满足与若数列相邻两项一nnaa1)(),(为常数dq则可考虑待定系数法设则可考虑待定系数法设 xaqxann1为待定系数，其中x ()dqxx满足构造新的辅助数列构造新的辅助数列 xan是首项为是首项为 xa 1公比为公

14、比为q的等比数列，求出的等比数列，求出 xan ,再进一步求通项再进一步求通项 na 的通项公式求数列，满足项和为的前例：数列nnnnnaNnnaSSna )( 121211nnaa两式相减整理得，且解析：由32,2312111naSanaSnnnn的等比数列，公比为是首项为故数列2121221aannnnnaa212212121故dqaann1)2(2121nnaadqxx22 归纳提高：满足这样的归纳提高：满足这样的推递关系的推递关系的数列数列的通项求解问题（的通项求解问题（陌生的，难陌生的，难的，不会的的，不会的），可用），可用待定系数法待定系数法转转化为化为特殊数列特殊数列（等差数列或

15、等比数（等差数列或等比数列）的通项问题（列）的通项问题（熟悉的，易，我熟悉的，易，我们会的们会的） ,借助等差（比）数列的借助等差（比）数列的通项公式求辅助数列的通项，从而通项公式求辅助数列的通项，从而解决问题。解决问题。数学思想：转化、化归思想。数学思想：转化、化归思想。23类型六：等定系数法求递推数列的通项：类型六：等定系数法求递推数列的通项：满足与若数列相邻两项一nnaa1)(),(为常数dq则可考虑待定系数法设则可考虑待定系数法设 xaqxann1为待定系数，其中x ()dqxx满足构造新的辅助数列构造新的辅助数列 xan是首项为是首项为 xa 1公比为公比为q的等比数列，求出的等比数

16、列，求出 xan ,再进一步求通项再进一步求通项 nadqaann1dqxx归纳提高：满足这样的归纳提高：满足这样的推递关系的数列推递关系的数列的通项的通项求解问题（求解问题（陌生的，难的，不会的陌生的，难的，不会的），可用），可用待待定系数法定系数法转化为转化为特殊数列特殊数列（等差数列或等比数（等差数列或等比数列）的通项问题（列）的通项问题（熟悉的，易，我们会的熟悉的，易，我们会的） ,借借助等差（比）数列的通项公式求辅助数列的通助等差（比）数列的通项公式求辅助数列的通项，从而解决问题。项，从而解决问题。数学思想：转化、化归思想。数学思想：转化、化归思想。24 的通项公式求数列，满足项和为

17、的前数列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(1变式探究一：变式探究一：25 的通项公式，求数列满足项和为的前数列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(12322313411aaSnnn分析：由 3223134211nnnaS且1124nnnaa两式相减整理得1112144nnnnnaa可化为为什么类型呢？，转化同除以14nnnnnnaa2144111其他解法探究：其他解法探究：nnnnnaaaaaa2144,2144,214411322332122nnnaa21212144321nnnna21121212121432nnna24 上面各式相加可得上面各式相加可

18、得几个式子？26 的通项公式，求数列满足项和为的前数列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(12322313411aaSnnn分析：由 3223134211nnnaS且1124nnnaa两式相减整理得122211nnnnaa可化为的等比数列，公比为是首项为故数列 2 2121212aannnnnnnnaa24222121直接应用。怎么办？不是常数，不能12n构造新数列，同除以12n1221211nnnnaa都是常数与相邻两项，是其、，新数列2 1 22211nnnnnnaaa变式探究一：变式探究一：27:)(22:11得由略解Nnaannn1221221111nnnnnnnna

19、aaannann1) 1(12nnna2变式：变式：28探究归纳探究归纳,总结提升总结提升:29nnnnnnnaznxaznxazxnaqzxnaAAnqaa列，构造得等比数、然后展开对比系数确定为常数）设、若数列相邻两项满足二qBA),() 1(qB( B)(11 的通项公式。上，求数列在直线点中，在数列山东nnnnaxyNnaanaa )(2,(, 2)06(11变式探究探究归纳：探究归纳：修改修改30nnnnnnnaznxaznxazxnaqzxnaAAnqaa，构造得等比数列、然后展开对比系数确定设为常数）、若数列相邻两项满足二qBA ),() 1( qB( B)(11 的通项公式。（

20、修改）上，求数列直线在点中，在数列山东nnnnaxyNnaanaa )(2,(, 2)06(111, 1zx展开后对比系数可得) 1(21) 1(1则nanann, 21naann分析：易得的等比数列，公比为是首项为故 2 41111anan1224111nanannnn)(2) 1(1zxnazxnann可设变式探究探究归纳：探究归纳：31nnnnaa21222122321, 21naann分析：易得方法二方法二：:2 1可得等式两边同除以n11112222nnnnnnaa111222nnnnnnaa各式相加可得，,2122,2222212211322332122nnnnnnaaaaaann

