专题07极化恒等式问题

1、专题07极化恒等式问题极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱1221 .极化恒等式：a b - (a b ) (a b )2 极化恒等式三角形模型：在ABC中，D为BC的中点，则AB AC | AD |2 1| BC |243极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形 ABCD中，AB AD 1 (| AD 2| BD |2 )4类型一利用极化恒等式求值1,则典例1.如图在三角形ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，BA CA 4, BF CFBE CE值为.【答案】【解析】22设 DC a, DF b, BA CA | AD |2 |

2、 BD 2 9b a 422BF CF | FD r | BD j b a 125213解得b _, a 88227BE CE | ED |2| BD 24b a 8类型二利用极化恒等式求最值或范围典例2在三角形ABC中，D为AB中点,C 90, AC 4, BC 3,E,F 分别为 BC,AC 上的动点，且 EF=1,则DE DF最小值为15【解析】1设EF的中点为M,连接CM则| CM | 即点M在如图所示的圆弧上,则 DE DF | DM |2 | EM |2 | DM |2三| CD | 12 1 15 4244类型三利用极化恒等式求参数一一 ，一1典例3设三角形 ABC, P0是边A

3、B上的一定点，满足 P oB= _ AB,且对于边AB上任一点P ,恒有4PB PC P0B P0c ,则三角形ABC形状为.【答案】C为顶角的等腰三角形.【解析】取BC的中点D,连接PD,Po D.PB PC P0 B P0C| PD |2 11 BC |2 Pjb1| BC |244| PD | P0 DP0D AB ,设O为BC的中点，OC AB AC BC即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形精选名校模掀PC)的最小值是1已知 ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA (PB【答案】32【解析】一一 22| PM |设BC的中点为O, OC的中点为 M,连接OP,PM

4、,PA (PB PC) 2PO PA 2| PM |2当且仅当M与P重合时取等号2 直线 ax by c 0 与圆 0 : x2 y216相交于两点M,N,若c2 a2 b2,P为圆O上任意一点，则PM PN的取值范围为【答案】6,10【解析】圆心O到直线ax by c 0的距离为d1c |1,a2 b2设MN的中点为A ,PM PN | PA |2 | MA |2 | PA |2 15| OP | | OA | | PA | | OP | | OA |3 | PA | 5, PM PN | PA |2 15 6, 103 如图，已知B,D是直角C两边上的动点,AD BD,| AD |3_1B

5、AD 6 , CM 2 (CACB)1CN -(CD CA)，则CM CN的最大值为1【答案】-(.13 4)4设MN的中点为G, BD的中点为H, CM CN | CG | MN |2 | CG |16|CG I I CH |I HG I13CM4CN2131 .134 (4)所以CM CN的最大值为( .13 4)4如图在同一平面内，点A位于两平行直线m,n的同侧，且A到m,n的距离分别为1 , 3,点B,C分别在m,n444上，且| AB AC | 5，则AB AC的最大值为 214【解析】连接BC,取BC的中点D,则AB AC AD2 BD2 ,又 AD 11 AB AC | - 22

6、52522512故 AB AC _ BD _ _ BC又因为BCm.3 1 221所以（AB AC）max5在半彳至为1的扇形AOB 中，AOB60 ,C为弧上的动点,AB与OC交于点P,则OP BP的最小值为取OB的中点D,连接PD,则OP BPPDODPDCD 110于是只要求求PD的最小值即可,由图可知，当 PD AB时，PD min即所求最小值为 146已知线段AB的长为2,动点C满足CA CB1 ，一为常数），且点C总不在以点B为圆心，为半径的2圆内，则负数的最大值为【解析】如图取AB的中点为D,连接CD,则CA CB CD2 1，、，-一 ，一 1又由点C总不在以点B为圆心，为半径

7、的圆内,21 3故j，则负数的最大值为3247已知A(0,1),曲线C : y log4x横过点B,若P是曲线C上的动点，且AB AP的最小值为2,则 【解析】如图，B(1,0),则ABJ2,连接BP,取BP的中点C,连接AC,因为AB AP的最小值为2,则有 AC 2 BC 22 2 AB2max上式等价于 AB2 BC 2 AC 2 ,即 ABP 90当且仅当P与B重合时取等号，此时曲线 C在B处的切线斜率等于1 ,即 1 , a elnJ JA X* 林J11/8若平面向量a, b满足| 2a b | 3，则a b的最小值为 【答案】98【解析】-2-2-22(2a b) (2a b)

8、| 2a b 卜 | 2a b 卜 039a b _8888当且仅当 | 2a b | 0,| 2a b | 3,即1 |3，| b| 3时b取最小值9在正方形ABC邛，AB=1, A,D分别在x,y轴的非负半轴上滑动,OC OB的最大值为【解析】如图取BC的中点E,取AD的中点F,2 24OC OB (OC OB)2 (OCOB)2 (2OE)2 (2BE)2 4OE【答案】5 2J52 1所以 OC OB OE 4113而 | OE | | OF | | FE | | AD | | FE | - 1 ,222当且仅当OF AD, OA OD时取等号，所以OC OB的最大值为0已知正方形ABCD的边长为2 ,点E为AB的中点，以A为圆心,AE为半径作弧交AD于F,若P为劣弧EF上的动点，则PC PD的最小值为 如图取CD的中点M.424PC PD (PC PD)2 (PC PD)2 (2PM )2 (2DM )2 4PM12所以PC PD PM而| PM | 1 | PM | | AP | | AE | J5,当且仅当P,Q重合时等号成立所以PC PD的最小值为(J5 1)2 1 5 2娓MN的长1,正方体ABCD-AiBiG D的棱长为2 , MN是它的内切球的一条弦，P为正方体表面上的动点, 度最大时，求PM