数列求和7种方法方法全,例子多

1、数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定 的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和

2、21、等差数列求和公式：Snn(a1 an)2na12、等比数列求和公式：Sna1(1 qn)1 qn1 ,1)3、Snkn(n4k 125、Snnk31二 n(n1)2k 12例1已知log1求X x23 Xlog2 3利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n(n na121)d(q 1)a1a.q(q1)1 q、Snnk2k 111n(n 1)(2n1)63nxx的前n项和.解：由log3 x1log 2 3log 3 xlog 32由等比数列求和公式得2Sn X X（利用常用公式）例 2设 S= 1+2+3+n, n N,求 f (n)解：由等差数列求和公式得SnSnf(

3、门)(n 32) Sn 11""64n 34 -nx(1 xn)1 x2(i丄)卍=1 -丄1 1 2n2Sn(n 32)Sn 12n（n 1），nn2 34n 6450的最大值.Sn501-(n 1)( n 2)2（利用常用公式） 8二当n ，即n= 8时，f (n)V8max150解：原式 =答案2223.2题 2.右 1 +2 + +(n-1) =an+bn+cn,贝U a=,b=,c=二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列项和，其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列 例 3求和：Sn 1 3x 5x2

4、 7x3(2n 1)xn 1解：由题可知， (2n 1)xn1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列 xn设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn2xn 1(2n1)xna n bn的前 n的通项之积(设制错位)(错位相减)一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4(2n1)xn再利用等比数列的求和公式得:n 11 x(1 x)Sn 1 2x -1 xSn(2n 1)xn 1(2n1)xn (1 x)(1 x)2解:由题可知,设Sn2Sn2 1 23 1曰 2n4224一得（1练习题1 已知答案:2n2前n项的和.1的通项是等差数列2n的通项与等比数列厶的通项之积

5、2n1)Sn2_6_236尹22Sn2歹12 n 1n 22n孑2n盯2 2T3 T42 22n2* 12 2nnn 12 2，求数列 an的前（设制错位）（错位相减）n项和S.练习题 2的前 n 项和为 答案：、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个(a1an).例5 求证： Cn03Cn15Cn2(2n 1)Cnn(n 1)2n证明： 设 SnCn03C1n5Cn2(2ni)cn .把式右边倒转过来得Sn(2n1)Cnn (2n1)Cnn 13Cn1c0 cn又由m CnnmCn可得Sn(2n1)

6、Cn0 (2n1)Cn13cnn1cnCn .反序）+得 2Sn01(2n2)(Cn0C1nCnn 1CnCnn )2(nn1) 2n（反序相加）Sn(n 1)2n22例 6求 sin 1 sin 22sin 32sin 882sin 89的值解：设 S sin 21sin 2 2sin 23sin 288sin 89 . 将式右边反序得S sin289sin 2882sin3sin 2 2sin21 . （反序）又因为 sinxcos(90x),sin 2 x2cos x 1 +得（反序相加）2S (sin21cos21 ) (sin2 2cos2 2 ) (sin289cos2 89 )

7、= 89S =题 1 已知函数1）证明：的值.=右边（2）求解：（ 1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边（ 2）利用第（ 1）小题已经证明的结论可知，两式相加得:所以练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例7求数列的前n项和:111-14, 27,7L 3n2 :>aaa解：设Sn(1 1)(14)1(27)(；13n2)aaa将其每一项拆开再重新组合得Sn(1 112h) (1473n2)（分组）aaa当a=1时，Snn(3n1)n(3n1)n（分组求和）22当

8、a 1时，Sn(3n 1)n_2(3n 1)n2例8求数列n（n+1）（2n+1）的前n项和.解：设 akk(k 1)(2k 1) 2k3 3k2 kn Snk(k 1)(2k1)k 1n=(k 12k3将其每项拆开冉重新组合得nnns= 2k3 3 k2kk 1k 1k 1=2(1323n3)3(1222n2(n 1)2 n(n1)(2n1)2223k k)（分组）n2) (1 2n)n(n 1)（分组求和）2五、裂项法求和2n(n 1) (n 2)2这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分

