数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何3.2.2(二)含答案

1、空间线面关系的判定(二 ) 垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系.2.能用知识点一向量法判断线线垂直设直线 l 的方向向量为a (a1 ，a2，a3)，直线 m 的方向向量为b (b1，b2，b3)，则 l m? a·b 0? a1b1 a2b2 a3b3 0.知识点二向量法判断线面垂直思考若直线 l 的方向向量为 4，1，平面 的法向量为 3，则直线 l12， 323， 2，2与平面 的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案垂直，因为 2，所以 ，即直线的方向向量与平面的

2、法向量平行，所以直13212线 l 与平面 垂直判断直线与平面的位置关系的方法：(1) 直线 l 的方向向量与平面 的法向量共线 ? l .(2) 直线的方向向量与平面的法向量垂直? 直线与平面平行或直线在平面内(3) 直线 l 的方向向量与平面内的两相交直线的方向向量垂直? l .梳理 设直线 l 的方向向量a (a1， b1， c1)，平面 的法向量 (a2， b2， c2)，则 l ? a? a k(kR )知识点三向量法判断面面垂直思考 平面 ， 的法向量分别为 (x ， y ， z (x ， y ， z1111 )， 2222)，用向量坐标法表示两平面 ， 垂直的关系式是什么？答案x

3、1x2 y1y2 z1z2 0.梳理若平面 的法向量为 (a1 ，b1， c1)，平面 的法向量为 (a2， b2， c2)，则 ? ? · 0? a1a2 b1b2 c1c20.已知点 P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果，AB (2， 1， 4)，AD (4,2,0)AP ( 1,2， 1)判断下面结论的对错：1 AP AB； ( )2 AP AD.( )3.AP 是平面 ABCD 的法向量 ( )4.AP BD.(×)类型一证明线线垂直例 1如图，已知正三棱柱ABC A1 B1 C1 的各棱长都为1， M 是底面上 BC 边的中点， N 是侧棱CC11上的

4、点，且 CN CC 1.求证： AB1 MN .4证明设 AB 的中点为O，连结 OC，作 OO1 AA1.以 O 为坐标原点， OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴， OO1 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系1，由已知得 A ，0， 0213B 2，0，0 ，C 0， 2 ，0，311N0，2，4，B1 2，0，1 ，M 为 BC 的中点，M 14， 43， 0 .131MN 4， 4 ，4 ， AB1(1,0,1)，11MN·AB1 40 4 0.MN AB 1 ，AB 1 MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 求

5、直线的方向向量 证明向量垂直 得到两直线垂直跟踪训练1如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中， AC 3，BC 4，AB 5，AA14，求证：AC BC1.证明直三棱柱 ABC A1B1C1 底面三边长AC 3， BC 4，AB 5，AC BC，AC， BC，C1C 两两垂直如图，以 C 为坐标原点， CA， CB，CC1 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系则 C(0,0,0) ， A(3,0,0) ， C1(0,0,4) ，B(0,4,0) ，AC ( 3,0,0)，BC1 (0， 4,4)， AC·BC 1 0，AC BC1.类型二证明线面垂直例 2如图

6、所示，在正方体ABCD-A 1B1C1D 1 中， E，F 分别是 BB1，D1B1 的中点求证：EF平面 B1AC.证明 方法一 设正方体的棱长为 2，以 D 为坐标原点，DA ，DC ， DD 1的方向为 x 轴， y轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0) ， C(0,2,0) ， B1(2,2,2) ，E(2,2,1) ， F(1,1,2) EF (1,1,2) (2,2,1) ( 1， 1， 1)AB1 (2,2,2) (2,0,0) (0,2,2) ，AC (0,2,0) (2,0,0) ( 2,2,0) 而EF ·AB 1( 1， 1,1)

7、 (0,2,2)· ( 1)×0 ( 1)× 21× 2 0. EF ·AC ( 1， 1,1) (·2,2,0) 2 2 0 0，EF AB1， EF AC.又 AB1AC A，AB1? 平面 B1AC， AC? 平面 B1AC，EF 平面 B1AC.方法二设AB a， AD c， AA1 b， 1 1 11则EF EB1 B1F 2( BB1 B1D1) 2( AA1 BD)2( AA1 AD AB)2( ab c)， AB1 AB AA 1 a b，1EF ·AB1 2( a b c) ·(a b)12 2

