中考数学几何模型7：轴对称最值模型

1、中考数学几何模型7:轴对称最值模型i拨开云雾开门见山名师点睛17 Q典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，在矩形 ABCD中，AB=10, AD至ij A, B两点距离之和PA+PB的最小值为_DCAB=6,动点P满足SaPAB = S矩形ABCD,则点P变式练习>>>1.如图RtABC和等腰 ACD以AC为公共边，其中/XAB,过点D作DEL AC于点F, DE交AB于点 巳ACB = 90° , AD = CD,且满足已知AB = 5BC=3, P是射线ADDEDP的值为（上的动点，当 PBC的周长取得最小值时,C.D.例题2.如图所示，凸四边形 ABCD中，/

2、 A=90°= V3,若点M、N分别为边CD, AD上的动点,/ C=90° , / D = 60° , AD= 3, 求 BMN的周长的最小值.AB变式练习>>>2 .如图，点 P是/AOB内任意一点，且/ AOB=40° ,点M和点N分别是射线 OA和射 线OB上的动点，当 PMN周长取最小值时，则/ MPN的度数为（）C. 50D. 40例题3.如图，在 ABC中，ZC=90° , CB=CA=4, / A的平分线交 BC于点D,若点P、 Q分别是AC和AD上的动点，则 CQ+PQ的最小值是变式练习>>>

3、;3 .如图，已知等边 ABC的面积为心,P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）C IA . 3B. 2x/3C. 415D. 4例题4.如图，/ MON=30° , A在OM上,OA=2, D在ON上，OD = 4, C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线 ABCD的最短长度为变式练习>>>4 .如图，在长方形 ABCD中，。为对角线 AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任 意一点，已知： AC = 2, BC=1.(1)求折线OPQB的长的最小值；(2)当折线OPQB的长最小时，试确定 Q的位置.例题5.如图，矩形

4、ABCD中，AB=4, BC=8, E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动 点，且PQ=3,当CQ =时，四边形APQE的周长最小.变式练习>>>5 .如图，已知 A （3, 1）与B （1, 0）, PQ是直线y=x上的一条动线段且 PQ=J9 （Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）C. (0, 0)D. (1, 1)例题6.如图，点E、是正方形ABCD的边BC上的两点（不与 B、C两点重合），过点B作BGLAE于点G,连接FG、DF ,若AB=2,求DF+GF的最小值为变式练习>>>6 .如图，平面直角坐标系中， 分别以点A (2,

5、3)、点B (3, 4)为圆心，1、3为半径作OA、 OB, M, N分别是。A、OB上的动点，P为x轴上的动点，则PM + PN的最小值为()例题7.如图，AD为等边 ABC的高，E、F分别为线段 AD、AC上的动点，且 AE= CF当BF+CE取得最小值时，/ AFB=(C. 90°D. 825变式练习>>>7 .如图，等边 ABC中，AD为BC边上的高，点 M、N分别在 AD、AC上，且AM = CN, 连 BM、BN ,当 BM+BN 最小时，/ MBN =度.B D C例题8. (1)如图，RtABC中，/ C = 90° , AC=3, BC=

6、 4,点D是AB边上任意点，则CD的最小值为.(2)如图，矩形ABCD中，AB=3, BC = 4,点M、点N分别在BD、BC上，求CM + MN 的最小值.(3)如图，矩形 ABCD中，AB=3, BC = 4,点E是AB边上一点，且 AE = 2,点F是 BC边上的任意一点，把 BEF沿EF翻折，点B的对应点为 G,连接AG、CG,四边形AGCD 的面积是否存在最小值， 若存在，求这个最小值及此时 BF的长度.若不存在，请说明理由.国二达标检测悟提升强化落实1 .如图，矩形 ABCD中，AB=5, AD=10,点E, F, G, H分别在矩形各边上，点 F, H 为不动点，点E, G为动点

7、，若要使得 AF = CH, BE = DG,则四边形EFGH周长的最小 值为()C. 15/3D. 10/52 .如图，平面直角坐标系中，分别以点 A ( - 2, 3), B (3, 4)为圆心，以1、2为半径作 OA、OB, M、N分别是。A、OB上的动点，P为x轴上的动点，则 PM + PN的最小值 等于3 .如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于 A、B两点，OC的圆心坐标为(2, 0),半径为2,若D是。C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,则4ABE面积的最小值4 .正方步 ABCD, AB=4, E是CD中点，BF=3CF,点M, N为线段BD上的动点，MN = V2,求

