勾股定理拼图

1、 勾股定理有着悠久的历史，是人类勾股定理有着悠久的历史，是人类最伟大的数最伟大的数学发现之一。但由于学发现之一。但由于教材的编写遵循了简约性原教材的编写遵循了简约性原则，则，在在学习勾股定理知识的过程中，学习勾股定理知识的过程中，没能更深入没能更深入地介绍它产生、发展的历史背景、多样的验证方地介绍它产生、发展的历史背景、多样的验证方法，以及在人类文化发展史上的贡献。法，以及在人类文化发展史上的贡献。 因此，在因此，在学生完成了学生完成了勾股定理勾股定理这章的学习这章的学习之后，设置了之后，设置了勾股定理的勾股定理的“无字证明无字证明”的课的课题学习，它属于题学习，它属于数学课程标准数学课程标准

2、中所规定的中所规定的“实践与综合应用实践与综合应用”领域的内容，是对课本知识进领域的内容，是对课本知识进一步的延伸和拓展一步的延伸和拓展，让学生更全面的认识勾股定，让学生更全面的认识勾股定理，了解理，了解拼图与定理证明拼图与定理证明之间的内在联系，通过之间的内在联系，通过经历综合应用知识解决问题的过程，领会其中的经历综合应用知识解决问题的过程，领会其中的数学思想方法，以开拓学生视野，激发他们的创数学思想方法，以开拓学生视野，激发他们的创新意识和学习数学的兴趣。新意识和学习数学的兴趣。勾股定理证明方法汇总勾股定理证明方法汇总 1 1课前自主探究活动课前自主探究活动探究报告探究报告 请各个学习小组

3、从网络或书籍上，尽可请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的方法。能多的寻找和了解验证勾股定理的方法。 2 2 探探 究究 成成 果果 的的 交交 流流 与与 展展 示示三国时期吴国数学家三国时期吴国数学家赵爽赵爽在为在为周髀算经周髀算经作注解时，创制了一幅作注解时，创制了一幅“勾股圆方图勾股圆方图”，也称为，也称为“弦图弦图”，这是我国对勾股定理最早的证，这是我国对勾股定理最早的证明。明。 2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的是经过艺术处理的“弦图弦图”，标志着中国古代数学成就

4、。，标志着中国古代数学成就。 方法一方法一n赵爽赵爽n东汉东汉末至三末至三国时代吴国时代吴国国人人n为为周髀算周髀算经经作注，作注，并著并著有有勾股勾股圆方图圆方图说说。cb a22)(214ababc22222aabbabc222bac由面积计算得由面积计算得 展开得展开得化简得化简得用几何图形的截、割、拼、补，来证明代用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。体现了数式之间的恒等关系。体现了以形证数以形证数、形数统一形数统一、代数和几何的紧密结合、代数和几何的紧密结合 。赵爽的赵爽的“弦图弦图”证明一证明一ba(a + b)2=c2 + 4(ab)a2+2ab+b2=c2 +

5、 2ab a2 + b2= c2cn加菲加菲(James A. (James A. Garfield,1831 Garfield,1831 1881) 1881)n1881 1881 年成年成为美国为美国第第20 20 任任总统总统. .n1876 1876 年提出有年提出有关证关证明明. .参考参考:.hk方法方法 二二 (a + b)(b + a) = c2 + 2(ab) a2 + ab + b2 = c2 + aba2 + b2= c2aabbcc方法方法 二二n两个证明两个证明基本上相同！基本上相同！ n两个证明两个证明基本上相同！基本上相同！ n

6、两个证明都需要用到两个恒等式：n(a b)2 = a2 2ab + b2 约公元约公元 263 年，三国时代魏国的年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍数学家刘徽为古籍九章算术九章算术作作注释时，用注释时，用“出入相补法出入相补法”证明了证明了勾股定理。勾股定理。 方法三方法三青出青出青朱朱出青入青入朱入a2b2证明证明c2 a2 + b2 = c2希腊数学家欧几里得（希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前，公元前330公公元前元前275）在巨著）在巨著几何原本几何原本给出一个公理化给出一个公理化的证明。的证明。 1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股

7、定理上的贡献，发行了一张邮票，图案是由股定理上的贡献，发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。三个棋盘排列而成。 方法四方法四n欧几里得欧几里得（Euclid of Alexandria; 约约 325 B.C. 约约 265 B.C.）n欧几里得欧几里得的的几几何原本何原本是用公理方法建立是用公理方法建立演绎数演绎数学体系学体系的最早的最早典范典范。n证法四证法四就是取材自就是取材自几几何原本何原本第一卷的第第一卷的第 47 命题命题。参考参考:.hkn达达 芬奇芬奇( (Leonardo Da Leonardo Da Vinci 1452-1519 )

8、.Vinci 1452-1519 ).n文艺复兴时期卓越的代表人文艺复兴时期卓越的代表人物物. .n他不仅是一位天才的画家，他不仅是一位天才的画家，并且是大数学家、科学家、并且是大数学家、科学家、力学家和工程师力学家和工程师. .n第一次在数学上使用加减第一次在数学上使用加减(+(+、-)-)符号符号. . 方法五方法五abc方法五方法五证明证明abc证明证明abcbca证明证明 a2 + b2 = c2abcbcaabc下面据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理下面据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。时做出的证明。 将将4个全等的直角三角形拼成边长为个全等的直角三角形拼成边长为(ab)的

9、正方形的正方形ABCD，使中间留下，使中间留下边长边长c的一个正方形洞画出正方形的一个正方形洞画出正方形ABCD移动三角形至图移动三角形至图2所示的位所示的位置中，于是留下了边长分别为置中，于是留下了边长分别为a与与b的的两个正方形洞则图两个正方形洞则图1和图和图2中的白色中的白色部分面积必定相等，所以部分面积必定相等，所以c2=a2+b2图图1图图2abcabc5.尝试拼图，验证勾股定理尝试拼图，验证勾股定理青朱入出青朱入出图图c2a2b2 a2 + b2 = c2ac c2 = b2 + a2bIIIIII注意：注意：面面积积 I : 面面积积 II : 面面积积 III= a2 : b2

10、 : c2 IIIIII注意：注意：面面积积 I : 面面积积II : 面面积积 III= a2 : b2 : c2 以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手，以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手，运用了数形结合的思想方法，其中第一、二种类运用了数形结合的思想方法，其中第一、二种类型还与拼图有着密切的关系型还与拼图有着密切的关系。 4.勾股定理的文化价值勾股定理的文化价值(1) (1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。(2) (2) 勾股定理反映了自然界基本规律勾股定理反映了自然界基本规律, ,有文明的宇宙有文明的宇宙“人人”都都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人外星人”联系的联系的信号。信号。(3)(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。(4)(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立了一个范式。了一个范式。6.小结反思小结反思,课题拓展课题拓展我最大的收获；我最大的收获；我表现较好的方面；我表现较好的方面；我学会了哪些知识；我学会了哪些知识；我还