21、212221S3221nnnn1132212121212121S21nnnnn12211Snnnannnnna2122121nann 的通项公式。（修改）上，求数列直线在点中，在数列山东nnnnaxyNnaanaa )(2,(, 2)06(11累加由由得得其他解法探究：其他解法探究：32变式训练：变式训练：nnnna2) 1(461答案33各式相加可得，,2144,2244214411322332122nnnnnnaaaaaannnnaa21222124321:24:11得由略解nnnnaa111111244244nnnnnnnnnnnaanaa变式训练：变式训练：n

22、n212221S32令nnnna2) 1(461答案错位相减求和法错位相减求和法34 的通项公式求，且满足已知数列例nnnnannaaaa：121211)(2) 1() 1(221zynxnaznynxann分析：设zyxnyxxnaann)2(221展开整理可得对比系数可得：与1221nnaann1121zyxyxx311zyx)3(23) 1() 1(221nnannann故有的等比数列，公比为是首项为故知 2 6312annannnnnna2326312得由等比数列通项公式可3232nnann变式探究：？CBnAnqaann呢21)() 1() 1(221zynxnaqznynxann方

23、法：设探究归纳：该类型可转化为特殊数列：探究归纳：该类型可转化为特殊数列：35 的通项公式。求数列满足例：已知数列nnnnnaNnaaaaaa)(23, 3, 11221的两根是方程与023212 ttnnnnaaaa22112可得是故21nnaa121nnaa），（即取12yx常数数列122121aaaann) 1(211nnaa122211nnnnaannnaaa2312即由变式探究变式探究：若已知数列相邻三项的递推关系式若已知数列相邻三项的递推关系式,又又如何求其通项公式呢如何求其通项公式呢?nnnnnnnxyaayxaxaayxaa12112)()(设2112232312yxyxxyy

24、xaaannn或对比系数得与02312nnnaaa可化为36（三）若数列相邻三项的关系满足若数列相邻三项的关系满足012nnnCaBaa, 0 2有解且方程CBttCyxByxyx,则有与若设解为则可得则可得)(112nnnnxaayxaa，且若0012yxaa为公比的辅助等比数列则可构造以 y,1nnxaa转化为转化为相邻两项的类型相邻两项的类型再分析求解再分析求解问题：问题：知道连续三项满足这样的递推关系的知道连续三项满足这样的递推关系的数列的通项，在什么条件下，你才会求其通数列的通项，在什么条件下，你才会求其通项公式呢？项公式呢？有解即方程02CBtt0)()(12112nnnnnnnx

25、yaayxaxaayxaa设有解对比系数得与CxyByxCaBaannn012探究归纳：探究归纳：37 的通项公式。求数列满足例：已知数列nnnnnaNnaaaaaa )(23, 3, 1122121yx，即取的等比数列，公比为是首项为则 2 2121aaaannnnnaa21则122221)21 (21222)()()(11212312nnnnnnnnaaaaaaaa,21211nnnnnaaaa则有由上面过程知都取与,1221yxyx两种情况一起考虑，两种情况一起考虑，即即累加累加方程思想方程思想121nnnaa，可得消去)(22311212nnnnnnnaaaaaaa可得解析：由则可得到

26、两个等比数列，分别求其通项则可得到两个等比数列，分别求其通项, 再由方程组求出再由方程组求出 na),(有两组解即、有两异根yxyx注：若注：若 02CBtt解法探究：解法探究：38 的通项公式求数列满足已知数列例nnnnnaaaaaaa265, 2, 1:1221zyzxyaayxannn12)()(112zxaayzxaannnn设对比系数可得与26512nnnaaa223132265zyxzyxzyzyxyx或解得为等比数列12) 12(3121112nnnnnnaaaaaa分别得到：分别得到nnnnnaaaa是等比数列又有23)23(2231112nnnnnn

27、aaaaaa22321231111nnnnnnaaaa由由得得12311nnna有解0652 tt变式探究：39 ), 4 , 3(,0, )08(212212nqxpxxqpxpxxqpxxqpnnnn满足数列的两个实根，是方程为实数、设广东理 的通项公式求数列；证明：nxqp)2( ,) 1 ( nnSnxqp项和的前，求，若 411 )3(练习【解析】（1）由求根公式，不妨设 2244,22ppqppq224422ppqppqp224422ppqppqq11,(),()nnnnnxn111111( )2( )( )3(3)( )2222nnnnnn nS(2)(3)40类型七：特征根法求

28、数列通。类型七：特征根法求数列通。 na011DCaBaaAannnn)0(A0)(2DxCBAx（条件：条件：若若的的相邻两项关系式可化为相邻两项关系式可化为：可用这种方法；可用这种方法；(其中方程其中方程该数列的特征根）该数列的特征根）的根称为的根称为征根的一元二次方程求出特得到都为与可视xxaann 1一元二次方程有两根、一根、没有实一元二次方程有两根、一根、没有实数根三种情况，下面分三情况探究：数根三种情况，下面分三情况探究：412x21xaxabnnn nbnbna(一一)若有若有两特根两特根与与，可令，可令构造等比数列构造等比数列,则可则可进而求出进而求出等比数列通项公式求出等比数