8、2(b a c·a c·b)1 22 2(|b| |a| 00) 0.EF AB1 ，即 EF AB1，同理， EF B1C.又 AB1B1CB1，AB1? 平面 B1AC， B1C? 平面 B1AC ，EF 平面 B1AC.反思与感悟用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1) 基向量法：设出基向量，然后表示直线的方向向量；找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示；利用数量积计算(2) 坐标法：建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示；求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行跟踪训练 2 如

9、图，在长方体 ABCD A1B1 C1D 1 中， AB AD 1， AA1 2，点 P 为 DD 1 的中点求证：直线 PB1平面 PAC.证明 如图，以 D 为坐标原点，DC， DA， DD 1的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(1,0,0) ，A(0,1,0) ， P(0,0,1) ，B1(1,1,2) ， PC (1,0， 1) ，PA(0,1， 1)， PB1 (1,1,1) ，B1 C (0， 1， 2)，B1A ( 1,0， 2) PB1 ·PC(1,1,1) (1,0·， 1) 0，所以 PB1 PC，即 PB1

10、PC. 又 PB1 ·PA(1,1,1) (0,1·， 1) 0，所以 PB1 PA，即 PB1PA.又 PAPC P， PA， PC? 平面 PAC，所以 PB1平面 PAC.类型三证明面面垂直例 3在三棱柱ABC A1B1C1 中， AA1平面 ABC ，ABBC ，AB BC 2， AA1 1， E 为BB1 的中点，求证：平面AEC1平面 AA1C1C.证明由题意知直线AB， BC， B1B 两两垂直，以点B 为坐标原点，分别以BA， BC， BB1所在直线为x， y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0) ， A1 (2,0,1) ，C(0,

11、2,0) ，C1(0,2,1) ，1E 0，0，2 ，1故 AA1 (0,0,1) ， AC ( 2,2,0)， AC1 ( 2,2,1)， AE 2， 0， 2 .设平面 AA1C1C 的法向量为n1 (x， y， z)， 0，z 0，n1·AA1则即 2x2y 0.n1·AC 0，令 x 1，得 y 1，故 n1 (1,1,0) 设平面 AEC1 的法向量为n2 (a， b， c)， 0， 2a 2b c0，n2·AC1则即1 2an2·AE 0，2c 0.令 c 4，得 a 1， b 1，故 n2 (1， 1,4)因为 n1·n2 1&#

12、215; 11× ( 1) 0× 4 0，所以 n1 n2.所以平面 AEC1 平面 AA1C1C.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1) 常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明(2) 向量法：证明两个平面的法向量互相垂直跟踪训练 3 如图，底面 ABCD 是正方形， AS平面 ABCD ，且 ASAB，E 是 SC 的中点 求证：平面 BDE 平面 ABCD . 证明 设 AB BCCD DA AS 1，以 A 为坐标原点， AB，AD ，AS的方向为 x 轴， y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，111则 B(1,0,0)

13、 ， D(0,1,0) ， A(0,0,0) ，S(0,0,1) ，E 2， 2， 2 ，连结 AC，设 AC 与 BD 相交于点O，1 1连结 OE，则点 O 的坐标为 2， 2， 0 .1因为 AS (0,0,1)， OE0，0，2， 1 所以 OE 2AS，所以 OEAS.又因为 AS平面 ABCD ，所以 OE平面 ABCD ，又 OE? 平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABCD .1若直线 l1 的方向向量为a (2， 4,4)，l 2 的方向向量为b (4,6,4) ，则 l1 与 l2 的位置关系是_ (填“平行”“垂直” )答案垂直解析因为 a·b 2×

14、 4( 4)× 6 4×4 0，所以 l1 l2.2若直线 l 的方向向量为 a (1,0,2) ，平面 的法向量为 ( 2,0， 4)，则 l 与 的位置关系是 _ (填“平行”“垂直” )答案垂直解析a，l .3平面 的一个法向量为m (1,2,0) ，平面 的一个法向量为平面 的位置关系是 _ (填“平行”“垂直” )答案垂直解析(1,2,0) (2·， 1,0) 0，n (2， 1,0)，则平面与两法向量垂直，从而两平面垂直4已知平面与平面 垂直，若平面与平面 的法向量分别为 ( 1,0,5)， (t,5,1)，则 t 的值为 _答案 5解析平面 与平面

