上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2019年高三联合高考模拟考数学试卷(文科)

1、-1 静安杨浦青浦宝山 2019 学年度联合高考模拟考试 数学试卷文科 （满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 2019.4 一、填空题（本大题共有 1414 题，满分 5656 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个 空格填对得4 4 分，否则一律得零分. 一 1 -i 0 1. 二阶行列式 的值是 （其中i为虚数单位） 1 +i 1 +i 2. 已知i, j是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量 j的模等 于 _ . _ 3二项式（x+1）7的展开式中含X3项的系数值为 _ . 4. 已知圆锥的母线长为 5,侧面积为15兀，则此圆锥的体积为 _

2、.（结果中保留冗） 5. 已知集合 A = y y=si nx,xR , B=xx=2 n+1, nZ ，贝 U AH B = （文）若 X（T,兀），则方程73sin2x-cos2x = 1的解是 _ 9. x, 0 ”x +2 八 4, 2x + v 33 （文）满足约束条件 丫 的目标函数f二x v的最 xO, V-0， 小值为 _ . 10阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 为 11. （文）在平面直角坐标系 xOy中，若中心在坐标原点的双 曲线过点 2,3，且它的一个顶点与抛物线 y2 =4x的焦点重 合，则该双曲线的方程为 _ . 12. （文）从 5 男 3 女 8

3、位志愿者中任选 3 人参加冬奥会火 炬接力活动，所选 3 人中恰有两位女志愿者的概率 是 _ . 2 2 13. （文）若三个数a,1,c成等差数列（其中a = c）,且a ,1,c a + c 成等比数列，则lim（- -）n的值为 _ . n* a2 + c2 开始 y =z 第 10 题 输出y y x 结束 对于任意的x壬R都 x -1, 一 1 辽 x ：0. z ：-2 乞 x1, 14.（文）函数f （x）的定义域为实数集 R , f （x）=-3 有f(x1)= f(x1).若在区间一1,3上函数g(x) = f(x)-mx-m恰有四个不同的零点，则实数 m的取值范围是 _ .

4、 _ 二、选择题( (本大题共有 4 4 题，满分 2020 分) )每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分. 15. X 1 (文)不等式 2的解集为 . ( ). x (A) x|x ： -1 或 x 0 (B) x|x：-1 (C) x|x 1 (D) x| 一1 ： x ： 0 16. “ =1” 是“函数 f(x)二 si n2 ，x-cos2 ，x 的最小正周期为 二”的 . ( ). (A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又必要条件 17.若圆柱的底面直径和高都与球的

5、直径相等，圆柱、球的表面积分别记为Si、S2 ,则 S| : S2 = (文)已知向量a，b满足：|a|=|b|=1,且|ka bh 3|a-kb|( k 0).则向量a与向 的夹角的最大值为 (A)； (B) (C) ; (D)： 3 3 6 6 三、解答题( (本大题共有 5 5 题，满分 7474 分) )解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤. 19. (本题满分 1212 分) (文)已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图(单位： 条异面直线AQ和PD所成的角为求cos：的值. (A) 1:1 (B)2:1 (C) 3:2 (D) 4:1 18. c

6、m)如图所示设两 -4 P A1 A 侧视图 俯视图 正视图 -5 20. (本题满分 1414 分)本题共有 2 2 个小题，第 1 1 小题满分 6 6 分，第 2 2 小题满分 8 8 分 某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛 是由以点 0 为圆心的两个同心圆弧 AD、弧BC以及两条线 段AB和CD围成的封闭图形花坛设计周长为 30 米，其中 大圆弧AD所在圆的半径为 10米.设小圆弧BC所在圆的半 径为x米(0 ex c10),圆心角为6弧度. (1) 求，关于x的函数关系式； (2) 在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰 费用为 4 元/米，两条弧线部分的装饰费用

7、为 9 元/米.设 花坛的面积与装饰总费用的比为 y，当x为何值时，y取 得最大值? 21. (本题满分 1414 分)本题共有 2 2 个小题，第 1 1 小题满分 5 5 分，第 2 2 小题满分 9 9 分 2 2 (文)已知椭圆C:笃笃=1 a b 0的右焦点F (1,0),长轴的左、右端点分别为 AA, a b I I t t I I 且 FA F = -1. (1) 求椭圆C的方程； (2) 过焦点F斜率为k ( k 0 )的直线I交椭圆C于A,B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交 于D点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形 ADBE为菱形？若存在，求k的值；若不存 在，请说明理由

8、22. (本题满分 1616 分)本题共有 3 3 个小题，第 1 1 小题满分 4 4 分，第 2 2 小题满分 6 6 分，第 3 3 小题满分 6 6 分 a1 = 2, (文)已知数列an满足a2=8, ( c为常数，n壬N*) +az =can,(n 兰 2). (1)当 C = 2 时，求 an ； (2)当c =1时，求a2014的值; (3) 问：使an 3.二an恒成立的常数c是否存在？并证明你的结论. 23. (本题满分 1818 分)本题共有 3 3 个小题，第 1 1 小题满分 4 4 分，第 2 2 小题满分 6 6 分，第 3 3 小题满分 8 8 分 -6 (文)

