《函数的极值与最值》ppt课件

1、，1的极值1的极值1)1)(x(x求f(x)求f(x)3 32 2 函数函数 在在 时有极值时有极值1010，那，那么么a a，b b的值为的值为 A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不对以上都不对 223)(abxaxxxf 1 x3, 3 ba11, 4 ba1, 4 ba11, 4 ba11, 4 ba解解:由题设条件得：由题设条件得： 0)1(10)1(/ff 0231012baaba解之得解之得 11433baba或或留意代留意代入检验入检验 留意：留意：f/(x0)=0f/(x0)=0是函数获得极值的必要不充分是函数获得极值的必要不充分条件条件知函数极值情况，逆

2、向运用确定函数的解析式知函数极值情况，逆向运用确定函数的解析式, ,进而研讨函数性质时，留意两点：进而研讨函数性质时，留意两点：(1)(1)常根据极值点处导数为常根据极值点处导数为0 0和极值两个条件列方和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解程组，利用待定系数法求解(2)(2)由于导数值等于零不是此点为极值点的充要由于导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必需验证根的条件，所以利用待定系数法求解后必需验证根的合理性合理性知极值求参数知极值求参数极值问题的综合运用主要涉及到极值的正用和逆极值问题的综合运用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，标题着重调

3、查知用，以及与单调性问题的综合，标题着重调查知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的运用，在解题过程中，熟练论的思想在解题中的运用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的根本解题战略掌握单调区间问题以及极值问题的根本解题战略是处理综合问题的关键是处理综合问题的关键函数极值的综合运用函数极值的综合运用 设函数设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数求函数f(x)的单调区间和极值；的单调区间和极值；(2)假设关于假设关于x的方程的方程f(x)a有三个不同的实根，有三个不同的实根，务虚数务虚数a的取值范围的取值范围【思绪点

4、拨】【思绪点拨】(1)利用导数求单调区间和极值利用导数求单调区间和极值.(2)由由(1)的结论，问题转化为的结论，问题转化为yf(x)和和ya的图的图象有象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解个不同的交点，利用数形结合的方法求解.【名师点评】用求导的方法确定方程根的个数【名师点评】用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法它经过函数的变化情况，是一种很有效的方法它经过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点轴的交点个数，从而判别方程根的个数个数，从而判别方程根的个数1 1极值的概念了解极值的概念了解在定义中，获得极值的点称为极值点，极

5、值点指在定义中，获得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值请留意以的是自变量的值，极值指的是函数值请留意以下几点：下几点：(1)(1)极值是一个部分概念由定义，极值只是某极值是一个部分概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小或最小方法感悟方法感悟(2)(2)函数的极值不一定是独一的，即一个函数在函数的极值不一定是独一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一

6、个止一个(3)(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如以下图所一个函数的极大值未必大于极小值，如以下图所示，示，x1x1是极大值点，是极大值点，x4x4是极小值点，而是极小值点，而f(x4)f(x4)f(x1)f(x1)2 2极值点与导数为零的点极值点与导数为零的点(1)(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即数为零的点不一定是极值点，即“点点x0 x0是可导函是可导函数数f(x)f(x)的极值点是的极值点是“f(x0)f(x0)0 0的充分但不的充

7、分但不用要条件；用要条件；(2)(2)可导函数可导函数f(x)f(x)在点在点x0 x0处获得极值的充要条件处获得极值的充要条件是是f(x0)f(x0)0 0，且在，且在x0 x0左侧和右侧左侧和右侧f(x)f(x)的符号的符号不同不同. .假设在假设在x0 x0的两侧的两侧f(x)f(x)的符号一样，那么的符号一样，那么x0 x0不是不是极值点极值点二、新课二、新课函数的最值函数的最值x xX2X2o oa aX3X3b bx x1 1y y 察看右边一察看右边一个定义在区间个定义在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象.发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区

8、间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于假设在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于假设在没有给出函数图象的情况下，怎样才干判别出样才干判别出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 导数的运用导数的运用-求函数最值求函数最值. . (2) (2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(b)(f(b)(端点处端点处) ) 比较比较, ,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值. . 求求f(x)f(x)在

