第八章机械波

1、第八章 机 械 波振动状态在空间的传播过程叫做波，波是自然界中一种重要而常见的物质运动形式。波通常可分为两类：机械波和电磁波。近代物理学研究发现，微观粒子乃至任何物质粒子也都具有波动性，这种波被称为物质波。机械波是机械振动在弹性介质内的传播过程，如水面波、声波、地震波等。电磁波是电磁场的振动在真空或介质内的传播过程，如无线电波、光波等。虽然各种波在产生机制和物理本质上是不同的，但是就振动状态的传播而言，它们有着共同或相似的波动特征，有相似的数学表达形式。例如，都具有时间和空间的周期性，都伴随着能量的传播，都遵循一定的叠加规律，都能产生反射、折射、干涉和衍射等等。本章以机械波中最基本、最重要的简

2、谐波为例，讨论波在传播过程中的基本规律。8.1 机械波的形成8.1.1 机械波的形成及分类图8-1 波的形成机械波产生需要有两个条件：首先要有做机械振动的物体，即波源；其次要有能够传播这种机械振动的弹性介质。比如振动的音叉会在空气中引起声波，音叉是波源，而空气是传递振动、形成机械波的弹性介质。自然界中一切物质，如空气、水、弦线等，都是弹性介质。在弹性介质内部各质点间以弹性力相互联系。当波源在外力的作用之下发生机械振动时，就会偏离其平衡位置，发生形变。于是，一方面临近的质点将对这一质点施加弹性恢复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振动起来；另一方面根据牛顿第三定律，这一质点也对临近的质点施加

3、弹性力，迫使临近质点也在自己的平衡位置附近振动起来。这样，弹性介质中的每一个质点，都会引起临近的质点重复振源的振动，使振动在介质中由近及远地传播开来，形成机械波，如图8-1。需要指出的是，波只是振动状态(相位)的传播，介质中的各个质点仅在各自的平衡位置附近振动，并没有随波前进。振动的传播速度称为波速，它的大小由介质的特性决定。注意，波速不是各质点在平衡位置随时间作周期性变化时的振动速度，振动速度是质点偏离平衡位置的位移随时间的变化率。按照质点振动方向和波的传播方向的关系，机械波可分为横波与纵波，这是波动的两种最基本的形式。质点的振动方向与波的传播方向相互垂直，这种波叫做横波。横波的外形特征是有

4、波峰(质点振动正向位移最大处)和波谷(负向位移最大处)，横波的传播在外形上表现为波峰和波谷在波的传播方向上作整体的平移，图8-1所示即为横波。若质点的振动方向与波的传播方向相同，这种波叫做纵波。外形特征是介质密度沿传播方向发生疏密变化，出现“稀疏”和“稠密”区域，例如，人们说话时声带振动，引起周围空气发生压缩和膨胀，从而引起四周空气的疏密变化，形成空气中的声波。横波和纵波是两种最简单的波，各种复杂的波通常可看成是由横波和纵波合成的。 8.1.2 描述波的物理量波长、波的周期(或频率)、波速是描述波的重要物理量。沿传播方向上两个相邻的振动状态相同(相差为)的质点间的距离，即一个完整波形的长度，称

5、为波长，用表示。显然，横波的波长为相邻两个波峰(或波谷)之间的距离，纵波上两个相邻密部或两个相邻疏部对应点得距离，也是一个波长。波前进一个波长的距离所需要的时间称为周期，用表示。周期的倒数就是频率，用表示，即，频率等于单位时间内波动所传播的完整波的数目。由于波源完成一次全振动，波就前进一个波长的距离，所以波的周期(或频率)在数值上等于波源的振动周期(或频率)。单位时间内振动状态传播的距离称为波速，用表示。因为相位可以描述振动状态，所以波速也称为相位传播的速度，即相速度。波速反映振动状态传播的快慢，而振动状态的传播是通过弹性介质中质点间的弹性力来实现的，因此波速决定于介质的弹性和密度，即由介质本