8、四边形EMNF周长的最小值.DE尸5 .如图，已知点 D, E分别是等边三角形 ABC中BC, AB边的中点，BC=6,点F是AD 边上的动点，则 BF+EF的最小值为6 .如图，在边长为1正方形 ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA上的点，3AE = EB,有一只蚂蚁从 E点出发，经过F、G、H,最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路 程是7 .如图，在 ABC中，ACXBC, /B=30° ,点E, F是线段AC的三等分点，点 P是线 段BC上的动点，点 Q是线段AC上的动点，若 AC= 3,则四边形EPQF周长的最小值 是 .8 .如图，长为1的线段AB在x轴上移

9、动C (0, 1)、D (0, 2),则AC+BD的最小值是9 .在矩形ABCD中，AB=8, BC=10, G为AD边的中点.如图，若 E、F为边AB上的两个动点，且EF = 4,当四边形CGEF的周长最小时，则求 AF的长为10 .如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8, 0）,点A 的坐标为（0, 6）,点E、F分别足OC、BC的中点，点M, N分别是线段 OA、AB上的 动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点 N的坐标为11 .如图，在正方形 ABCD中，AB = 8, AC与BD交于点O, N是AO的中点，点 M在BC 边上，且 BM

10、=6. P为对角线 BD上一点，则 PM-PN的最大值为 .12 .如图，两点 A、B在直线 MN外的同侧，A到MN的距离AC=16, B到MN的距离BD = 10, CD = 8,点P在直线 MN上运动，则|PA-PB|的最大值等于11 .如图 ABC是边长为2的等边三角形， D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是 AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使 DPQ的周长最小？并求出这个最值.12 .如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD, EDXBD,连接AC、EC.已 知 AB=5, DE=1, BD=8,设 CD = x.(1)用含x的代数式表示 AC+CE的长；

11、(2)请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由.(3)根据(2)中的规律和结论，请直接写出出代数式dx*十g+J(24-x的最小值为中考数学几何模型7:轴对称最值模19 Q典题探究迪思维探究重点#例题1.如图，在矩形 ABCD中，AB=10, AD = 6,动点P满足SaPAB =- S 矩形 ABCD ,则点P到A, B两点距离之和PA+PB的最小值为 2/41 .一D C【解答】解：设 ABP中AB边上的高是h.SaPAB = -S矩形 ABCD, 3.,lAB?h = AB?AD, 23h =AD = 4,3.动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直

12、线l上，如图，作 A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.在 RtABE 中， AB= 10, AE=4+4=8,BE=十/=2'0，即PA+PB的最小值为2yl.故答案为：2H.变式练习>>>1.如图RtABC和等腰 ACD以AC为公共边，其中/ ACB = 90° , AD = CD,且满足 AD ±AB,过点D作DEAC于点F, DE交AB于点E,已知AB = 5, BC=3, P是射线DE 上的动点，当 PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）A E £A- T B普 。鼠胃 d-T【解答】解：连

13、接PB、PC、PA,要使彳# PBC的周长最小，只要 PB+PC最小即可， PB+PC= PA+PB>AB, 当P与E重合时，PA+PB最小， AD= CD, DEXAC,AF=CF, . / ACB=90° ,EF / BC, . AE= BE = -LaB = 2.5, 2EF = AbC=1.5,2 A" AB,AEFADEA,EF AEDE=,EF 6故选：B.例题 2.如图所示，凸四边形 ABCD 中，/ A=90° , / C=90° , / D = 60° , AD=3, AB=2,若点M、N分别为边CD, AD上的动点，求

14、4【解答】解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点 连接B'B”交DC和AD于点M和点N, DB,连接MB、 再DC和AD上分别取一动点 M'和N'（不同于点 M和 连接 M'B, M'B', N'B和N'B”,如图1所示: B'B"V M'B'+M'N'+N'B”,B'M'=BM', B”N'=BN', BM'+M'N'+BN'>B'B",又. B'B''

