旋转模型专题

1、v1.0可编辑可修改旋转模型专题5飞等线段共点共顶点等腰三角形二、按图形分类1、等腰三角形， 2、等边三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分类1、手拉手模型 2、角含半角模型 3、对角互补模型4、与勾股定理结合5 、费马点问题例题精讲一、手拉手模型1、已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、 CBN是等边三角形.常见结论：(1) AN BM(2) CD CE(3) CF 平分 AFB(4) CDE是等边三角形.(5) Z AFM=60且保持不变2、如图，在凸四边形 ABCD 中， BCD 30 , DAB 60 , AD AB .AD求证：AC2 CD2 BC23、已知ABC，以

2、AC为边在ABC外作等腰ACD，其中AC AD。如图，若 DAC 2 ABC , AC BC ,四边形ABCD是平行四边形，则ABC 如图，若 ABC 30， ACD是等边三角形， AB 3，BC 4，求BD的长；如图，若 ACD为锐角，作AH BC于H，当BD2 4AH2 BC2时，DAC 2 ABC是否成立若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。二、角含半角模型4、已知：如图1在Rt ABC中， BAC 90 , AB AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若 DAE 45 .探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，

3、连结ED，使问题 得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变说明你的猜想并给予证明.图15、在正方形 ABCD中，点E、F分别在边BC CD上，且/ EAFK CEF=45，(1) 将厶ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到 ABG如图1，求证： AEG AEF(2) 若直线EF与AB AD的延长线分别交于点M,N,如图2，求证：EF2 ME2 NF2(3) 将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请

4、你直接写出线段EF, BE DF之间的数量关系。可编辑可修改6在等边 ABC的两边AB AC所在直线上分别有两点 M N D为ABC外一点, 且 MDN 60， BDC 120，BD CD，探究：当点 M N分别爱直线AB, AC上移动时，BM NC MN之间的数量关系及 AMN的周长与等边 ABC的周长 L的关系.如图，当点 M N在边AB AC上，且 DM=D时，BM NC MN之间的数量关 系式此时Q= 如图，当点M N在边AB AC上，且DM DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；如图，当点M N分别在边AB, CA的延长线上时，若AN=x则Q=（用x， L表示

5、）AABCDDND图（1）图（2）图（3）7v1.0可编辑可修改13三、对角互补类MN图3N7、已知： MAN , AC 平分 MAN .在图1中，若 MANDCB 90，证明：AB AD2AC .在图2中，若MAN120，DCB 60，探究 AB、AD、AC三者之间的数量关系，并给出证明；在图3中：若MAN0180 ）， DCB 180，则ABADAC（用含的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）8、如图1 ,正方形ABCD和正方形QMNP , M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB 于 F，QM 交 AD 于 E .猜想：ME与MF的数量关系如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且

6、MB，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明.如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC 1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由.B， AB: BC m，其它条件不变，求出ME:MF的值（直接写出答案）NP如图4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且四、直角三角形斜边中点9、在等腰直角 ABC中， ACB 90 , AC BC , M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQ MP交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化.10、等腰直角三角形 ABC， ABC 90 , AB 2 ,0为AC中点， EOF 45，求 BEF

7、的周长.11、已知 Rt ABC中，AC=BCZ C=90°，D为 AB边的中点，/ EDF=90°，Z EDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC CB（或延长线）于E、F.S CEF当/EDF绕D点旋转到DE丄AC于E时（如图1），易证S DEF当/EDF绕D点旋转到DE和 AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结 论是否成立 若成立，请给予证明；若不成立， S DEF Sacef Sabc又有怎样 的数量关系请写出你的猜想，不需证明.图1图2五、等线段共点12、如图所示，P是等边ABC内部一点，PC 3 , PA 4 , PB 5，求ABC的边长.S BPC =,

8、S abp = ,S APC =， S ABC =，3、P 为等边 ABC 内一点，APB 113， APC 123，求证：以 AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.14、如图，P为正方形ABCD内一点，PA= 1, PD= 2, PC= 3,将PAD绕着D点按逆时针旋转90到DCM的位置(1)求 APD的度数。(2)求正方形的边长MC可编辑可修改六、费马点问题15、阅读下列材料对于任意的ABC，若三角形内或三角形上有一点 P，若PA PB PC有最小值， 则取到最小值时，点P为该三角形的费马点。 若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费

9、马点 若三角形内角均小于120，则满足条件 APB BPC APC 120时，点P既 为费马点解决问题：如图，ABC中，三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外作等边 ABD、ACE，连接CD、BE交于点P，证明：点P为 ABC的费马点。（即证明 APB BPC APC 120 ）且PA PB PC CD如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC#若 ABC 30 , AB 3 , BC 4，直接写出PA PB PC的最小值15v1.0可编辑可修改16、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转6

10、0得到BN，连接AM、CM、EN .求证：AMB也 ENB当M点在何处时，AM CM的值最小;当M点在何处时，AM BM CM的值最小，并说明理由;当AMBMCM的最小值为,31时，求正方形的边长.1717、阅读下列材料:小华遇到这样一个问题，如图1, ABC中, Z AC昏30o，BC=6，AC=5，在 ABC内部有一点P,连接PA PB PC求PA+PBPC的最小值.图1AD图3小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分 离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线 段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了

11、翻折、旋转、平移的方法， 发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将 APC绕点C顺时针旋转60。,得到 EDC连接PD BE贝U BE的长即为所求.(1) 请你写出图2中，PA+PBfPC的最小值为;(2) 参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图3,菱形ABC中，/ AB(=60o，在菱形ABCD内部有一点P,请 在图3中画出并指明长度等于PAfPBfPC最小值的线段(保留画图痕迹， 画出一条即可)；若中菱形 ABCD的边长为4，请直接写出当 PA+PBfPC值最小时PB的长.可编辑可修改七、最值问题18、已知：PA 2 , PB 4，以AB为一边作正方形 ABCD，使P、D两

12、点落在直 线AB的两侧.如图，当 APB 45时，求AB及PD的长；当APB变化，且其它条件不变时，求 PD的最大值及相应 APB的大小.DPB19、如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG .试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论.将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 0，小于或 等于360。），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立 如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.若BC DE 2，在的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值.21八、综合应用20、已知：在 Rt ABC 中，AB BC，在 Rt ADE 中，AD DE，连结 EC，取 EC 的 中点M，连结DM和BM .若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM 的关系并给予证明； 如果将图中的 ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的 结论是否仍成立如果不成立，请举出反例；如果成立，