6、身的性质所决定。例如，在标准状态下，声波在空气中的传播速度为，而在氢气中的传播速度为。注意，波速不是各质点在平衡位置随时间作周期性变化时的振动速度，振动速度是质点偏离平衡位置的位移随时间的变化率。由上述，可得 (8-1a)或 (8-1b)上式具有普遍意义，对各类波都适用。波源在弹性介质中振动时，振动将向各个方向传播，形成波。为了便于讨论波的传播情况，我们引入波线、波面和波前的概念。图8-2 球面波与平面波的波线、波面与波前(a) 球面波(b) 平面波波面波线波前在波的传播过程中，沿波的传播方向画的一些带有箭头的线称为波线。点波源(图8-2a)某时刻的振动状态向四面八方传播，所以波线沿一个球面的

7、径向方向。经过一定时间后，该振动状态传播到另一个球面上，在这个球面上各点的振动状态(相位)相同。我们把相位相同的点所组成的面称为波面，在任意时刻，波面可以有任意多个，在画图时，一般使相邻两个波面之间的距离等于一个波长。某时刻，由波源最初振动状态传到的各点所连成的曲面称作波前。显然，波前是波面的特例，是最前面的波面。波面是球面的波称为球面波，如图8-2)，波面是平面的波称为平面波，如图8-2b。在距离点波源足够远，且观察的范围很小时，球面波可近似看成平面波。在各向同性的均匀介质中，波线恒与波面垂直。8.2 平面简谐波简谐振动在介质中传播而形成的波称为简谐波，波面是平面的简谐波称为平面简谐波，简谐

8、波是最基本的波。当平面简谐波在无吸收、各向同性、均匀无限大的介质中传播时，介质中各质点均作同频率、同振幅的简谐振动。在本章内容中，我们主要讨论平面简谐波。8.2.1 平面简谐波的波动方程 在平面简谐波的传播过程中，介质中的每一个质点均在各自的平衡位置附近，作重复振源运动的简谐振动。由于各质点距离振源的位置不同，且它们开始振动的时刻也不同，所以，在同一时刻，波线上各质点的位移是不同的。如图8-3，设有一列沿轴正向传播的平面简谐波，波速为。我们把介质中各质点的位置用表示，质点偏离其平衡位置的位移用表示，若可写出与质点位置和时间的数学表达式，即，就可以知道平面简谐波的性质。这个数学表达式称为平面简谐

9、波的波动方程。为方便起见，我们取任意一点为坐标原点，某一时刻为计时起点，若处质点作简谐振动的方程可写为图8-3 时刻沿轴正方向传播的简谐波波形式中为原点处质点在时刻离开其平衡位置的位移，为振幅，为角频率，为初相。假定介质是均匀、无吸收的，那么各点的振幅将保持不变。为了找出在轴上所有质点在任一时刻的位移，我们现在考虑距离原点的距离为的任一点处的质点的振动情况。当振动从点传播到点时，点将以相同的频率和振幅重复点的振动。但振动从点传播到点所需要时间为，这表明，若点振动了时间，点仅振动了的时间，即点的振动在时间上要晚一些，相位(振动状态)上要落后一些。所以，在时刻点的振动状态应与时刻点的振动状态相同。

10、也就是说，点在时刻的位移等于点在时刻的位移。因此点处质点的简谐振动方程为 因为点是距离点为的任意点，所以上式去掉下标，得到任意处质点的振动方程，即平面简谐波的波动方程 (8-2a) 式(8-2a)描绘出轴上各点位移随时间变化的整体图像，对横波与纵波均适用。考虑到关系式、，则(8-2a)式可改写为： (8-2b) (8-2c) (8-2d)在式(8-2d)中，称为角波数，它表示单位长度上波的相位变化，数值上等于长度内所包含的完整波的个数。若平面简谐波是沿轴负向传播，则点处质点的振动在时间上要比早时间，相位(振动状态)上要比点超前，即点处质点在时刻的位移等于点在时刻点的位移。所以，点处质点的振动方