15、垂直，平面 的法向量 与平面 的法向量垂直，·0，即 ( 1)× t 0×5 5× 10，解得 t 5.5 在菱形ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是ABCD 中，若 PA是平面_ (填序号 ) PAAB； PA CD ； PC BD ； PC AB.答案解析由题意知 PA平面 ABCD ，所以 PA 与平面上的线AB， CD 都垂直，正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD平面 PAC，故 PC BD ，正确证明垂直问题的方法：(1) 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活

16、建系是解题的关键(2) 其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理， 只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可一、填空题1设直线 l 1，l2 的方向向量分别为a ( 2,2,1)，b (3， 2，m)，若 l1 l 2，则 m _.答案10解析因为 a b，故 a·b 0，即 2× 32× ( 2) m 0，解得 m10.2若平面， 的法向

17、量分别为a (1,2,4) ， b (x， 1， 2)，并且 ，则 x 的值为_答案 10解析因为 ，则它们的法向量也互相垂直，所以 a·b ( 1,2,4) (x，· 1， 2) 0，解得 x 10.3已知直线 l 的方向向量为1， ， 1( R )若 le (1,1,2) ，平面 的法向量为 n 2，则实数 的值为 _答案 12解析 1121l ，en， ， .1 1224已知点A(0,1,0) ，B( 1,0， 1)， C(2,1,1) ，P(x,0，z)，若 PA平面 ABC ，则点 P 的坐标为_答案 ( 1,0,2)解析由题意知 AB ( 1， 1， 1)， A

18、C (2,0,1)，AP (x， 1， z)，又 (x·， 1， z) 0，得 x 1 z 0，所以有 AB·AP ( 1， 1， 1)AC·AP (2,0,1) ( x，· 1， z) 0，得 2x z 0，联立得x 1， z2，故点 P 的坐标为 ( 1,0,2) 5在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则下列结论成立的是序号 )CE BD ； A1C1 BD ； AD BC1； CD BE.PA平面 ABC，_ (填答案解析以 D 点为坐标原点，DA ， DC ， DD 1 所在直线分别为x 轴， y 轴， z

19、轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A(1,0,0) ， B(1,1,0) ，C(0， 1,0)， D(0,0,0) ，A1(1,0， 1)，11C1(0,1,1) ， E2，2，1 ，11CE 2，2， 1 ， AC ( 1,1,0)，BD (1， 1,0)， A1D ( 1,0， 1)，A1A (0,0， 1)， 11CE·BD ( 1)×2( 1)× 2 0×10，CE BD.显然 A1C1BD ，故只有正确6已知点 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点， 若 AB (2， 1， 4)，AD (4,2,0)，AP( 1,2，

20、1)，则给出下列结论：AP AB； AP AD； AP 是平面 ABCD 的一个法向量； AP BD .其中正确的结论是_( 填序号 )答案解析因为 AB·AP 2× ( 1)(1)×2 ( 4)× ( 1) 2 2 4 0，则AB AP，即 AP AB；AP·AD ( 1)× 4 2× 2 00，则AP AD，即 AP AD，又 ABAD A，AP平面 ABCD ，故AP 是平面 ABCD 的一个法向量BD AD AB (4,2,0) (2， 1， 4) (2,3,4) ，所以 AP与 BD 不平行7.如图，在长方体 AB

21、CD A1B1C1D 1 中， AB 2，AA13， AD 22， P 为 C1D 1 的中点，M 为 BC 的中点则 AM 与 PM 的位置关系为 _答案垂直解析以 D 点为坐标原点，分别以DA ，DC， DD 1 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，依题意可得D (0,0,0) ，P(0,1，3)， C(0,2,0) ，A(22， 0,0)，M(2， 2,0)PM (2，2,0) (0,1，3) (2， 1，3)，AM (2，2,0) (22， 0,0) (2， 2,0)，PM·AM (2， 1，3) (·2，2,0) 0，即P