9、设函数 g(x) =3x, h(x) =9x. (1)解方程：h(x) _8g(x) -h(1) =0 ； (2) 令 p(x) = g(x)，求证： g(x) + J3 / 1 、 / 2、. ，2012、 ，2013、 2013 p( ) p( ) p( ) p( 厂 2014 2014 2014 2014 2 (3) 若f(x) =9 1) a是实数集R上的奇函数，且 g(x)+b f (h(x) -1) f(2 -k g(x) 0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围 7 四区 2019 学年度高考模拟考试数学 试卷文理科解答 参考答案及评分标准 2019.042019.04 说明 1

10、 1 本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的 精神进行评分. 2 2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考 生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时， 可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的 概念性错误，就不给分. 3 3第 1919 题至第 2323 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4 4 给分或扣分均以 1 1 分为单位. 一填空题（本大题满分 5656 分）本大题共有 1414 题，考

11、生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4 4 分，否则一律得零分. 理 1. 2; 2. 2 3. 35; 4 . 12二 5. -1,1 f; 6. x y -3 = 0 E =0 10 1 30 2 更 3 1 56 56 56 56 12. 3. 3 13. 2 14. sin 2： _ 1 10 文 1. 2； 2. 2 3. 35; 4 . 12:7. 2 2 ； 1 8. 4 9. X =4cos。, =4si na. （为参数）； 10. 13 8 11. 8 13 .当 ac - -1 时, 当ac =1 时，a =c舍去. 14.(0,丄 4 二、 选择

12、题（本大题满分 2020 分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的 相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 5 分，否则一律得零分. . 15. D; 16. B; 17. C; 18.理 D;文 A 三、 解答题（本大题满分 7474 分）本大题共 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤 1 19.(理)A(0,0,0), C(1,0,0),B(1,-1,0),D(0,1,0),F(1,-?,0), P(0,0,1). (1)证明方法一：Q 四 边形是平行四边形，Q PA _平面ABCD . PA _ DA，又AC _ DA ,

13、 AC I PA二A , .DA 平面 PAC . uuu 方法二：证得DA是平面PAC的一个法向量，.DA _平面PAC . 通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为 m =（1,2,0）, . r ur r Im n I J15 又平面PCD法向量为 n = (1,1,1)，所以cos m, n x tr一i - |m| n| 所求二面角的余弦值为于 P Q D1D1 C1 （文）由 PQ/CD，且 PQ 二CD，可知 PD/QC , C A A第 19 题图 B _ 1 fB1 1 A1 5. -1,门；6. 5 2 7. -3=0 9. 10. 2 11.

14、x 12. 15 56 2 2V g2+c2丿购 c I =0 ； c2 -9 故.AQC为异面直线AQ、PD所成的角(或其补角) 由题设知 AQ2 =AB2 B1Q2 =22 工 =6 , AC f；3 2=2 3, 取BC中点E ,则QE _ BC，且QE =3, QC2 二 QE2 EC2 =32 12 =10 . 由余弦定理，得 沖二cos AQC = AQ2 QC2-AC2= 61兰二卫. 2AQ QC 276 10 15 20. (1)设扇环的圆心角为 K 则30- 10 x *2(10-x), 所以二二匹空, 10 +x (2)花坛的面积为 1 2 2 2 r(10 x ) =(

15、5 x)(10 x) x 5x 50,(0 ：: x ：: 10). 2 装饰总费用为 910*，8(10-x) =170，10 x , 2 2 所以花坛的面积与装饰总费用的比 y=三 匹型=- 邑型, 170+10X 10(17+x) 39 1 324 3 令t =17 x，贝 V y (t ) W ，当且仅当 t=18 时取等号, 10 10 t 10 此时 x =1 卢-1 11 答：当xh时，花坛的面积与装饰总费用的比最大. 21.理(1)依题意不妨设 B1(0, -b) , B2(0,b)，则 FB =(T,-b), FB2 2 由 FB1 FB2 二a，得 1 -b =-a. 又因

16、为a2b2 =1, 解得 a = 2, b =、3 . 2 2 所以椭圆C的方程为1 . 4 3 (2)依题意直线l的方程为y二k(x-1).= (T,b). 10 八 k(x1), 由彳 x2 ( 得(3+4k2)x2 -8k2x+4k2 -12 = 0. 一 + 乙=1 L 4 3 所以弦MN的中点为 所以 MN I = J(Xi -X2)2 +(% -丫2)2 = J(k2 +1)(人 +X2)2 4x2 设 MS), N(%, Y2)，则 & X2 8k2 3 4k2 xjX2 4k2 -12 3 4k2 P( 4k2 3 4k2 令. .(k2 1) 64k4 (3 4k2)