11、程，即平面简谐波的波动方程为 (8-3)至此，不难将以上的讨论推广到更一般的情形，若平面简谐波是沿的正方向传播，且已知距点为的点(图8-3)的振动规律为则相应的波动方程为 (8-4)8.2.2 波动方程的物理意义平面简谐波的波动方程中有、两个自变量，为了进一步理解波动方程的物理意义，下面分三种情况来讨论。(1) 如果给定(好像盯住某个质点拍“录像”)，则位移只是时间的函数，这时，波动方程(8-2)表示距离坐标原点为处的质点在不同时刻的位移，即该质点作简谐振动的情况。把代入式(8-2b)，得若令 ，则上式变为O图8-4 不同位置质点的振动曲线OOOO它说明简谐波具有时间上的周期性，即任一位置处的

12、质点作振动简谐，振动初比振动源处的振动相位落后。如果以为横坐标，为纵坐标，就得到该质点的关系曲线，即振动曲线。图8-4给出不同位置的质点的振动曲线。O图8-5 不同时刻的波形曲线OOOO(2) 如果给定(相当于在某瞬时给整个波线上的质点拍的一张快照)，则位移只是的函数，这时，波动方程(8-2)表示在给定时刻波线上各个质点的振动的位移，即在给定时刻，轴上各质点的位移关于的分布情况(相当于在某瞬时给整个波线上的质点拍的一张快照)。把代入式(8-3)，得若令 ，则上式变为它说明简谐波具有空间上的周期性，由于，表示简谐波空间周期的特征量为波长。在任一时刻，轴上不同位置的质点的位移不同，依其位置按余弦方

13、式排列。如果以为横坐标，为纵坐标，可以画出各质点的的曲线，即波形曲线，图8-5给出不同时刻的波形曲线。从波形曲线图中可以得出，在同一时刻，距离波源分别为和 ()的两质点的相位和是不同的，相差为 (8-5a)图8-6 不同时刻的波形图传播方向时刻的波形时刻的波形XXX其中，叫做波程差，若，则表示点的相位落后于点，这正是说明了波是振动相位的传播。注意，通常在不需要明确哪点的相位落后或超前时，(8-5a)可以简单的写成 (8-5b)(3) 如果和都变化(相当于给整个波线上的质点实时拍电影)，则这时波动方程(8-2)表示波线上各质点在不同时刻的位移，即轴上不同质点的位移在不同时刻的分布情况。图8-6所

14、示分别画出了时刻和时刻的两条波形曲线，从而描绘出波在时间内传播了距离的情形，也就是说，时刻、处质点的振动状态与时刻、处质点的振动状态完全相同，即相位相同。由式(8-2a)，得化简，得它的物理意义是：时刻处质点的振动状态在时刻传至处，相的传播速度或波形的传播速度为。图8-7 例8-1 有一平面简谐波沿轴正向传播，已知振幅，周期，波长。在时，坐标原点处的质点位于平衡位置沿轴的正方向运动。求：(1) 波动方程；(2) 时各质点的位移分布，并画出该时刻的波形图；(3) 处质点的振动规律，并画出该质点的位移与时间的关系曲线。解 (1) 根据已知条件，取波动方程为 由于时，根据旋转矢量图可求出初相 代入数

15、据得波动方程为(2) 将代入波动方程，得各质点的位移分布为 该时刻的波形图如图8-7()所示(3) 将代入波动方程，得该质点的振动规律为由上式可知，该质点做简谐振动的初相为，该质点的位移与时间的关系曲线如图8-7()所示。图8-8例8-2 如图8-8所示，一平面简谐波以速度沿直线传播。已知在传播路径上某点的简谐振动方程为，式中的单位为，的单位为。(1) 以点为坐标原点，写出波动方程；(2) 以距点为处的点为坐标原点，写出波动方程；(3) 写出传播方向上点、点的简谐振动方程；(4) 分别求出和两点间的相差。解 (1) 根据已知条件，取波动方程为，则以点为原点的波动方程为 (1)(2) 由于波由左

