数值分析题库及答案

1、模拟试卷(一)、填空题(每小题3分，共30分)1有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的15-213、-210,x =-4-42 一<2 >(差商)2.设 A =，则|A3.已知y=f(x)的均差fXo，X1，X2罟，flxmx,罟，fX2,X3，小9，8fXo,X2,X3 =33,那么均差 f X4,X2, X3=4.已知n=4时Newton Cotes求积公式的系数分别是:(4)7Co, C19045，C24)15,则c34)阶方法;5.解初始值问题y f(X,y)的改进的Euler方法是ly(x。)= y。5X1 3x? O.1X3 =36.求解线性代数方程组-2x, 6

2、x2 O.7x3 =2的高斯一塞德尔迭代公式为为 +2x2 +3.5x3 =1若取 x(0)=(1,-1,1)，则 x(1)7.求方程X二f(X)根的牛顿迭代格式是!'o(x), G(X)/,h, <n(X)是以整数点Xo, Xi,|l(,Xn,为节点的Lagra nge插值基函数，则n' Xkf j (Xk)=k =09.解方程组 Ax=b的简单迭代格式x(k 1) = Bx(k) - g收敛的充要条件是10 .设f (-行 f, (=0 ) f 0 ,= ( 1f)1,则f (x)的三次牛顿插值多项式，其误差估计式为二、综合题(每题10分，共60分)1. 求一次数不超

3、过 4次的多项式p(x)满足：p(1)=15 , p(1) = 20, p(1)=30 p(2) =57 , p -72.1 12. 构造代数精度最高的形式为.°xf(x)dx ' A0f (J Af(1)的求积公式，并求出其代数精度.X k Xk 183.用Newt on法求方程xl nx=2在区间(2严)内的根,要求-_< 10 .24用最小二乘法求形如y二a bx的经验公式拟合以下数据：Xi19253038yi19.032.349.073.35.用矩阵的直接三角分解法解方程组6试用数值积分法建立求解初值问题v = f(x,y)的如下数值求解公式y(°)

4、= y。0 10 1X2312 4 3X3170 10 3X4 一1一7 一hy十 y？(fn1 4fnfn)，其中 £ = f (x，y)三、证明题(10分)设对任意的x ,函数f (x)的导数f (x)都存在且0 ： m冬( x)乞M,对于满足0-的任意，迭代格式Xk 1二Xk - f (Xk)均收敛于f (x) = 0的根x*.M参考答案、填空题1.5;2.6.(k+)x2x3“91 ；15=(3 3x2k) - 0.1x3k)/5 =(2 2x(k o O.7x3k)/6 , =(1-才 o -2x2k 1)*2 /78, 9 ;3.4堕-455.二;(0.02 , 0.22

5、, 0.1543)7.Xk f(Xk) oXk1"f?； 8.10. X3 x2-x, f ()(x 1)x(x-1)(x-2)/24(-1,2)6 6二、综合题1.差商表：11520115152071152214282573072257p(x) -15 20(x -1) 15(x-1)2 7(x -1)3 (x -1)3(x -2) =5 4x 3x2 2x3 x4其他方法:设 p(x) =15 20(x -1) - 15(x -1)2 - 7(x -1)3 - (x -1)3(ax b)令 p(2) =57 , p (2) =72，求出 a 和 b.2取f（x） =1,x，令公式

6、准确成立，得:11111A0A ,Ao A ，人 ,A .22336213f (x) = X时，公式左右；f (x) = X时，公式左4公式的代数精度=2.公式右=5243.此方程在区间（2,：）内只有一个根s，而且在区间（2, 4)内。设 f (x) = x - In x - 2则 f '(x) =1 _丄，x” 1f (x)， Newtonx2法迭代公式为Xk 1 Xkk 1 k 1 -1/xkXk -In Xk -2Xk(1 In Xk)xk 一1k =0,1,2,取 x0 =3，得 s ： x4 =3.146193221。4-pan1,x2，A：1；2 2；130238219.

7、032.349.0 73.3 .解方程组 At AC =At y，其中At A4_333033303416082解得：C =1.41665H0.0504305b =0.0501025.所以 a =0.9255577, 5解设100111”21l31J 41l32l42l43110u22u23u33u24u34U44 一由矩阵乘法可求出Uj和l ij解下三角方程组j0I1卫有 yi = 5 , y2 = 3 ,1211 01X2321X36-2一34 _1 i化ys02再解上三角方程组=1 , Xsx2得原方程组的解为x1 =1，=2， X4 = 2.X1l211011311321121I 41