15、;= B'M + MN + NB'',MB= MB', NB=NB"，NB+NM+BM V BM'+M'N'+BN', Cabmn = NB+NM + BM 时周长最小；连接DB,过点B'作B'HDB"于B''D的延长线于点 H, 如图示2所示： .在 RtA ABD 中，AD = 3, AB = V3, / 2=30° , / 5=30° , DB =DB"，又. / ADC =Z 1 + /2 = 60° ,7=30° , D

16、B'=DB,B'DB''=Z 1 + Z 2+Z5+Z 7= 120° ,DB'= DB''= DB = 2-/3,又. / B'DB”+/6= 180° ,/ 6= 60 , -hd=/3, HB'=3,在RtB'HB”中,由勾股定理得：B/ B" 2十疝"产=327吗=6 Cabmn = NB+NM + BM = 6,变式练习>>>2.如图，点 P是/AOB内任意一点，且/ AOB=40° ,点M和点N分别是射线 OA和射 线OB上的动点，当

17、PMN周长取最小值时，则/ MPN的度数为（）【解答】解：分别作点 P关于OA、OB的对称点Pi、P2, 连接P1P2,交OA于M,交OB于N,则OPi = OP=OP2, /OP1M = /MPO, /NPO = /NP2O, 根据轴对称的性质，可得 MP=P1M, PN = P2N,则 PMN的周长的最小值=P1P2,POP2=2/AOB=80° , 等腰 OP1P2 中,/ OP1P2+/ OP2P1= 100° , ./ MPN = Z OPM + /OPN = / OP1M+Z OP2N= 100° , 故选：B.例题3.如图，在 ABC中，ZC=90&

18、#176; , CB=CA=4, / A的平分线交 BC于点D,若点P、25Q分别是AC和AD上的动点，则 CQ+PQ的最小值是 2d三.【解答】解：如图，作点 P关于直线AD的对称点P',连接CP'交AD于点Q,则CQ+PQ=CQ+P' Q=CP'.根据对称的性质知 APQA AP' Q, ./ FAQ=Z P' AQ.又 AD是/ A的平分线，点 P在AC边上，点 Q在直线AD上， ./ FAQ=Z BAQ, . P' AQ = Z BAQ, ,点 P'在边 AB 上. 当CP' LAB时，线段CP'最短.在4

19、ABC 中，/C=90° , CB=CA=4,AB'JCB2+CA2= ，且当点P是斜边AB的中点时，CP'，AB，此时CP'= _|AB=2也，即CQ+PQ的最小值是 2/2.故填:变式练习>>>3.如图，已知等边 ABC的面积为4亚1P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）#A. 3B. 2/3C.D. 4【解答】解：如图，作 ABC关于AC对称白必 ACD,点E与点Q关于AC对称，连接ER,则 QR=ER,当点E, R, P在同一直线上，且 PELAB时，PR+QR的最小值是 PE的长,设等边 ABC的边长

20、为x,则高为x,2 等边 ABC的面积为4, xX -x= 4V2,解得 x=4,等边 ABC的高为X3x=2J与，2即PE = 2、底，故选：B.例题 4.如图，/ MON=30° , A在OM上，OA=2, D在ON上，OD = 4, C是OM上任意一点，B是ON上任意一点,则折线 ABCD的最短长度为 2/S29(1)求折线OPQB的长的最小值;(2)当折线OPQB的长最小时，试确定 Q的位置.【解答】解：作D关于OM的对称点D',作A作关于ON的对称点A',连接A' D'与OM, ON 的交点就是C, B二点.止匕时AB+BC+CD = A&#

21、39; B+BC+CD' = A D'为最短距离. 连接 DD' , AA' , OA' , OD'.OA=OA' , / AOA' = 60° ,OAA' =/ OA' A = 60° , .ODD'是等边三角形. 同理 OAA'也是等边三角形.OD' = OD = 4, OA' = OA= 2, /D' OA' =90° .：a D = Jq2 0 "=2诉， 变式练习>>>4.如图，在长方形 ABCD中，

22、O为对角线 AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任 意一点，已知： AC = 2, BC=1.【解答】解：(1)作点B关于AC的对称点B',作点。关于AB的对称点O',连接 AB' , QB' , AO' , PO' , B' O',则 QB= QB 折线 OPQB 的长=OP + PQ + QB=O' P+PQ+QB',折线OPQB的长的最小值=B' O'. .在长方形 ABCD 中，/ ABC =90° ,在 ABC 中，AC=2, BC=1, /ABC=90° , .