16、向右传播，所以点振动比点早，将点坐标代入波动方程，经过简单计算，得点的简谐振动方程为故以点为坐标原点的波动方程为 (2)(3) 将点、点的坐标代入波动方程，就可求出该点的简谐振动方程。若以点为原点时，点、点的坐标、代入式(1)，得点、点的简谐振动方程分别为：(4) 如图所示，和之间的距离分别为，由式(8-5b)，可得它们的相差分别为 8.3 惠更斯原理 波的干涉8.3.1 惠更斯原理图8-9 水面波通过的小孔成为新波源水面波通过开有小孔的障碍物后(孔径比波长小很多)，在小孔的后方会出现圆形的波面，与原来波的形状无关，就像是以小孔为波源发出的波一样，如图8-9所示。水面波通过小孔(障碍物)后，传

17、播方向发生变化，这就是水面波发生了衍射的结果。荷兰物理学家惠更斯在总结这类现象的基础上，于1690年提出了关于波的传播规律：介质中波面上的各点，都可以看作是发射子波的波源，在以后的任意时刻，这些子波的包迹就是新的波前。这就是惠更斯原理。它适用于任何波动过程，无论是机械波还是电磁波，只要知道某时刻波面的位置，根据这一原理就可以用几何作图的方法，确定下一时刻波前的位置，从而确定波的传播方向。 图8-10 用惠更斯原理作图法求新的波面球面波平面波我们分别以球面波和平面波为例，说明惠更斯原理的应用。如图8-10(a)所示，以为中心的球面波以波速在介质中传播，在时刻的波前是半径为的球面，根据惠更斯原理，

18、上的每一点都可以看作是发射子波的波源，经过时间后形成许多个半径为的半球形子波，在波的前进方向上，这些子波的包迹就成为时刻新的波前。显然， 就是以为中心，半径的球面。请大家根据图8-10(b)所画出的情况，对平面波进行分析。惠更斯原理可以定性地解释波的反射、折射、衍射现象。所谓波的衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，能绕过障碍物的边缘继续向前传播的现象。如图8-11所示，当一平面波到达宽度与波长相近的的狭缝时，根据惠更斯原理，缝上各点都可看作是子波的波源，做出这些子波的包迹，就得到新的波前。很明显，此时的波前已经不再是平面，在狭缝的边缘处，波面弯曲，波线发生偏折，使波偏离原来

19、沿直线传播的方向而向两侧扩展。即波绕过了狭缝(障碍物)而继续传播，产生了波的衍射现象。在声学中，由于声音的波长与所碰到的障碍物的大小差不多，故声波的衍射较显著如在屋内能够听到屋外的声音，就是声波能够绕过窗(或门)缝的缘故。图8-11 波的衍射理论和实验表明，当障碍物上缝的宽度与波长相近时，才会发生明显的衍射现象。机械波和电磁波都会有衍射现象，衍射是波的重要特征之一。有关使用惠更斯原理解释波的反射和折射的内容，请参考其它大学物理教材。应该指出，用惠更斯原理定性的解释波的衍射现象，其方法简单、图像直观。由于它没有说明子波的能量分布，不能定量的描述衍射波强度的分布，因而只能解决波的传播方向问题。后来

20、这些缺陷由菲涅尔做了重要补充，构成惠更斯-菲涅尔原理，这部分内容将在光学中进一步讨论。8.3.2 波的叠加原理 相干波观察和研究表明：(1) 强度不太大的几列波同时在各向同性的线性介质中传播时，它们会各自保持自己的特性(频率、波长、振动方向等)，好像并没有遇到其它的波一样；(2) 在相遇或叠加区域内任一质点的振动，为各列波单独存在时在该点激起的振动位移的矢量和。上述规律被称为波的叠加原理。图8-12 波的干涉三维图像例如，乐队演奏或几个人同时说话时，空中同时传播多种声波，而我们仍然能分辨出不同的乐器声音或各人的声音，这表明某种乐器或某个人发出的声波，并不因其他乐器或其他人同时发出的声波而受到影