8、l42l431i010 1一u22u23u241 01u33u3421-u44 一1 12j01j0102026 解 初值问题等价于如下形式y(x) = y(xnG + J f (x, y(x)dx ,xn 1取 X = Xn 1，有 y(Xn 1) = y(Xn_j)f (x, y(x)dx，xn丄利用辛卜森求积公式可得yn .1、yn4 -(fn 1 4fnfnj) 3三、证明题 证明 将 f (x) = 0 写成 x = x -并 f (x) L (x),由于 (x)二X J f (x) =1 f (x)，所以 I(x) I 叩一咒 f (x) I： 1所以迭代格式xk彳=xk -，f

9、(xk)均收敛于f (x) = 0的根x .模拟试卷(二)一、填空题(每小题 3分，共30分)1分别用2.718281和2.718282作数e的近似值，则其有效位数分别有 位和位;-1Q-21-H2 设 A =11Q,x = 3，则 IIA1=，II X23-82 一J 一2 Xi 5x2 = 13 对于方程组丿12, Jacobi迭代法的迭代矩阵是 Gj =JQxi 4x2 = 34设 f(x) =x3 +x1,则差商 f 0,1,2, 3】=, f IQ, 1, 2, 3,4 =_1 215已知A = I ,则条件数Co nd, A).LQ k一16为使两点的数值求积公式f (x)dx =

10、 f(xo) f(xj具有最高的代数精确度，则其求积基点应为 xQ=,x-1 =7 解初始值问题y =f(x,y)近似解的梯形公式是 yk 1 :ly(x。)= y&求方程f(x)=Q根的弦截法迭代公式是 9计算积分xdx ,取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是，用辛卜乜.5生公式计算的结果是1Q任一非奇异矩阵 A的条件数Cond( A) =，其Cond( A) 一定大于等于 二、综合题(每题10分，共60分)1证明方程1-x=sinx在区间0,1有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过110,近似解，问要迭代多少次？22已知常微分方程的初值问题：史半1*1.2Jdx y,(

11、1)=2试用改进的Euler方法计算y(1.2)的近似值，取步长 h=Q.2.4用最小二乘法求一个形如 y的经验公式，使它与下列数据拟合a +bxX1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1683 用矩阵的LDLT分解法解方程组lx 0.4y 0.4z =15设方程组 0.4x y 0.8z =2，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代|o.4x 0.8y z =3法的收敛性。4-1按幕法求矩阵A = -13-1-21 1-2的按模最大特征值的近似值，取初始向量x(0) =(1,0,0)丁，迭代两步求得近似值即可.三、证明题(10分)已知求.a(a

12、0)的迭代公式为：1 aXk 1 (Xk )x° 0 k = Q1,22 Xk_证明：对一切k =1,2, I, x a ,且序列Xk是单调递减的，从而迭代过程收敛参考答案、填空题1.6,7;2.9,11 ;3 .0112.52.504.1,0;5.9;6.h7.yk hf(Xk,yk) f(Xk1,yk1);8.f(xQxkxk-f(Xk) -f (Xk4)(Xk-X；9. 0.4268, 0.4309; 10.、综合题1 解 令 f (x) =1 x sin x，则 f 0 1=0 > , f (1) = sin1 v 0 ,且 f *X) T cs0c故1 _x = si

13、nx在区间0,1内仅有一个根x .1利用二分法求它的误差不超过 -10*的近似解，则|xk1_x*|空4ln10In 2解此不等式可得 k _ =13.2877所以迭代14次即可.2、解:k1f( x y)= 0.5, k2 -f (x ,yhi®0. 57 1 429,h /y0 2(k1 k)=20.(0. 50. 571429)2. 1 071429l21d11 l2117J 311l32d2d3131132利用矩阵乘法可求得解方程组d1 = 3， d2 = 2，d3=|，l21T， l3110111621 13_xj11 2X2=1X3 一51再解方程组得 *1 -10,y2

14、 = 6,1。1d2d364.34y3得 X| = 1,X2则Y = a bx容易得出正规方程组，解得 a =-2.0535, b= 3.0265.9 a _ 16.971 <9 17.8 一 §5.3902一故所求经验公式为y =-2.0535 +3.0265 x人 0.4 0.4(1) 由于 fj(财=0.4 九 0.8 =忙0.96丸 + 0.2560.4 0.8 人仃(一1)一1 0.98 0.2560 ,仃(一2) 一8 1.96 0.256 ： 0所以fj(=0在(_2, -1)内有根'i且|1，故利用雅可比迭代法不收敛.人 0.40.4(2) 由于 fG&