23、/ BAC=30° , 点B、B'关于AC对称，点O、O'关于AB对称， ./B' AC= 30° , AB' = AB= V3,/O' AB=30° , AO' = AO=1, . B' AO' = 90° ,B' O, + 折线OPQB的长的最小值=2;(2)设B' O'交AC于点Q', .在 RtAO' B'中，AO' =1, B' O' =2, ./AB' O' =30°，则/ AO&#

24、39; B' =60° , 在AO' Q'中，/ Q' AO' =/Q' AB+/BAO' =60° , .AO' Q'是等边三角形， . AQ' = AO' = 1 = AO, 点Q'就是AC的中点O. 当折线OPQB的长最小时，点 Q在AC的中点.P、Q为BC上两个动例题5.如图，矩形 ABCD中，AB=4, BC=8, E为CD的中点，点点，且PQ=3,当CQ= 立 时，四边形 APQE的周长最小.一厂【解答】解：点A向右平移3个单位到M,点E关于BC的对称点F,连接MF,

25、交BC 于Q,此时MQ + EQ最小，. PQ=3, DE = CE=2, AE= J谟十/=2/17,，要使四边形 APQE的周长最小，只要 AP+EQ最小就行， 即 AP+EQ= MQ + EQ,过 M 作 MN，BC 于 N , 设 CQ = x,贝U NQ = 8_3_x=5- x,MM NO MNQsFCQ,=-,CF CQMN = AB = 4, CF = CE=2, CQ = x, QN = 5-x, 解得：x="",则 CQ = -故答案为：上.变式练习>>>5.如图，已知 A (3, 1)与B (1, 0), PQ是直线y=x上的一条动线

26、段且 PQ=£j (Q在P的下方)，当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为()【解答】解：作点C. (0, 0)D. (1, 1)B关于直线y = x的对称点B' (0, 1),过点A作直线MN,使得MN平行于直线y= x,并沿MN向下平移人用单位后得连接A'B'交直线y=x于点Q,如图理由如下：: AA'=PQ = V2, AA'/PQ，四边形APQA'是平行四边形 . AP= A'Q. AP+PQ+QB =B'Q+A'Q+PQ 且 PQ=V2.当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小根据

27、两点之间线段最短，即A', Q, B'三点共线时 B' (0, 1), A' (2, 0)直线A'B'的解析式y=-A侏0)Q点坐标(即x= 3例题6.如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点(不与 B、C两点重合)，过点B 作BGLAE于点G,连接FG、DF ,若AB=2,求DF+GF的最小值为.【解答】解：取AB的中点。，点O、G关于BC的对称点分别为 O'、G',.G 与 G关于 BC 对称，FG = FG',FG + DF =FG'+DF ,，当G (也就是G')固定时，取 DG与BC的交点F

28、,此时能够使得 FG+FD最小,且此时FG + DF的最小值是 DG',现在再移动点E (也就是移动G),BG± AE, .AGB = 90° ,当点E在BC上运动时，点 G随着运动的轨迹是以 。为圆心，OA为半径的90°的圆弧T,点G'随着运动的轨迹是以 。'为圆心，O'B为半径的90°的圆弧乔J,当取DO与玩厂交点为G'时，能够使得 DG'达到最小值，且DG'的最小值=DO'-06'= 业如”-1 =0-1, 即DF+GF的最小值为 V13- 1 .故选：A.变式练习>&g

29、t;>6.如图，平面直角坐标系中， 分别以点A (2, 3)、点B (3, 4)为圆心，1、3为半径作OA、 OB, M, N分别是。A、OB上的动点，P为x轴上的动点，则PM + PN的最小值为()#A. 5V2- 4B. V17- 1C. 6-2/2D. V!?【解答】解：作OA关于x轴的对称OA，,连接BA'分别交OA，和。B于M、N,交 x轴于P,如图， 则此时PM + PN最小， 点 A 坐标(2, 3), 点 A'坐标(2, - 3),;点 B (3, 4), -A，B=J(2_3j2m_4)2=5K， .MN = A，B- BN-A，M = 5匹 - 3T

