沪科版八年级一元二次方程数学下册知识总结

1、沪科版八年级数学下册知识总结一元二次方程知识点：1. 一元二次方程的一般形式 : a 0 时， ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的 a、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、 c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式 .2. 一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误； 因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少 .3.一元二次方程根的判别式:当 ax2+bx

2、+c=0 (a 0) 时，=b2 -4ac叫一元二次方程根的判别式. 请注意以下等价命题：0 <=>有两个不等的实根；=0 <=>有两个相等的实根；0 <=>无实根；0 <=>有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系： 当 ax2+bx+c=0 (a 0) 时，如0，有下列公式：bb 24acb， x1x 2c(1) x 1,22a；( 2 ) x1 x 2.aa5. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法） x2a( a0)解为： xa (xa)2b(b0)解为： x ab (axb) 2c(c0)解为： ax

3、bc (axb) 2(cxd ) 2 ( a c )解为： ax b(cx d )（2）因式分解法 ：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如： ax2bx0( a, b0)x( axb)0此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0x290(x 3)( x 3)0x23x0x( x3) 03x(2 x1)5(2 x1)0(3 x5)(2 x1)0x26 x94( x3)244x212x 90(2 x3)20x24x120( x6)( x2)02x25x 12 0(2 x3)( x4)0（3）配方法二次项的系数为“ 1”的时候：直接将一次项的系数除于 2 进行配方，如下所示：x2Px q 0(

4、 xP )2(P)2q 022示例： x23x1 0( x3)2( 3)21 022二次项的系数不为 “1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：ax2bx c 0 ( a 0)a( x2 b x) c 0a( xb )2a ( b )2c 0a2a2aa(xb )2b2c(xb )2b24ac2a4a2a4a2示例： 1 x22x 1 01 ( x24x) 1 01 ( x 2) 2122102222（4）公式法： 一元二次方程 ax2bxc0 ( a0) ，用配方法将其变形为：( xb )2b24ac2a4a2当b24ac0 时，右端是正数因此，方程有两个不相等bb24ac的实根：

5、x1,22a当b24ac0 时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：bx1,22a当b24ac0 时，右端是负数因此，方程没有实根。把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：ax2bxc0 ( a0) ，并确定出 a 、 b 、 c求出b24ac ，并判断方程解的情况。代公式： x1,2b b24ac （要注意符号）2a 5 当 ax2 +bx+c=0 (a 0) 时，有以下等价命题：( 以下等价关系要求会用公式x1 x 2b ，x 1x 2c；=b2-4ac 分aa析，不要求背记 )（1）两根互为相反数ba= 0 且0b = 0且0；（2）两根互为倒数c =1 且0a = c 且0；a（3）

6、只有一个零根c = 0 且b 0c = 0且 ；aab 0（4）有两个零根c = 0 且b= 0c = 0且；aab=0（5）至少有一个零根c =0c=0 ；a（6）两根异号c 0a 、c 异号；a（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值ca0 且b 0a 、ac 异号且 a、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值ca0 且b 0a 、ac 异号且 a、b 同号；c 0，b 且、 同号，、（9）有两个正根00aaaacb 异号且 0；c 0， b （10）有两个负根0且0a、 同号，a、aacb 同号且 0.6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0时，二次三项式在实数范围内不能

7、分解 .ax2+bx+c=a(x-x 1)(x-x2)或ax2+bx+c=a xbb 24acxbb24ac .2a2a7求一元二次方程的公式：x2 - （x1+x2）x + x1 x2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8平均增长率问题 -应用题的类型题之一（设增长率为 x）：(1)第一年为 a ,第二年为 a(1+x) ,第三年为 a(1+x) 2.（2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年或第一年 +第二年 +第三年 =总和 .9分式方程的解法：两边同乘最简(1) 去分母法验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值0 .公分母凑元，设元，（2）换元法验增根代入原方程每个

8、分母，值0 .换元 .10. 二元二次方程组的解法：（ ）代入消元 法方程组 中含有一个二元一次方程;1（ ）分解降次法方程组 中含有能分解为 （）0的方程;2(3) 注意： ( 1 )(2 ) 0应分组为(1) 0(2) 0(1) 0(2) 0.(3)(4)0(3) 0(4) 0(4) 0(3) 011几个常见转化：(1) x2x2( x 1x 2 )22x1x 2；(x 1 x2 )2(x 1x2 )24x1 x；x21( x12；122x 2)2x或x21(x12；x1x 2( x1x 2 ) 2(x 1x 2 )24x 1x 2( x1x 2 )；x 2)2x 2 ) 2x( x1x

9、2 )2(x 14 x 1x 2(x1x 2 )2x22( x1x2 )22 x1 x2，11x1x2，x1x1x2x1 x2( xx2) 2(xx )24 x x ，11212| x1x2 |(x1x2 )24x1 x2 ，x1 x22x12 x2x1 x2 ( x1x2 ) ，x2x1x12x2 2( x1x2 )24x1x2等x1x2x1 x2x1 x2(2)x1x 221. 分类为 x 1 x 22 和 x 1x 22；2. 两边平方为（ x12x 2） 4x14x1216(1)x14和x14(3)(或分类为3x3；x 23x 22)x 229( 2)两边平方一般不用 , 因为增加次数 .( 4) 如 x1sin A ,x 2sin B 且AB90 时 , 由公式 sin 2 Acos2 A1 , cos Asin B可推出x12x 221.注意隐含条件 : x 10,x 2 0.(5) x1 , x 2若为几何图形中线段长时, 可利用图形中的相等关系 (例如几何定理，相似形,面积等式,公式 )推导出含有x1 , x 2 的关系式 . 注意隐含条件 :x 1 0,x