15、#174;) = 0.4k丸 0.8=扎仏0.832k+0.128)0.4X 0.8 九九所以：?(G) <0.832，故利用高斯赛德尔迭代法收敛.6 解 因为 x(0)二1,0,0T，故 L x(0) L：=1,且 y Ax 4, -1,1 ,= max( y )=4.从而得x二 y/L y ”1,-1,期,y(2 Ax"9,*,密,(2一 max(y(2)弓4 424 42三、证明题证明：由于 Xk1(Xk 旦) '、a, k =0,1,2,1112Xk故对一切k , Xk1 弓)-11) = 1Xk2Xk2所以Xk 1Xk，即序列 Xk是单调递减有下界，从而迭代过

16、程收敛.1.2.3.有n个节点的高斯求积公式的代数精度为4.设（xx a（x2 -5），要使迭代格式Xk 1 =护（xQ局部收敛到x* =5 , 则a的取值范围是设线性方程组 Ax = b有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的岀8x1<，就一定能保证解的相对误差;bx扰动相对误差6 .给定线性方程组9儿一 =8,则解此线性方程组的Jacobi迭代公式% 5x2 = -4,Gauss-Seidel迭代公式是7.nb插值型求积公式Ak f （xk! f （x）dx的求积系数之和是心、a数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是9.已知函数f (0.4) =0.411,

17、 f (0.5)= 0.578 , f (0.6)= 0.697,用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式 x2的系数是2 1 010.设 A = 10a ，为使A可分解为A= LLt，其中L是对角线元素为正的下三角2矩阵，则a的取值范围是二、综合题（每题10分，共60 分）1.用Newton法求方程x-I nx=2在区间（2,：）内的根，要求xk xk 斗：10弋2.设有方程组 Ac = b，其中A =_10-111一1/2 112 12 2 1,b =1/3,已知它有解x =-13卫 22 一1 1厂23 一L.0 Jxk, 如模拟试卷（三）、填空题（每小题3分，共30分）设a =2.4

18、0315是真值x =2.40194的近似值，则a有位有效位数，相对误差限若用二分法求方程 f （x） =0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对次。1 6果右端有小扰动岀10-，试估计由此引起的解的相对误差。3试用Simps on公式计算积分 彳e1/xdx的近似值，并估计截断误差4设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式P3(x)，使其满足卩3(0)=0尺(1) = 1,匕'(1) = 3巴(2) = 1,并写出误差估计式。25. A 二Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代运算。,证明其近似解为 yn二n,并证明当h

19、> 0-1 0-12-1 ，给出用古典0-12V y = 06.用梯形方法解初值问题ly(0) =1时，它收敛于原初值问题的准确解-X y 二 e 。三、证明题(10分)n若f (x)二、aixi有n个不同的实根，证明id：kXjnzV f (Xj)0,k = n1参考答案、填空题1.3,0.5 10-32.10;3.2n-1；4. -1 ；5 : a ： 0 ;内。设 f(X)二 X -In X-2乂丘十 Xk_XkInXkJA ,1-1/Xkxk T 0,1,2,；cond (A);x：k1_(8x2k)/9屮(k <i)(k), k =°,1,HI,X)=(4*)/

20、5x：k (8 x2k)/9(k d)(k 彳),k",1川x(k (4 x 1)/55b -a；8. O(h ) ；9. 2.4； 10 .- -3 - a ： 一 3、综合题5.6.7.1.此方程在区间(2,：)内只有一个根S，而且在区间(2, 4)则f '(x) =1 -丄，f "(X)1 , Newton法迭代公式为XX2取 X。- 3，得 s ® X4 = 3.146193221。3.x：:1 - 1-11. 5 Cond(A) =22.5，由公式1 - 1-X10-622.5 2'3= 1.6875 10“:e1/xdx ： ¥

21、;(e 4eT5 e1/2) =2.0263, f max f(4)(x)| = f(4)(1)1空玄二 198.43，截断误差为|R2乞舗醍f(4)(x)eCond(催，有 (A 12 36 算e1/x ,x x x x,0.068905 3274由所给条件可用插值法确定多项式Ps(x)， F3(x)二-x3 7x2 -?x2(由题意可设R(x) = f (x) - P3(x)二k(x)x(x-1) (x-2)为确定待定函数k(x)，作辅助函数：g(t)二f(t)- P(t)- k(x)t(卜2)(卜2测g(t)在0,3上存在四阶导数且在0,3上至少有5个零点t二x, t =0,1,2 (t

22、 =0为二重零点)，反复应用罗尔定理，知至1少有一个零点 (0,3)，使g(4)( J-0，从而得k(x) f)。故误差估计式为 4!1R(x) f ()x(x-1)2(x-2) ,(0,3)。4!15.首先取 i=1,j = 2,因 cot2= 0 故有 *=一，于是 co$ = si9 = 了=, 442.12 19-ITv(121-2 0IJ-2rl丄血丄血1 -2 1-.2f( x, y)-,y 得h6.梯形公式为 ynyn - f(Xn,ynb f (Xn 1,yn 1),由h% 1 二 yn 2（yn -yn .1），用上述梯形公式以步2 -h2-h、22-h、ni2-h、ni所以