30、= 5J+- 4, PM +PN的最小值为50 -4.故选：A.例题7.如图，AD为等边 ABC的高，E、F分别为线段 AD、AC上的动点，且 AE= OF,A . 112.5°B, 105°C. 90°D, 82.5°【解答】解：如图，作 CHBC,且CH = BC,连接BH交AD于M,连接FH ,ABC是等边三角形， ADXBC, .AC=BC, /DAC = 30° ,AC= CH, . / BCH= 90° , / ACB = 60° , ./ ACH= 90° - 60° =30° ,

31、 ./ DAC = Z ACH = 30° , AE=CF,AECA CFH , .CE=FH, BF+CE=BF+FH,当F为AC与BH的交点时，如图 此时/ FBC=45° , / FCB = 60° , 故选：B.变式练习>>>7.如图，等边 ABC中，AD为BC边上的高，点 M、N分别在 AD、AC上，且AM = CN, 连 BM、BN ,当 BM+BN 最小时，/ MBN =30 度.图】【解答】解：如图1中，作CHXBC,使得CH=BC,连接NH, BH .ABC是等边三角形， ADXBC, CH± BC,产 .Z DAC

32、= Z DAB =30° , AD / CH ,/ HCN = / CAD = / BAM = 30° , AM =CN, AB=BC=CH, ABMA CHN (SAS),BM =HN, BN+HN >BH , .B, N, H共线时，BM + BN= NH+BN的值最小，如图2中，当B, N, H共线时， .ABMACHN, ./ABM = / CHB = /CBH =45° , . / ABD = 60 ° , ./ DBM = 15° , .Z MBN = 45° - 15° = 30° , 当BM

33、+ BN的值最小时，/ MBN = 30° , 故答案为30.例题8. (1)如图，RtABC中，Z 0 = 90° , AC=3, BC= 4,点D是AB边上任意一点，则0D的最小值为史 .一旦一(2)如图，矩形AB0D中，AB=3, BC = 4,点M、点N分别在BD、BC上，求0M + MN 的最小值.(3)如图，矩形 ABCD中，AB=3, BC = 4,点E是AB边上一点，且 AE = 2,点F是 BC边上的任意一点，把 BEF沿EF翻折，点B的对应点为 G,连接AG、CG,四边形AGCD 的面积是否存在最小值， 若存在，求这个最小值及此时 BF的长度.若不存在，

34、请说明理由.图GE I 京一广 图【解答】解：(1)如图，过点C作CD LAB于D, 此时CD最小，在RtABC中，AC =3, BC= 4,根据勾股定理得，ACX BC = ABX CDAC X BC 12AB故答案为孕；5(2)如图，作出点C关于BD的对称点过点E作ENXBC于N,交BD于M,连接根据点到直线的距离垂线段最小,E,CM ,此时CM + MN=EN最小;四边形ABCD是矩形，./BCD=90° , CD = AB=3,根据勾股定理得， BD = 5. CEXBC, .一BDXCFBCXCD,BE,由对称得,24CE=2CF =5在 RtBCF 中，cosZBCF=

35、BC .sin/ B0F =EDB在 RtCEN 中，EN = CEsin/ BCE=.ixl x =；55 25即：CM + MN的最小值为生；国(3)如图3, 四边形ABCD是矩形，.-.CD = AB=3, AD=BC=4, /ABC = /D=90° ,根据勾股定理得，AC =5, AB=3, AE = 2,点F在BC上的任何位置时，点 G始终在AC的下方, 设点G到AC的距离为h,S 四边形 AGCD= SaACD+SaACG =Aad X CD+=AC X h=A x 4X 3仁 X 5x h=±Lh+6, 22222，要四边形 AGCD的面积最小，即：h最小,

36、点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形EGLAC 时，h 最小，由折叠知/ EGF = Z ABC =90° ,延长EG交AC于H,则EHXAC,在 RtAABC 中，sin Z BAC =BC在 RtAEH 中，AE=2, sin/BAC =EH 4ABCD内部的一部分点,15 图 3 rAEEH =3E 6 WS 四边形 agcd 最小=-h+6 =:-X +6 =15Th = EH - EG = - 1 =-2过点F作FM，AC于M , EH± FG, EHXAC, ，四边形FGHM是矩形，FM =GH = 5 / FCM = / ACB, / CMF = C