29、列通项公式求出 , 2 , 1,123,53)08( :11naaaaannnn的首项已知数列陕西例 的通项公式求数列na特征根为特征根为0与与1略解：可得该数列特征根为略解：可得该数列特征根为0与与1nnnaab1可设nnnnnnnnnnbaaaaaaaab3113112311231111则nnnnaab132233nnna1x(一一)有两特征根有两特征根42 的通项公式求且满足数列重庆nnnnnnanaaaaaa).1(0521681)05(111练习练习(改编改编)45210521682xxxxx或43 的通项公式求且满足数列重庆nnnnnnanaaaaaa).1(0521681)05(

30、111练习练习nnnaaa8165245211，且条件可化为与分析：易得有两特征21452361512218165245816522145,2145111nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabaab则可设 的等比数列，公比为是首项为，故即 2 21211bbbbnnn8210221452221121nnnnnnnnaaab故有(改编改编)45210521682xxxxx或44构造辅助数列构造辅助数列 ,分析分析0 x01xabnn nbnbna（二）有（二）有一根一根时时,可令可令 易得易得 是是等差等差数列，求数列，求进而求出进而求出 nb 的通项公式求na 的关系与nnbb1)

31、(2121)08(11Nnaaaannn且满足数列佛山一模例：唯一特征根唯一特征根1解：依题意可得该数列有惟一特征根为解：依题意可得该数列有惟一特征根为111nnab可设21b则nnnnnnnbaaaaab11111212111111且 ) 1)(1(2121nbbbnn的差数列，公差为是首项为故1) 1(11nnanabnnn即该题也可以先求出前几项，该题也可以先求出前几项，再猜想归纳出其通项，但要特别注意要用数学归纳法证明。再猜想归纳出其通项，但要特别注意要用数学归纳法证明。45)(34, 1. 111Nnaaaaannnn且满足数列 的通项公式求na 课堂练习课堂练习:2341xxxxx

32、aann得都为与视121 ,2111ababnn则分析：可设21)2(2323412111nnnnnnnnaaaaaaab112111nnnnbbba 的等差数列，公差为是首项是111bbnnaannbnnn1221) 1)(1(1故有46（三）没有特征根，则可由递推关系式得（三）没有特征根，则可由递推关系式得出若干项可判断出若干项可判断 na是是周期数列周期数列 的通项公式求且满足例：数列nnnnnaNnaaaaa).(12111231).(12211aaNnaaannn分析：由)()2( 23) 12( 1 Nkknknan由递推性可得无实根得都为与视121xxxxaann112223aa

33、a47其他方法：有构造常数数列，取对数（注意其他方法：有构造常数数列，取对数（注意真数大于零），取倒数，归纳法（注意要用真数大于零），取倒数，归纳法（注意要用数学归纳法证明）数学归纳法证明） 的通项公式为则数列，的正项数列，且是首项为若nnnnnnaaanaana01 1 . 112210121211nnnnnnaaaana的降幂处理分析：先按左边能否因式分式？左边能否因式分式？0)(111nnnnaanaan01nnaa又nnnaan1) 1(是常数数列nnanaanann1111故有，可用什么方法处理？若1) 1(11nnaanaannnnn累乘法48 的通项公式，求且满足数列nnnnaa

34、anana6) 1() 1() 1(. 2211 11an时，易得当时，原式可化为当2n) 1() 1() 1(1nanannn对应在一起与与nnan，an) 1() 1(111111nnanann两边同除) 1)(1(nn以n两边再除以观察分析可知nnnnannann) 1(1) 1() 1(11) 1(1) 1() 1(1nnnnannann) 1(1) 1(1) 1(1nnnannnann是常数数列)2() 1(1) 1(nnnnan212) 1(1) 1(2annnan)2)(12(nnnan)(12(11Nnnnaan合上式，故变式探究：变式探究：49 的通项公式为则数列，项和，前中

35、，练习：已知数列nnnnaannSnaa21 61111)2)(1(2,) 1(221nnnnnnannSannSannS且有nnnnnananaSS) 1()3(,111两式相减得nnannann)2)(1()3)(2(1为常数数列)2)(1(nann)2)(1(1132)2)(1(1nnaaannnn思想方法：配凑法构造化归成特殊数列，借助特殊数思想方法：配凑法构造化归成特殊数列，借助特殊数列的通项公式的求法，从而解决问题。列的通项公式的求法，从而解决问题。50 的表达式的等比数列，求，公比为是首项为满足已知数列例nnnnaaaaaaaaa311,:12312111123121311233113111)()()(nnnnnaaaaaaaa51 的通项公式。，求数列的图象上，其中在函数，点已知山东例nnnanxxxfaaa, 3 , 2 , 12)( ,2)( :2112121) 1(12nnnnnaaaaa分析：依题意可得的等比数列公比为是首项为而21) 1(log1