22、M AM，AM PM.8在空间直角坐标系O xyz 中，已知点P(2cosx 1，2cos2x 2,0)和点 Q(cosx， 1,3)，其中 x 0， 若直线OP 与直线 OQ 垂直，则x 的值为 _ 答案或23解析由题意得 OP OQ，cosx·(2cosx 1) (2cos2x 2) 0.2cos2x cosx 0，1cosx0 或 cosx2.又x 0，x2或 x 3.9在 ABC 中， A(1， 2， 1)， B(0， 3,1)，C(2， 2,1)若向量n 与平面 ABC 垂直，且|n| 21，则 n 的坐标为 _ 答案 ( 2,4,1) 或(2， 4， 1)解析据题意，得

23、AB， AC (1,0,2) ( 1， 1,2)设 n (x， y， z)，n 与平面 ABC 垂直， x y 2z 0，y 4z，n·AB0，即解得x 2z 0，x 2z.n·AC 0，|n|21，x2 y2 z221，解得 z 1 或 z 1.当 z 1 时， y4， x 2；当 z 1 时， y 4，x 2，n( 2,4,1) 或 n (2， 4， 1) 10已知 AB(1,5， 2)， BC (3,1， z)，若 AB BC ， BP (x 1， y， 3)，且 BP平面ABC，则 (x， y， z) _.4015答案7 ，7 ， 4解析 AB·BC 3

24、5 2z0，故 z4.BP·AB x 1 5y 6 0，且 BP·BC 3(x 1)y 12401540150，得 x 7 ， y7 .所以 (x， y， z) 7 ，7，4 .二、解答题11.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1 中， E， F 分别是 B1B， DC 的中点，求证： AE平面 A1D1F.证明 设正方体的棱长为 1，如图所示，以 1的方向为 x 轴， yD 为坐标原点， DA， DC，DD轴， z 轴正方向，建立空间直角坐标系，1则 A(1,0,0) ， E 1， 1， 2 ，A1(1,0,1) ， D1(0,0,1) ，1， 0 .F 0，21

25、1AE0，1， 2，A1D 1 ( 1,0,0)， D1F 0，2， 1， 1×00，AE·A1D 10× ( 1) 1× 0211AE·D1F 2 2 0，AE A1 D1， AE D 1F ，即 AEA1D 1， AE D1F，又 A1D 1D1F D 1，A1D 1， D1F? 平面 A1D 1F，AE平面 A1D 1F.12.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1 中，用向量法证明：(1) 平面 A1BD 平面 CB1D1；(2) AC1平面 A1BD .证明 以 D 为坐标原点，DA ， DC ， DD 1 的方向为 x 轴， y

26、轴， z 轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.则 D (0,0,0) ，A1(1,0,1) ， B(1,1,0) ，D 1(0,0,1) ， B1(1,1,1) ，C(0,1,0) ， A(1,0,0) ， C1(0,1,1) (1)A1D (1,0， 1)，A1B (0,1， 1)，D1B1 (1,1,0) ，D1 C (0,1， 1)，设平面 A1BD 的一个法向量为n1 (x1， y1， z1)， x1 z1 0，n1·A1D 0，则 0，即1 1y1 z1 0.n ·A B令 z1 1，得 x1 1， y1 1.平面 A1BD 的一个法向量为n1 ( 1

27、,1,1)设平面 CB1D 1 的一个法向量为n2 (x2， y2， z2)，x2 y2 0，n2·D 1B1 0，则即y2 z2 0.n2·D1C 0，令 y2 1，得 x2 1， z2 1，n2 (1,1,1)，n1n2，即 n1n2.平面 A1BD平面 CB1D1.(2) 又 AC1 ( 1,1,1)，AC1 n1.AC1 是平面 A1的法向量，BDAC1平面 A1BD.13.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA底面 ABCD ， PA AB 1， AD 3，点 F 是 PB 的中点，点E 在边 BC 上移动求证：无论点E 在 BC 边的何处，都有PE AF.证明以 A 为坐标原点， AD ， AB， AP的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，1 1则 A(0,0,