第二章数列极限2-2 收敛数列的性质

1、一、唯一性 本节首先考察收敛数列这个新概念有哪些优良性质,然后学习怎样运用这些性质.2 收敛数列的性质 数学分析 第二章数列极限二、有界性六、极限的四则运算 五、迫敛性（夹逼原理）四、保不等式性三、保号性七、一些例子*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社定理2.2唯一性若若na收敛收敛, 则它只有一个极限则它只有一个极限.证证 设设.的的一一个个极极限限是是naa下面证明对于任何下面证明对于任何定数定数,ba若若 a，b 都是都是 an 的极限，则对于任何正数的极限，则对于任何正数 0, ,有有时，时，当当 22,NnN 有有时，时，当当 11,NnN )1(

2、;| aan.nba不不能能是是的的极极限限2 收敛数列的性质后退 前进 目录 退出唯一性有界性保号性保不等式性数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社.ba 是是任任意意的的，所所以以因因为为 当当 n N 时时 (1), (2)同时成立同时成立,max21NNN 令令从而有从而有)2(.| ban|nnabaaab)1(;| aan2 . 2 收敛数列的性质唯一性有界性保号性保不等式性数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社定理2.3有界性即存在即存在0,|,1, 2,.nMaM n使使得得证证lim,nnaa 设设|1,naa11.naaa即即若令若令12max |,|,|,|1|,|1

3、| ,nMaaaaa则对一切则对一切正整数正整数 n , 都有都有|.naM 若数列若数列，为为有有界界数数列列则则收收敛敛,nnaa注注 数列数列)1(n 是有界的是有界的, 但却不收敛但却不收敛. 这就说这就说明明有界只是数列收敛的必要条件有界只是数列收敛的必要条件, 而不是充分条件而不是充分条件.对于正数对于正数, 1 ,N nN时时，2 收敛数列的性质唯一性有界性保号性保不等式性有有数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社定理2.4保号性lim,nnaa 设设对于任意两个实数对于任意两个实数 b, c , 证证注注),0(0 aa或或若若我们可取我们可取(),22aabc或或0 (0)

4、.22nnaaaa则则或或这也是称该定理为保号性定理的原因这也是称该定理为保号性定理的原因.即即nbac,nbaaac存在存在 N, 当当 n N 时时,. cabn ,bac , 0,min acba 取取时，时，当当NnN ,2 收敛数列的性质唯一性有界性保号性保不等式性数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社例例1 证明证明.0!1limnnn证证 对任意正数对任意正数 ,(1)lim0 ,!nnn 因因为为所以由所以由 11,!nn 1.!nn 即即这就证明了这就证明了. 0!1limnnn0,NnN当当时时定理定理 2.4, ,2 收敛数列的性质唯一性有界性保号性保不等式性数学分析

5、第二章 数列极限高等教育出版社定理2.5保不等式性,nnab设设均为收敛数列均为收敛数列, 0,nnnNab当当时时 有有limlim.nnnnab 则则证证lim, lim.nnnnaabb设设,2abba 若若取取,22babaaan,22bababbn,nnab 故故导导致致矛矛盾盾. .所以所以.ab 0,NNnN由由保保号号性性定定理理 存存在在当当时时2 收敛数列的性质唯一性有界性保号性保不等式性0,N如果存在正数如果存在正数数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社是严格不等式是严格不等式.注注 若将定理若将定理 2.5 中的条件中的条件 改为改为,nnab nnba 这就是说这就

6、是说, 即使条件是严格不等式即使条件是严格不等式, 结论却不一定结论却不一定也只能得到也只能得到limlim.nnnnab 例如例如 , 虽然虽然12, nn 但但12limlim0 .nnnn2 收敛数列的性质唯一性有界性保号性保不等式性数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社定理2.6迫敛性 (夹逼原理)设数列设数列,nnab都以都以 a 为极限为极限,nc数列数列.limaccnnn 且且收敛，收敛，,121时时使得当使得当别存在别存在NnNN ;naa 2.nnNba 当时,当时,max2, 1, 0NNNN 取取. abcaaNnnnn时，时，当当这就证得：这就证得：证证 对任意正数

7、对任意正数limlim,nnxnaba ，因因为为满足满足:00,nnnNnNacb存存在在当当时时 有有则则.limacnn所以分所以分2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社例例2 求数列求数列nn的极限的极限. ,22)1()1(2 nhnnhnnnn,1121lim1lim nnn所以由迫敛性，得所以由迫敛性，得.1lim nnn.12111 nhnnn故故又因又因解解10,nnhn设则设则有有2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社定理2.7四则运算法则为为收收