17、2 2 4(4k -12) 2 3 4k 2 12(k2 1) 4k2 3 直线PD的方程为 y (x 42k ), 4k2 3 k 4k2 3 所以 =0,得 DP k2 X 二 2 ， D( k2 4k2 3 ,0) 3,k2(k2 1) 4k2 3 所以 3jk2(k2 +1) DP _ 4k2 3 MN 12(k2 1) 2 4k 3 11 又因为k2 1 1，所以0 ： 1 k2 1 1. 所以 1 1 k2 1 4 田的取值范围是（0,丄）. MN 4 所以0 : 4 | (文)( 1)依题设 A (-a,0)，A2(a,0)，则 気=(-a-1,0)，FA2=(a-1,0). -

18、12 由FA1尸人二-1，解得a2 =2，所以b2 =1. 2 所以椭圆C的方程为y2 =1. 2 (2)依题直线丨的方程为y =k(x -1). 1 y 二 k (x - 1),/口 2 2 2 2 由 2 .2 -得 2k 1x4kx 2k2=0. 设 A(x, y1), B(X2, y2),弦 AB 的中点为 若四边形ADBE为菱形，则xE xD = 2x0, yE y 2y0. P(1007)= P(1)= 3 =1, q(鴛)吨) 2 3k -2 k 所以 E(2k2 1* 1). . 若点E在椭圆C上, 3k2 2k2 J 2(2k2 J =2. 整理得k4 =2，解得 k2二&a

19、mp; .所以椭圆C上存在点 E使得四边形 ADBE为菱形. 22理(1) 3x (2 3x -8) =9x 9，3x =9，x = 2 x2 2y=2 M (Xo, ) 4k2 贝V Xq x2 = 2, xx2 = 1 2 2k2 1 2(k2 -1) 2k2 2k2 -k 所以M(hE 2 ? 2k2 1 2 ， y0 = 2 2k2 1 2k2 k 直线MD的方程为y 22k2 2k2 1)， k2 k2 令厂0，得XD/，则DE0). 3 1 ,1007 ，q( 3x 3仁 -13 2014 2 2后 2 2014 2 因为咖I J；3 y3 S：3 3 厂 3， x 1 _x x

20、9 9 9 3 q(x) q(1 -x) x 仁 x x 1 9x +3 9 +3 9x +3 9x +3 1 2 2013 1 所以，p( ) p( )卷卷p( ) =1006 2014 2014 2014 2 1 2 2013 1 q( ) q( ) z- y( ) =1006 2014 2014 2014 2 1 2 2013 1 2 2013 p( ) p( ) p( ) = q( ) q( 厂 q( ) 2014 2014 2014 2014 2014 2014 (x 1) a是实数集上的奇函数，所以 a二-3,b =1. (x) b f(x)=3(1-J ), f (x)在实数集上

21、单调递增 3 +1 由 f (h(x) -1) f(2-k g(x) 0得 f (h(x) -1) -f (2-k g(x)，又因为 f(x)是实数集上的奇函 数，所以，f (h(x) -1) f (k g(x) -2), 又因为f (x)在实数集上单调递增，所以 h(x) -1 k Q(X)-2 即32x -1 . k 3x -2对任意的R都成立， 1 即k : : 3 3x x 对任意的x R都成立，k ： 2 . 3x (文)(1) a. =2 6(n -1) =6n - 4 (2) a1 = 2 , a2 = 8, a3 = 6 , a -2, a -8, a -6 , a2, a 8

22、 8, a? = =6 6, a-2 , a-8, a12 6，我们发现数列为一周期为6的数列事实上，由 an1 - an4an有 an 3 =an 2 -an -an, a. 6 二 a. 3 3 八a. 3 二 a.-8 8分( (理由和结论各 2 2分) ) 因为 2014 = 335 6 4，所以 a2014 = a4 = -2 . (3)假设存在常数c，使an 3二an恒成立. 由 a. 1 ancan CD CD ,(3)因为 f (x) 口 由题设1 _an勺一an又an勺一an -14 CD式减式得(a. i - an)(1 c) =0 - 所以 an q. -an = 0 ,或 1 c = 0 . 当 n N *, an i - an =0 时，数列 an为常数数列，不满足要求. 由 1 c = 0 得 c = -1 ,于是 an q anJ - -an,即对于 n N且n _ 2 ,都有 an 彳-an - anJ , an 3 = _an 2 _ an 1, an 2 - _an 1 an ,从而 an 3 = -an 2 - an 1, = an 1 an _ an 1 = an (n -1). 所以存在常数c =1，使an 3 = an恒成立. 23.理(1) b- = a1 = a1 =1 , n -1 (2 )根据反证法排除