全等三角形(常见辅助线)用

1、2021/8/141专题学习专题学习 -几何证明中常见的几何证明中常见的 “添辅助线添辅助线”方法方法 -“周长问题周长问题”的转化的转化2021/8/142连结连结目的目的: :构造构造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在两个点存在两个点A A和和B B语言描述语言描述: :连结连结ABAB注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法2021/8/143连结连结典例典例1: 1:如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD1. 1.连结连结

2、ACAC构造全等三角形构造全等三角形2. 2.连结连结BDBD构造两个等腰三角形构造两个等腰三角形2021/8/144连结连结典例典例2: 2:如图如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证求证: :点点M M是是CDCD的中点的中点. .ACBD连结连结ACAC、ADAD构造全等三角形构造全等三角形EM2021/8/145连结连结典例典例3: 3:如图如图,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分别是分别是BDBD、CDCD的中点，求证：的中点，求证：AMBAMB ANCANCACBD连结连结ADAD构造全

3、等三角形构造全等三角形NM2021/8/146连结连结典例典例4: 4:如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的长的长. .ACBD连结连结BDBD构造全等三角形构造全等三角形O2021/8/147目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到距离相等距离相等适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在一个点存在一个点A A和和一条线一条线MNMN语言描述语言描述: :过点过点A A作作AHAHMNMN注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明

4、过程中描述添法角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段2021/8/148角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例1: 1:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离. .ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE2021/8/149角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例2: 2:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C

5、 =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求证求证:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE 思考思考: : (1) (1)若若AB=15cm,AB=15cm,则则BEDBED的周长是多少的周长是多少? ? (2) (2)能否用截长补短法，在能否用截长补短法，在ABAB上截取上截取AE=ACAE=AC？2021/8/1410角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例3: 3:如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D

6、 =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD过点过点E E作作EFBCEFBC构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF 思考思考: :1. 1.有没有其他辅助线的做法有没有其他辅助线的做法 2. 2.你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?E2021/8/1411.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例4: 4:如图如图,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求证求证:

7、 PD=PE.: PD=PE.ACD过点过点P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?EPGO2021/8/1412目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等适用情况适用情况: :图中已经存在图中已经存在一条线段一条线段MNMN 和和垂直平分线上一个点垂直平分线上一个点X X 语言描述语言描述: :连结连结X XM M和和X XN N注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添

8、法在证明过程中描述添法.垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段2021/8/1413如图：如图：PD、PE分别垂直平分线段分别垂直平分线段 AB、BC，则则PA_PCABCPDE2021/8/1414问题问题1:1:在某一乡村公路在某一乡村公路L L的同侧，有两个村庄的同侧，有两个村庄A A、B B，为，为了便于两个村庄的人看病，乡政府计划在公路边上修建了便于两个村庄的人看病，乡政府计划在公路边上修建一所医院，使得它到一所医院，使得它到两村庄的距离相等两村庄的距离相等，试问医院的院，试问医院的院址址P P应选在何处？应选在何处？LABCDP联系生活联系生活2021/8/1415问

9、题问题2:有三个村庄有三个村庄A、B、C，为了便于三个村庄的人，为了便于三个村庄的人看病，乡政府计划修建一所医院，使得它到看病，乡政府计划修建一所医院，使得它到三个村庄三个村庄的距离相等的距离相等，试问医院的院址，试问医院的院址P应选在何处？应选在何处？ABCP想一想，想一想，P点与点与BC有有怎样的关系？怎样的关系？DEFG三角形三条边的中垂三角形三条边的中垂线是交于一点的，这线是交于一点的，这个点到三个顶点距离个点到三个顶点距离相等相等2021/8/1416目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等适用情况适用情况: :图中已经存在图中已经存在一条线段一条线段

10、MNMN 和和垂直平分线上一个点垂直平分线上一个点X X 语言描述语言描述: :连结连结X XM M和和X XN N注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法.中线延长一倍中线延长一倍2021/8/14171. 1.已知，如图已知，如图ADAD是是ABCABC的中线，的中线，.中线延长一倍中线延长一倍ABCDE)(21ACABAD求证：延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=AEDE=AE，连结连结CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5，求，求ADAD的取值范围？的取值范围？2021/8/1418m = 42

11、.35m = 42.23已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2求证求证:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DE截长截长F在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD，连接，连接DF补短补短2021/8/1419A1BCD234如图所示，已知如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线，直线DC经过点经过点E交交AD于点于点D，交交BC于点于点C。求证：。求证：AD+BC=ABEF在在AB上取点上取点F使得使得AF=AD,连接连接EF截长补短2021/8/1420例1 如图，已知：在正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E.求证

12、：AB+BE=ACABCDFEG截长补短法截长补短法2021/8/1421旋转法旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。试用旋转方法构造全等三角形。 . 例3如图所示，已知点 、 分别在正方形 的边 与 上，并且 AF平分 EAD ，求证： BEDFAEABCDEFG2021/8/142245E A F B D A C F E如图，已知在正方形中，在上，在上，求证： 2021/8/1423B A C A B C E D N M如图，ABC中，是边上的中点，于，交 的平分线于，过作于，作于求证：2021/8/14241

13、. 1.如图如图, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长是多少的周长是多少? ?.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“角平分线性质角平分线性质”BACDEBE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AC=BE+AE=AB2021/8/14252. 2.如图如图, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o, D, D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上. .若若BC=6cm,

14、BC=6cm,求求ADEADE的周长的周长. .“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACDEAD+AE+DE=BD+CE+DE=BC2021/8/14263. 3.如图如图,A,A、A A1关于关于OMOM对称对称, A, A、A A2关于关于ONON对称对称. .若若A A1 A A2 =6cm, =6cm,求求ABCABC的周长的周长. .“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACOMAB+AC+BC=A=A1 B+ A A2 C+BC=A=A1 A A2A1A2N2021/8/14274. 4.如图如图, ,

15、ABCABC中，中，MNMN是是ACAC的垂直平分线的垂直平分线. .若若AN=3cm, AN=3cm, ABMABM周长为周长为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长. .“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACMAB+BC+AC=AB+ BM+MC+6N=AB+ BM+AM+6=13+62021/8/14285. 5.如图如图, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分线，的角平分线，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周长为周长为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长. .“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“等腰三角形性质等腰三角形性质”BACPAB+AC+BC=AM+ BM+AN+NC+6N=AM+ MP+AN+NP+6=13+6M=AM+AN+MN+62021/8/1429线段与角求相等，先找全等试试看线段与角求相等，先找全等试试