8、敛敛数数列列，与与若若nnba,nnba 则则(1) limlimlim;nnnnnnnabab (2) limlimlim,nnnnnnnabab当当nb为常数为常数 c 时时,;limlimnnnnbcbc (3),0lim, 0 nnnbb若若也收敛，且也收敛，且则则 nnba.limlimlimnnnnnnnbaba 也都是收敛数列也都是收敛数列, 且有且有, nnnnbaba 2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算 一些例子数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社,nN 当当时时|, |,nnaabb有有所以所以|nnabab 由由的任意性的任意性, 得到得到 .lim

9、limlimnnnnnnnbababa 证明证明 (1)lim, lim,nnnnaabb设设0,N 存存在在2|,nnaabb 2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算一些例子数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社|nnnbaaabb 由由的任意性的任意性, 证得证得 .limlimlimnnnnnnnbababa |abababbaabbannnnnn 于是于是证明证明 (2),收敛收敛因因nb,有界有界故故nb.|Mbn 设设对于任意对于任意0,nN 当时 有当时 有|,1naaM | 1nbba ，2, 2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算一些例子数学分析

10、 第二章 数列极限高等教育出版社证明证明 (3),1nnnnbaba 因为因为由由(2), .lim11limnnnnbb , 0 b由于由于据保号性据保号性, ,11时时当当NnN | |.2nbb 又因为又因为22lim,nnbbNnN当当时时,22 bbbn 只要证明只要证明2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算一些例子数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社时，时，当当取取NnNNN ,max2111nnnbbbbb b 即即11lim.nnbb limlim.limnnnnnnnaabb 所所以以,22 bbbn 22nbbb12.|nbb ，2 收敛数列的性质迫敛性（

11、夹逼原理） 极限的四则运算一些例子数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社一些例子例例3 用四则运算法则计算用四则运算法则计算11101110lim,mmmmkknkka nana nab nbnb nb ,0.m kmka b其中中(1) 当当 m=k 时时, 有有 1lim00 ,nn 依据据分别得出分别得出:解解11101110limmmmmkknkka nana nab nbnb nb 2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算一些例子数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社mmmmmmmmnnbnbnbbnananaa111111lim01110111 .mmba(2) 当

12、当 m N 时时, 有有3,22naaa即即3.22nnnnaaa所以由极限的迫所以由极限的迫lim1.nnna 敛性敛性, 证得证得存在存在又因为又因为3limlim1,22nnnnaa2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算一些例子数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社例例6 lim(1).1nnnaaa 求求极极限限解解(1) |1 ,a lim0,nna 因因为为所以由极限四则所以由极限四则运算法则运算法则, (2)1,a 11limlim.221nnnnaa (3) |1,a lim(1)0,nna 因因故得故得lim1nnnaa 2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）

13、极限的四则运算一些例子limlim0.11limnnnnnnnaaaa得得1lim11nna 11.1lim(1)nna 数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社定义1+, N,nkan设设为为数数列列为为的的无无限限子子集集 且且12,knnn则则数数列列12,knnnaaa,.knnaa称称为为的的子子列列 简简记记为为注注,knnnaaa由由定定义义的的子子列列的的各各项项均均选选自自na且且保保持持这这些些项项在在中中的的先先后后次次序序. .,.nkkkannk项项是是中中的的第第项项 故故总总有有2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算一些例子kna中中的的第第数学分析

14、 第二章 数列极限高等教育出版社例例7 12,maaa设设为为 m 个正数个正数, 证明证明1212limmax,.nnnnmmnaaaaaa12,nnnnnmaaaam a证证12max,.maaaa 设设由由limlim,nnnmaaa以及极限的迫敛性以及极限的迫敛性, 1212limmax,.nnnnmmnaaaaaaa2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算一些例子与与得得数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社定理2.8nnaa数数列列收收敛敛的的充充要要条条件件是是的的任任意意子子列列.kna都都收收敛敛lim.0,nnaaNnN, （必必设设则则当当时时要要性性） n

15、aa . .,kkNnkN故故时时lim.knkaa 注注2.8由由定定理理可可知知, ,若若一一个个数数列列的的两两个个子子列列收收敛敛于于不不同同的的值值, ,则则此此数数列列必必发发散散. . na因因为为也也是是本本身身的的一一个个证证（子子充充分分性性）列列，所所以以2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算一些例子充充分分性性显显然然成成立立. .knnaa设设是是的的任任意意一一个个子子列列,knk因因这这就就证证明明了了.knaa 也也有有数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社例例8 limnnaa证证明明的的充充要要条条件件是是.limlim212aaannnn证证 ( (必要性必要性) )limnnaa设设，.| aan所以所以因为因为,12 ,2NnNn， |1-2aan.|2 aan212liml()im,kkkkaaa设设充充分分性性2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理） 极限的四则运算一些例子0,N nN 则则时时kN当当时时，12k-|aa | ，2k|aa |. 2,NKnN令令当当时时, ,|,naa 有有lim.nnaa 所所以以0,N 则则数学分析 第二章 数列极限高等教育出版社例例91( 1) (1).nnnaa