37、BA= 90CMFACBA,3|.二月LAC AB.CF= 1BF =BC-CF = 41 = 3.达标检测悟提升强化落实1.如图，矩形 ABCD中，AB=5, AD=10,点E, F, G, H分别在矩形各边上，点 F, H 为不动点，点E, G为动点，若要使得 AF = CH, BE = DG,则四边形EFGH周长的最小 值为（）周长取最小值，过点 H作HH ' XAD于点H ' ,. AF=CH, DF = DF' ,.H F' = AD= 10,叵 HH ' = AB=5,F H=J之用'=5鹏,E二. C 四边形 EFGH = 2F &

38、#39; H = 105. 故选：D.2.如图，平面直角坐标系中，分别以点A （- 2,OA> OB, M、N分别是。A、OB上的动点， 等于 J泊-3 .,如图所示.H C3）, B （3, 4）为圆心，以1、2为半径作 P为x轴上的动点，则 PM + PN的最小值A. 5a/5B. 10行C. 15代D. 1诉【解答】解：作点F关于CD的对称点F',连接F' H交CD于点G,此时四边形EFGH【解答】解：作OA关于x轴的对称OA，,连接B/ x轴于P,如图，则此时PM + PN最小，点 A 坐标（2, 3）,，点 A'坐标（-2, - 3）,32A分别交QA&

39、#39;和。B于M、N,交19 P F:;点 B (3, 4),A' b=J(>2 )(4+3)2=用，.MN = A' B- BN-A M=/74-2- 1=74- 3, .PM+PN 的最/、值为 5/74-3.故答案为V74-3.313.如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，OC的圆心坐标为（2, 0）,半径为2,若D是。C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则4ABE面积的最小值和最大值分别是8-27工和8+2点过A作。C的两条切线，如图，当在D点时，BE最小，即 ABE面积最小；当在D'点时，BE最大，即 ABE面积最大;x轴，y轴,O

40、C为半径,EE'是OC切线，AD'是。C切线，.OE' = E' D',设 E' O = E' D' =x,-，AC=4+2=6, CD' =2, AD'是切线,./AD' C=90° ,由勾股定理得:AD ' .sin/CADD C OE，AC - AE7=1,6 4/*戈解得：x=. .BE，= 4+/2, BE=4-/2,X 4=8- 2/2,. ABE 的最/、值是-X (4-VS)最大值是：.lx（ 4+/2）X 4=8+272, 故答案为：8 - 26和8+2。叵.4.正方形A

41、BCD, AB=4, E是CD中点，BF=3CF,点M, N为线段BD上的动点，MN=血，求四边形EMNF周长的最小值yni+v+/【解答】解：作点E关于BD的对称点G,则点G在AD上，连接GM,过G作BD的平行线，截取 GH = MN=>/2,连接HN ,则四边形 GHNM是平 行四边形，HN = GM= EM,过 H 作 PQXBC,交 AD 于 P,交 BC 于 Q,则/ HPG = / HQF =90° , PQ=AB = 4,. / PGH = / ADB = 45HP= PG =HG.二由轴对称的性质，可得HQ = 4 - 1 = 3,DG= ED = 2,AP=

42、4 _ 2 _ 1 = 1,BQ= 1 ,又 BF = 3CF, BC = 4,CF = 1, QF = 4- 1- 1 = 2,当点H、N、F在同一直线上时， HN + NF=HF （最短），此时ME + NF 最短）RtAHQF 中，FH +即ME+NF最短为V13,又 RtA CEF中，EF =正那时尸* =寸2 2十2,me+nf+mn+ef=13+-/2+-/5,四边形EMNF周长的最小值为V13+-/2+-T5.故答案为：V13+V2+V5.5.如图，已知点 D, E分别是等边三角形 ABC中BC, AB边的中点，BC=6,点F是AD 边上的动点，则 BF+EF的最小值为 5 .【

43、解答】解：过C作CELAB于E,交AD于F,连接BF,则BF+EF最小（根据两点之 间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF, 等边 ABC 中，BD = CD,月 ADXBC, .AD是BC的垂直平分线（三线合一）， . C和B关于直线AD对称， .CF=BF,即 BF + EF=CF+EF = CE,_三、AD± BC, CEXAB,rZADB=ZCEB .Z ADB = Z CEB = 90°，在 ADB 和 CEB 中，/ABD=/CBE , ADBA CEB :AB=CB（AAS）,.CE= AD, . BC=6,BD = 3