21、响，就是波独立传播的例子。通常天空中同时有很多无线电波在传播，我们能够随意接收到某一电台的广播，这也是电磁波独立传播的例子。通常在波的强度不是很大时，波的叠加原理是成立的，如果波的强度太大，就不满足波的叠加原理，例如，强烈的爆炸声就有明显的相互影响。波的叠加原理在物理上的重要性，还在于可将一列复杂的波分解为简谐波的组合。事实上，这正如傅里叶指出的：任何一质点的周期运动都可用简谐振动的合成(叠加)来表示一样。波的叠加问题很复杂，我们只讨论一种最简单也是最重要的波的叠加情况，即两列频率相同、振动方向相同，相位相同或相差恒定的简谐波的叠加。满足这些条件的两列波在空间任意一点相遇时，该点的两个分振动也

22、有恒定的相差。但是对于空间不同的点，有着不同的恒定相差。使得空间某些点振动始终增强，有些点振动始终减弱，这种现象称为波的干涉现象。能发生干涉现象的波称为相干波，相应的波源称为相干波源。我们把频率相同、振动方向相同、在相遇点的相位相同或相差恒定称为波的相干条件。图8-12是计算机模拟波的干涉的三维图像，在图中有些地方波面起伏大(凹凸处)，说明这些地方振动加强了，有些地方波面很平坦(无凹凸处)，说明这些地方振动减弱了。干涉现象是波动的又一重要特征，它和衍射现象一起作为判别某种运动是否具有波动性的主要依据，在光学、声学等各方面都有着极其广泛的应用。例如，大礼堂、影剧院等的设计就必须考虑声波的干涉，以

23、避免某些区域声音过强，而某些区域声音又过弱。8.3.3 两列相干波的叠加减弱减弱加强图8-13 波的干涉加强加强如图8-13中，在波源的同一波面上放置一个开有两个小孔和的障碍物，根据惠更斯原理，和可以看成是两个子波源。由于子波源和是同一波面上的两个点，它们的振动方向相同、振动频率相同。在障碍物之后，由和发出的一系列球形波面，其波峰和波谷分别以实线和虚线的圆弧表示，两相邻波峰或波谷之间的距离是一个波长。当两波在空间相遇时，若它们的波峰与波峰或波谷与波谷相重合(图上实线各点)，则振动始终加强，合振幅最大；若两波的波峰与波谷相重合(图上虚线各点)，则振动始终减弱，合振幅最小。下面我们从波的叠加原理出

24、发，分析干涉现象的产生并确定干涉加强和减弱的条件。 如图8-14所示，两个相干波源、，它们的振动方程分别为：图8-14 两相干波源发出的波在空间相遇式中，是两波源的角频率，、分别是它们的振幅， 、分别是两波源的初相。若从这两个波源发出的两列波在同一介质中传播，它们的波长均为。在不考虑介质对波能量的吸收时，则两列波的振幅永远保持、。设两列波分别经过距离和在点相遇。那么这两列波各自在点引起的振动分别为： 根据叠加原理，点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动还是简谐振动。设合振动的振动方程为： 式中，为合振动的振幅，为合振动的初相位。由简谐振动的知识，可知为 (8-6)式中， (8-7)式