9、闭区间在闭区间a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内极值内极值( (极大值或极小值极大值或极小值) )一切极值连同端点函数值进展比较，一切极值连同端点函数值进展比较，最大的为最大值，最小的为最小值最大的为最大值，最小的为最小值典型例题典型例题6 63( )6123 3f xxx求函数在， 上的最值. 2312 33,30,22(2)22( 2)10(3) 15, ( 3)3( )6 123310.fxxxfxxxfffff xxx 解：令解得：或又，所以函数在，上的最大值为22，最小值为1 1、求出一切导数为、求出一切导数为0

10、 0的点；的点；2 2、计算；、计算；3 3、比较确定最值。、比较确定最值。动手试试动手试试求以下函数在给定区间上的最大值与最小值：求以下函数在给定区间上的最大值与最小值：31( )274,4f xxxx 、312( )6 12,33f xxxx 、33( )32,3f xxxx、浙江此题总分值浙江此题总分值1212分分知知a a为实数，为实数，求导数求导数 ；假设假设 ，求，求 在在-2-2，22上上的最大值和最小值；的最大值和最小值；假设假设 在在-，-2-2和和22，+上都是递增的，求上都是递增的，求a a的取值范围。的取值范围。)(4()(2axxxf )(xf 0)1( f)(xf)

11、(xf典型例典型例7 7题题小结小结 求在求在a,b上延续上延续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在a,b上的最值的步骤上的最值的步骤: (1)求求f(x)在在(a,b)内的极值内的极值; (2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较比较,其中最大其中最大的一个是最大值的一个是最大值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.思索思索 32( )262 2371a2( )2 2f xxxaf x已知函数在， 上有最小值求实数 的值；求在， 上的最大值。反思：此题属于逆向探求题型；反思：此题属于逆向探求题型； 其根本方法最终落脚到比其根本方法最终落脚到比较极值与端点函数值

12、大小上，从而较极值与端点函数值大小上，从而处理问题，往往伴随有分类讨论。处理问题，往往伴随有分类讨论。 2 2、求最大最小值运用题的普通方法、求最大最小值运用题的普通方法: :(1)(1)分析实践问题中各量之间的关系，把实践问题分析实践问题中各量之间的关系，把实践问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步; ;(2)(2)确定函数定义域，并求出极值点确定函数定义域，并求出极值点; ;(3)(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实结合实践，确定最值或最值点践，确定最值或最值点. .1 1、实践运用问题的表现方

13、式，经常不是以纯数学方、实践运用问题的表现方式，经常不是以纯数学方式反映出来式反映出来: :首先，经过审题，认识问题的背景，笼统出问题的本质;其次，建立相应的数学模型, 将运用问题转化为数学问题,再解.运用运用例例1、在边长为、在边长为60cm的正方形铁皮的四角的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？少？60 xx60 xx解解:设箱底边长为设箱底边长为x,那么箱高那么箱高h=(60-x)/2.箱子

14、容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱子箱子的容积很小的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3. 2、假设函数、假设函数 f ( x )在定义域内只需一个极值点在定义域内只需一个极值点x0 ，那么不需与端点比较，那么不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的即是所求的最大值或最

15、小值最大值或最小值.阐明阐明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；确定出定义域；所得结果符合问题的实践意义所得结果符合问题的实践意义xy例例2: 如图如图,在二次函数在二次函数f(x)= 4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形ABCD,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2), 那么那么 A(x, 4x-x2).从而从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面积的面积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).16246)(2 xxxS令令 ,得得.3322,33220)(21 xxxS),2 , 0(1 x所以当所以当 时时,.9332)(3322max xSx因此当点因此当点B为为 时时,矩形的最大面积是矩形的最大面积是) 0 ,2322( .9332拓展提高拓展提高我们知道，假设在闭区间【我们知道，假设在闭区间【a，b】上函数】上函数y=fx的图像是一条延续不