44、, AD= 3/3,即 BF+EF=3次.故答案为：373 -6 .如图，在边长为1正方形 ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA上的点，3AE = EB,有一只蚂蚁从 E点出发，经过F、G、H,最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是：；【解答】 解：延长DC至ij D',使CD = CD', G对应位置为 G',则FG=FG', 同样作 D'ACD', D'A'=DA, H对应的位置为 H',则G'H'=GH, 再作 A'B'XD'A', E的对应位置为 E

45、',#4E 8犬则 H'E'=HE.容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小, 最小路程为EE'=y,n铝1 2十(2EC) 2 = y 4+4 = 21L巳F是线段AC的三等分点，点 P是线AC= 3,则四边形EPQF周长的最小值7 .如图，在 ABC 中，ACXBC, / B=30°，点 段BC上的动点，点 Q是线段AC上的动点，若QB是 8【解答】解：过E点作E点关于BC的对称点E' .在 ABC 中，ACXBC, /B = 30° , AC=3 AB=6, 点 巳F是线段AC的三等分点

46、， .EF=2, E' F' = AB = 6,，四边形EPQF周长的最小值是 6+2 = 8.故答案为：8.,过F点作F点关于AC的对称点F',8.如图，长为1的线段AB在x轴上移动C(0,1)、D(0,2),则AC+BD的最小值是-【解答】解：如图所示，以 AB, BD为边构造平行四边形 ABDE,作点C关于x轴的对 称点F,连接AF,则DE，y轴，OF=OC=1,四边形ABDE是平行四边形， ，BD=AE, DE=AB=1, .AB垂直平分线 CF, .AC= AF, . AC+BD = AE+AF, 如图，当点E, A, F在同一直线上时， AE+AF = EF

47、 （最短）， 此时， RtDEF 中，DE = 1, DF = 2+1=3,EF = ,d/+Df2=J户行, .AC+BD的最小值是 故答案为：Vni.若 E、F为边AB上的两的长为毕 .-3 9.在矩形ABCD中，AB=8, BC=10, G为AD边的中点.如图, 个动点，且EF = 4,当四边形CGEF的周长最小时，则求 AF然后连接HM交AB于E,接D H C【解答】解：: E为AB上的一个动点， .如图，作G关于AB的对称点M,在CD上截取CH = 4, 着在EB上截取EF = 4,那么E、F两点即可满足使四边形 CGEF的周长最小. .在矩形 ABCD中，AB=8, BC = 10

48、, G为边AD的中点，,-.AG= AM=5, MD = 15,而 CH=4,DH =4,而 AE / CD,AEMA DHM , .AE: HD = MA: MD,，ae=BDA = 4X5 = 4MD 153 . AF = 4+A= JJ1.3 3故答案为：岂旦.310.如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8, 0）,点A 的坐标为（0, 6）,点E、F分别足OC、BC的中点，点M, N分别是线段 OA、AB上的 动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点 N的坐标为 （4, 6）.【解答】解：如图所示：作点 F关于AB的对称点F',作

49、点E关于y轴的对称点E', 连接E' F'交AB与点N.C的坐标为（8, 0）,点A的坐标为（0, 6）,点E、F分别足OC、BC的中点，.OE=OE' =4, FB = CF=3,E' C= 12, CF' =9.1. AB/ CE',. F' NBA F' E' C.BN12解得 BN = 4,3AN= 4.N (4, 6).故答案为：(4, 6).11.如图，在正方形 ABCD中，AB = 8, AC与BD交于点O, N是AO的中点，点 M在BC 边上，且 BM=6. P为对角线 BD上一点，则 PM-PN的

50、最大值为 2 .【解答】解：如图所示，作以 BD为对称轴作 根据轴对称性质可知，PN=PN',PM PN = PM PNY MN',N的对称点 N',连接PN', MN',1211当P, M, N'三点共线时，取“= .正方形边长为8, .ac=«ab=M， . O为AC中点，ao= oc= 42?. N为OA中点， ON=|2V2,.ON'=CN'= 22, -AN'=皿, BM =6,.CM = AB-BM = 8-6=2,=二 B 见 ANJ 3PM /AB/CD, / CMN'=90 / N'CM = 45° , . N'CM为等腰直角三角形，.-.CM = MN'=2,即PM-PN的最大值为2, 故答案为：2.如图，两点 A、B在直线MN外的同