第三章 流体动力学

1、第一节第一节 流体运动的描述流体运动的描述第二节第二节 欧拉法的基本概念欧拉法的基本概念第三节第三节 连续性方程连续性方程第四节第四节* * 流体微团的运动分析流体微团的运动分析本章学习要点：本章学习要点：1.了解描述流体运动的了解描述流体运动的欧拉法欧拉法和和拉格朗日法拉格朗日法。 2.掌握掌握恒定与非恒定恒定与非恒定流动、流动、均匀与非均匀均匀与非均匀流、流、迹线迹线、流线流线、流、流管和流量及一元、二元和三元概念。管和流量及一元、二元和三元概念。 3.掌握掌握连续性方程连续性方程。 流体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时间空间流体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时间空间而变，而流

2、体又是众多质点组成的连续介质，流体的运动是而变，而流体又是众多质点组成的连续介质，流体的运动是无穷多流体运动的综合。无穷多流体运动的综合。 怎样描述整个流体的运动规律呢？怎样描述整个流体的运动规律呢？拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法 拉格朗日法拉格朗日法: : 质点系法质点系法 把流体质点作为研究对象，把流体质点作为研究对象，跟踪每一个质点跟踪每一个质点，描述其运，描述其运动过程中流动参数随时间的变化，综合流场中所有流体质点，动过程中流动参数随时间的变化，综合流场中所有流体质点，来获得整个流场流体运动的规律。来获得整个流场流体运动的规律。 ( , , , )( , , , )( , , ,

3、)( , , , ) ( , , , )( , , , )xyzx a b c tutxx a b c tdy a b c tyy a b c tudttzz a b c tz a b c tut222222( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )xxxyyyzzzu a b c tx a b c taa a b c tttua b c ty a b c taaa b c tttu a b c tz a b c taa a b c ttt 问题问题 1 每个质点运动规律不同

4、，很难跟踪足够多质点2 数学上存在难以克服的困难3 实用上，不需要知道每个质点的运动情况 因此，该方法在工程上很少采用。因此，该方法在工程上很少采用。( , , , )( , , , ) ( , , ) limited fluid points ( , , , )xx a b c tyy a b c ta b czz a b c t 又称为流场法，核心是研究运动要素分布场。又称为流场法，核心是研究运动要素分布场。即研究即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。该法是对流动参数场的研究，例如速度场、压强场、密度该法是对流动参数场

5、的研究，例如速度场、压强场、密度场、温度场等。场、温度场等。 采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为空间坐标（x，y，z）和时间t 的单值连续函数。液体质点在任意时刻液体质点在任意时刻t 通过任意空间固定点通过任意空间固定点 (x, y, z) 时时的流速为：的流速为：( , , )( , , )( , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t式中， (x, y, z, t )称为欧拉变数。( , , )( , , )( , , )pp x y z tx y z tTT x y z t 利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间 t 的函数，则d (

6、, , , )dd ( , , , )dd ( , , , )dxxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyz()duuuudtta = 写为矢量形式,ijkxyz为矢量微分算子。zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),(dd),(dd),(d 时变加速度分量（三项）时变加速度分量（三项） 位变加速度分量（九项）位变加速度分量（九

7、项）ut()uu 已知平面流动的已知平面流动的ux=3=3x m/s, m/s, uy=3=3y m/s,m/s,试确定坐标为（试确定坐标为（8 8，6 6）点上流体的加速度。）点上流体的加速度。 【解解】：由式：由式xxxxxxyzyyyyyxyzuuuuauuutxyzuuuuauuutxyz22033072/0033054/xxxxxyyyyyxyuuuauuxm stxyuuuauuym stxy 22290/xyaaam s 设在流场中某一空间点（设在流场中某一空间点（x，y，z）的流线上取微元）的流线上取微元段矢量段矢量 该点流体质点的速度矢量为该点流体质点的速度矢量为 。 ddd

8、dsxiyjzkxyzuu iu ju k 根据流线的定义，该两个矢量相切，其矢量积为根据流线的定义，该两个矢量相切，其矢量积为0。即。即 d 0d d dxyzi j kusu u u xyzdd0dd0dd0 xyyzzxuyuxuzuyuxuzddd( , , , )( , , , )( , , , )xyzxyzu x y z tu x y z tu x y z t上式即为流线的微分方程，式中时间上式即为流线的微分方程，式中时间t是个参变量。是个参变量。 有一流场，其流速分布规律为：有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky，uy= kx， uz=0，试求其流线方程。试求其流线方程。【

9、解解】由于由于 uz=0，所以是二维流动，其流线方程微分为，所以是二维流动，其流线方程微分为dd( , , , )( , , , )xyxyu x y z tu x y z t将两个分速度代入流线微分方程（上式），得到将两个分速度代入流线微分方程（上式），得到xyyxkdkddd0 x xy y22xyc积分积分即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。()0uu()0uuv流管与流线只是流场中的一个几何面和几何线，而流束不论流管与流线只是流场中的一个几何面和几何线，而流束不论大小，都是由流体组成的。大小，都是由流体组成的。v因为流管是由流线构成的，所以它具有流线

10、的一切特性，流因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交由于流线不能相交)。微小截面微小截面积（过流断面无线小）的积（过流断面无线小）的流束。流束。 如果封闭曲线取在管道内部周线上，则流束就是充如果封闭曲线取在管道内部周线上，则流束就是充满管道内部的全部流体，这种情况通常称为总流。满管道内部的全部流体，这种情况通常称为总流。 注意 单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，以以qv表示，其单位为表示，其单位为m m3 3/s/s、m m3 3/h/h等。等。体积

11、流量体积流量 qv （m3/s） 质量流量质量流量 qv （kg/s） 重量流量重量流量 qv （N/s）或（）或（kN/s） 有三种表示方法：有三种表示方法：AdAu1212dqv 从总流中任取一个微小流束，其过水断面为从总流中任取一个微小流束，其过水断面为dA ，流速为流速为u ，则通过微小流束的体积流量为则通过微小流束的体积流量为 qvvdcos( ,)dAAquAuu nA 式中：式中：dA为微元面积矢量为微元面积矢量 ， 为速度为速度u 与微元法线方向与微元法线方向n夹角的余弦。夹角的余弦。cos( , )u n 处处与流线相垂直的截面称为有效截面。处处与流线相垂直的截面称为有效截面

12、。有效断面可能是曲面，或平面。有效断面可能是曲面，或平面。u 在直管中，在直管中，流线为平行线，有效截面为平面；流线为平行线，有效截面为平面； u 在有锥度的管道中，流线收敛或发散，有效截面为曲面。在有锥度的管道中，流线收敛或发散，有效截面为曲面。 常把通过某一有效截面的流量常把通过某一有效截面的流量qv与该有效截面面与该有效截面面积积A相除，得到一个均匀分布的速度相除，得到一个均匀分布的速度v。 vvvddqAqqu AvAvqvAu(y)yqvv 平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的点都

13、以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。相同。 使流体运动得到简化（使流体运动得到简化（使三维流动变成了一维流动使三维流动变成了一维流动）。）。在实际工程中，平均流速是非常重要的。在实际工程中，平均流速是非常重要的。 不可压缩：不可压缩：人人人人人人人人人人人人人人可压缩：可压缩：人人人人人人人人人人人人人人假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为ux=3（x+y3)，uy=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。试分析该流动是否连续。【解解】 根据连续性方程的微分形式根据连续性方程的微分形式3xux4yuy2zuz09 zwyvxu该