9、解（裂项）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n )2(2n 1)(2 n1)2n 1)(5)ann(n 1)( n 2)2 n(n 1)(nann 21n(n 1) 2n2(n1) nn(n 1)12n(7)an(8)an1n 1nn 2 (n 1)2'则 $1 (n 1)2"(An B)(An C) C B、An B An C)- .n 1. n.n n 11111111 1例9 求数列, 的前n项和.1迈忑43蘇R解：设an.n（裂项）例 10例 11解:则Sn=

10、C.2,1)在数列an中,解:an（裂项求和）(.3,2)七，又bnan2，求数列b n的前n项的和.1n 12n n 12（裂项）数列b n的前n项和Sn8(1=8(11 12)(2)=n 113)8nn 11(314)（裂项求和）111cos1cosO cos1cos1 cos 2cos88 cos89.2 .sin 1111cosO cos1cos1 cos2cos88 cos89si n1tan(n 1) tan nsn cos(n 1)111cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos891(ta n 1tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3tan 2 )s

11、in 11丄c、1cos1(tan 89tan 0 )=cot1 = . 2dsin 1sin 1sin21设S- S求证tan 89原等式成立（裂项）（裂项求和）tan 88 答案：练习题1.练习题2。答案：六、分段求和法(合并法求和)针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cosl ° + cos2 ° + cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° 的值.解：设 S= cosl ° + cos2 ° +

12、cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° cosn cos(180 n )(找特殊性质项) S=(cos1 ° + cos179 ) + ( cos2 ° + cos178 ) +( cos3 ° + cos177 ) + +( cos89 ° + cos91 °) + cos90 °(合并求和)=0例 13数列an: a1 1,a23,a3 2, an 2 an 1 an，求 S2002.解：设 S2oo2= a1 a2 a3a2002由 a11, a23,a32, an 2 an

13、1 an 可得a41, a53, a62,a71,a83,a92, a101, a113, a122,a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4 a6k 5 a6k 60找特殊性质项）a6k 11, a6k 23, a6k 32, a6k 41, a6k 53, a6k 62Soo2= aia2a3a2002合并求和）例 14=(a1a 2a3a6)(a7a8a12)(a6k 1a6k 2a6k 6)(a1993a1994a1998 )a1999a2000a 2001 a2002=ai999a 2000a2001a2002=a6k 1a 6k 2a6k 3a6k4=5在各项均为正数的等比数

14、列中，若a5a69,求 log3 a1log 3a2log 3 aio 的值.解：设 Snlog 3 a1log 3 a2log 3a10由等比数列的性质m n pqa m a na paq（找特殊性质项）和对数的运算性质logaMlogaNloga M N得Sn(log 3 a1log3 a10 ) (log 3 a2log3 a9 )(log 3 a5log 3 a6）（合并求和）= (log 3 a1 a10 )(log 3 a2 a9 )(log 3 a5a6)=log 3 9 log 3 9 呱9=10练习、求和：D .2答案： 2 .练习题 2 .若 S=1-2+3-4+ +(-1

15、) n-1 n,贝U 817+833+ S 50等于()答案:解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： S=A练习题 31002-99 2+982-97 2+F-12 的值是解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050.答案：B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的方法.例 15求 1 11 1111111 之和.n个 1解：由于111119999丄(忖1)(找通项及特征)k个 19k个 19 1 11 111111 1n个11 1=-(101 1)

16、91 2(102 1)913(103 1)9(10n 1)9(分组求和)1 1 2=-(101 10210310n)丄(1 111)99n个11 10(10n 1) n910 191n 1=(1010 9n)8(n 1)(n1)(an81解：(n 1)(an an 1)8(n1)-(n11)(n1 3) (n 2)( n 4)（找通项及特征）=8 11 （设制分组）(n 2)(n4)(n 3)(n 4)=4 (-1 1 1)8( 一）（裂项）例16已知数列an: an3?求 m(nan 1 )的值.n2n4n 3 n41(n 1)(an an 1)4(丄）1 18 ( )（分组、裂项求和）n 1 n 2n 4n 1 n 3 n 4111=4 ()8344=133提高练习：1.已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn1 4% 2（n 12川）,务1 ,设数列bn an 1 2an （n 1,2,），求证：数列bn是等比数