弹性力学第七 主应力

1、第七章空间问题的基本理论northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程第七章第七章 空间问题的基本理论空间问题的基本理论概述7-1 平衡微分方程7-2 物体内一点的应力状态7-3 主应力 最大与最小主应力7-4 几何方程与物理方程7-5 轴对称问题的基本方程northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程概述概述 弹性力

2、学基本方程建立了弹性力学问题的数学模型，为求解弹性力学奠定了基础。虽然这些方程的直接求解十分困难，只有小部分可以得到分析解，这些解已经有了广泛的应用，更为重要的是这些方程的建立为有限元、边界元等数值计算提供了基础。 弹性力学基本方程的求解一般是在一定条件下，对问题进行简化，化简方程再进行求解，简化后一般可分为平面问题，轴对称问题、球对称问题。northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程 空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空空间球对

3、称问题间球对称问题和空间轴对称问题空间轴对称问题。一、球对称问题， 0rur ，0ijij0uur，r， 当弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。球对称问题概述概述在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的函数。northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程概述概述 如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷

4、都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。 在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 、z z的函数，与无关 。轴对称问题二、轴对称问题二、轴对称问题0z,uuz，,zz，0zz，,zzuuz，0u，,zz，northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程7 71 1 平衡微分方程平衡微分方程northeastern universitynorthe

5、astern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程7 71 1 平衡微分方程平衡微分方程bx000yxxzxxyyzybyyzxzzbzfxyzfxyzfxyz图71由受力平衡000 xyzfff，平衡微分方程northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程7 71 1 平衡微分方程平衡微分方程由力矩平衡0m 切应力互等00yxxxxyyyfxyfxybx000yxxzxxyyzy

6、byyzxzzbzfxyzfxyzfxyz二维三维northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程7-2 物体内一点的应力状态northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程72 物体内一点的应力状态方向余弦：cos()cos()cos()nxlnymnzn，xyxzxxxyyzyyxyyzzzlmnplmnplmnp（7

7、-2）受力平衡，得到全应力分量斜面上的正应力和切应力222222nxyznxyzyzzxxylpmpnplmnmnnllm（7-3）22222222222nnxyznxyznppppppp（7-4）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程方向余弦：cos()cos()cos()nxlnymnzn，72 物体内一点的应力状态如果abc是边界面， 成为面力分量,xyzp pp,xyzfff空间问题的应力边界条件xyxzxxsxyyzyysxzyzzzsl

8、mnflmnflmnf（7-5）（在 上）snortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程7-3 主应力，最大与最小应力northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程,xyzplpmpnxyxzxxyyzyxyyzzlmnllmnmlmnn0 xyxzxxyyzyxzyzz设主应力与全应力分量的关系：73 主应力最大与

9、最小应力xxzxyyyxyzzzyzxxyzoabcpn代入（7-2）式：整理000 xyxzxxyyzyxyyzzlmnlmnlmn2221lmn由于所以， 不全为零,l m nnortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程73 主应力最大与最小应力3222222220 xyzyzzxxyyzzxxyxyzxyzyzxzxyyzzxxy （7-6）（7 76 6）即为求主应力公式）即为求主应力公式设是方程（7-6）的三个根，则：123,123032123

10、2331121230 与（7-6）式比较，则：上式为应力状态的三个不变量应力状态的三个不变量123222223311222231232xyzyzzxxyyzzxxyxyzxyzyzxzxyyzzxxy （77）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程当求得主应力以后，利用下式求主方向()0()0()0 xyxzxxyyzyxyyzzlmnlmnlmn为了求1相应的方向余弦，111,lmn利用上式的任意二式11111111()0()0 xyxzxxyy

11、zylmnlmn将二式除以1l1111111111()0()0 xyxzxxyyzymnllmnll（c）73 主应力最大与最小应力northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程1111111111()0()0 xyxzxxyyzymnllmnll可以求得1111,mnll的比值，再利用2221lmn求出：122111111lmnll同样也可以求出其他主应力的方向余弦。73 主应力最大与最小应力northeastern universitynortheas