23、An"（茹）八（茁）yn4H丙）（丙）长h经n步计算得到yn ,所以有hn =x ,所以2 - h)n2 h)2 -h2 h)h *1三、证明题n的实根，故证明由于 f（x）八上农有 n 个不同i 二f(X)二an(X -Xi)(X -X2)(X -Xn)anWn(X),于是nkg(x) =x，则 7i吕再由差商与导数的关系知kXji =1kXjkXjy anWn(Xj)n g(Xj)1an y Wn(Xj)Xj°,f (Xj)anan i 吕 Wn(Xj)gXi,X2,|l|,Xn， an模拟试卷(四)、填空题(每小题 3分，共30分)为了减少运算次数，应将算式2x 34

24、8(2x-3)2(2x-3)3为，为减少舍入误差的影响，应将算式,80改写为1 11-2-13设在x = g(x)的根x*附近有连续的二阶导数，且g' (x*) <1，则当时迭代过程Xk 1二g( Xk)是线性收敛的，则当 时迭代过程Xk1 =g(xQ是平方收敛的。4设A10 I则当a满足0 1 一时，有 kim Ak = °5用列主元消去法解线性方程组 Ax = b时，在第k1步消元时，在增广矩阵的第 k列取主元a,”，使得a/=。6. 已知函数 f(0)=1,f(1)=3 ,f(2)=7，则 f0,1=, f 0,1,2= , f (x)的二次牛顿插值多项式 7.

25、求解方程f(X)= 0，若f(x> 0 可以表成X二(x),则用简单迭代法求根，那么:(x)满足，近似根序列X,X2,|l(,Xn定收敛。& n V点插值型数值积分公式bf (x)dx的代数精度至少是a次，最高不超过次。9写出初值问题<y 在0,1上欧拉计算格式 )(0) =1y= f (x, y)10.解初始值问题的梯形方法是 阶方法ly(xo) = yo二、综合题(每题10分，共60分)1.证明方程X -X -1 =0在区间1，2内有唯一根x*，用牛顿迭代法求x*(精确至3位小 数)。I 论x2 x3=32 用列主元消去法解线性方程组 x13X2-2x3= 2;2x -

26、2x2x3 = 13.给定数据x=0,1,2,3,对应函数值分别为 y=1,3,2,4,求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。2 -1 0 '4 设有矩阵 A= -12-1 用“规范化”的方法求其按模最大的特征值及对应的特<0 -1 2 >征向量(注：求迭代 4次即可)'H _25 .用改进的Euler方法求初值问题 J ', (0Ex1,取步长h = 0.1)."(0)=16 给定数据 f (0.1) =5.1234, f (0.2) =5.3053, f(0.3) =5.5684，求一次最小二乘拟合 多项式。三、证明题(10分)设线性方程组为an x

27、ia12x = bi1 ,&21乂1&22乂2 = b?a11a22=0(1)(2) 证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；(3) 当同时收敛时，比较它们的收敛速度。参考答案、填空题1.u 1 ,y=(8u-4)u2)u 1,;2. 6, 6;2x -39 +V803.g' (x)=0, g' (x)=0, g'' (x)=0； 4.a <1 ；5.max a k空(k丄) ik6. 2, 1,2x x 1； 7.'(x) < L ： 1; 8. n , 2n 1 ;9.2Xn、% 1 二

28、 Yn h(yn-)yn10.y0 - 1二、综合题1.令 f(x) =x3 x1,f'(x)=3x-21 >0, f (x)在(1 2 严格单增又f(1) 一1,f(2) 5, f(x)在(1 )上有唯一根;由牛顿迭代公式XkXk取 X0=1.2，得或取x -1.0-2.51.55/45/4丿3. N3(x) =12x-3/2 x (x -1) x (x-1) (x-2) =x3 -4.5 x-5.5x 11. 2, 1. 342 1 7, 1. 32 5, 1. 3 2 417 2 2 417 ：321., 1.5, 1.34783, 1.3252, 1.32472, 1.32472,所以 X* =1.32472.广1113，z 2-211、'2-211 '13-22T13-22T04-2.51.5<2-21b< 1113丿< 020.52.5(A,b)二或 L3(x) = x3-4.5 x2-5.5x 14取Uo = (1,1,1$ ，由乘幕法得,Vi = Auo = (1,0,1)T , Ui = (1,0,1)T, V2 = AUl =(2,-2,2)t , u =(1,一1,1)丁V3 = AU2 =(3,-4【34 ， = ( 0. 75【1,人 0.375)1 4 X(0.7071,1,0.7071)