25、中，为两个相干光源的初相差，为两波源到点的波程差，用表示，即。由于相遇点位置确定，则相差是恒定的，合振动的振幅是恒定的。由式(8-6)和式(8-7)可知，随着空间各点位置的不同，各点到波源的波程差也不相同，空间各点的合振幅也不同。满足 ， (8-8)的空间各点合振幅最大，这时，称为干涉相长(或干涉加强)。满足 ， (8-9)的空间各点合振幅最小，这时，称为干涉相消(或干涉减弱)。这样，干涉的结果使空间某些点的振动始终加强，而另一些点的振动始终减弱，能形成稳定的空间分布，即稳定的干涉图样。式 (8-8)和式(8-9)分别称为相干波的干涉加强和减弱条件。当为其他值时，合振幅介于和之间。对于图8-1

26、3所示的两波源初相相同的情形，式 (8-7)可以简化为，上述条件可简化为，当， (8-10)时，波程差等于零或为波长整数倍的空间各点，合振幅最大；当 ， (8-11)时，波程差等于半波长的奇数倍的空间各点，合振幅最小。 由以上讨论可知，两相干波在空间任一点相遇时，其干涉加强和减弱的条件，除了两波源的初相差之外，只取决于该点至两相干波源之间的波程差。必须注意，如果两波源不是相干波源，则不会出现干涉现象。例8-3 如图8-15所示，、两点为同一介质中的两相干波源，其振幅为，频率皆为，但当点为波峰时，点恰为波谷。设波速为，试写出由、发出的两列波传播到点时干涉的结果。图8-15 、两点的波传播到点时干

27、涉解 两列相干波叠加后，干涉的结果取决于相差因为点为波峰时点恰为波谷，所以两者的相差为，可设。根据已知条件，可得。由于波长，所以相差为因为相差，合振动的振幅，合振幅最小，属于干涉相消的情况，故在点因两波干涉减弱而不发生振动。8.4 驻波8.4.1 驻波的产生现在来讨论两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时所产生的叠加情形。为了产生横驻波，可用图8-16所示的装置。左边是一电振音叉，音叉末端系一水平细绳，处有一尖劈，左右移动尖劈可以调节间的距离。细绳经过滑轮后，末端悬挂一砝码，使绳上产生张力。音叉振动时绳上产生波动向右传播，达到点时被尖劈反射，产生的反射波向左传播。这样入射波和反射波

28、在同一绳子上沿相反方向传播，它们将互相叠加。移动处尖劈至适当位置时，结果形成图上所示的波动状态。图 8-16 驻波实验图8-17 驻波在不同时刻的波形图从图上可以看出，由上述两列波叠加而成的波，在两点间被分成好几段，每段两端的点固定不动，而每段中的各质点则作振幅不同、相位相同的独立振动。中间的点，振幅最大，越靠近两端的点，振幅越小。而且还发现，相邻两段的振动方向是相反的，此时绳上各点，只有段与段之间的相位突变，而没有振动状态或相位的逐点传播，亦即没有什么“跑动”的波形，也没有什么能量向外传播，所以称这种波为驻波。驻波中始终静止不动的那些点称为波节，振幅最大的各点称为波腹。现在用图8-17来说明

29、驻波的产生。在图中，用点划线表示向右传播的波，用虚线表示向左传播的波。取两波的波形刚好重合时开始计时。图中画出了这两列波在，、各时刻的波形，实线表示合成波。由图可见，不论在什么时刻，合成波的波节位置(图中“”表示)总是不动的，在两波节之间同一分段上的所有点，振动的相位都是相同的，各分段的中点是均有最大振幅的点(图中“”表示)，就是波腹。相邻两分段上各点的振动相位相反。这与实验事实是一致的。可以看出，在每一时刻，驻波都有一定的波形，但此波形既不向左移，也不向右移，各点以确定的振幅在各自的平衡位置附近振动，所以称它为驻波。8.4.2 驻波方程下面对驻波进行定量描述。为了方便起见，设两列频率、振幅、振动方向相同、初相皆为零且沿轴正、负向传播的平面简谐波的波动方程分别为两列波在相遇区域内的质点在任意时刻的合振动位移为 (8-12)这就是驻波方程。式中，因子表示形成驻波后各质点都在做同频率的简谐振动，是各点的振幅