12、tern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程7-4 7-4 几何方程及物理方程几何方程及物理方程northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程（78）xyzuvwxyz，111,222yzzxxywvuwvuyzzxxyijjiijxuxu217 74 4 几何方程几何方程及物理方程及物理方程空间问题的几何方程或写称这种形式空间问题的位移边界条件 ,sssuuvvww（79）n

13、ortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程7 74 4 几何方程及几何方程及物理方程物理方程物理方程物理方程1,1,1,111,xxyzyyzxzzxyyzyzzxzxxyxyeeeggg （712）其中：2 1egnortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程7 74 4 几何方程及物理方程几何方程及物理方程体积应

14、变体积应变：单位体积的体积改变对于一个平行六面体微元1111xyzxyzxyzxyyzzxxyzdxdxdydydzdzdxdydzdxdydz 略去高阶小量xyz体积应变uvwxyz用位移表示的体积应变northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程7 74 4 几何方程及物理方程几何方程及物理方程体积应力把物理方程（712）的前三项相加1 2xyzxyze令xyz 体积应力体积应力1 2e（713）其中 称为体积模量1 2enortheastern un

15、iversitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程7 74 4 几何方程及物理方程几何方程及物理方程物理方程的另外一种表达形式xyze其中：2 1eg,112,112,112xxyzyzyyzxzxzzxyxyeegeegeeg,yzyzzxzxxyxyggg（714）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程7 74 4 几何方程及物理方程几何方

16、程及物理方程小结：小结： 对于空间问题，们有对于空间问题，们有15个未知函数：个未知函数：6个应力分量，个应力分量，6个应个应变分量变分量3个位移分量。个位移分量。15个未知函数在弹性体区域内应该满足个未知函数在弹性体区域内应该满足15个独立的基本方程：个独立的基本方程：3个平衡微分方程，个平衡微分方程，6个几何方程，个几何方程，6个个物理方程，此外还要满足位移边界条件和应力边界条件物理方程，此外还要满足位移边界条件和应力边界条件。northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简

17、明教程弹性力学简明教程7 75 5 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程75 轴对称问题的基本方程轴对称问题：轴对称问题： 在空间问题中，如果弹性体的在空间问题中，如果弹性体的几何形状几何形状、约束情况约束情况，以及所受的，以及所受的外外力力作用，都是作用，都是对称于某一轴对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的所有的应力应力、变形变形和和位移位移也就对

18、称于这一轴。轴对称问题的弹性体的形也就对称于这一轴。轴对称问题的弹性体的形状一般为是状一般为是圆柱圆柱或或半空间半空间。 在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的的函数，与函数，与 无关无关 。,z,0zzuuzuuzu位移分量：位移分量：,;zz0zz应力分量：应力分量：0z,;zz应变分量：应变分量：northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程75 轴对称问题的基本方程问题描述：问题

19、描述：图741 如图如图741，在圆柱（圆筒或半空间）取出一个微元，在圆柱（圆筒或半空间）取出一个微元pabc建立如图所示的坐标系（直角坐标和柱坐标）建立如图所示的坐标系（直角坐标和柱坐标）northeastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程75 轴对称问题的基本方程分析分析 面上的应力情况，如图面上的应力情况，如图742和和743所示所示z-0f由由 得得220zzzddd dzd dzd dzdzd dd dfd d dzz 图742图743northeas

20、tern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程75 轴对称问题的基本方程化简，并略去微量：化简，并略去微量：0zfz将六面体的受力投影到将六面体的受力投影到z轴上得到另外一个平衡方程轴上得到另外一个平衡方程0zzzzzzzddd dzd dzdzd dd dfd d dzz 化简，并略去微量：化简，并略去微量：0zzzzfznortheastern universitynortheastern universitynortheastern university弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程75 轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的平衡微分方程空间轴对称问题的平衡微分方程00zzzzzfzfz（715）northeastern universi