数学建模零件的参数设计说明

1、.零件的参数设计摘要本文主要论述了关于零件参数设计的问题，运用到有关概率论与数理统计的方法以及用泰勒公式将问题简单化，最终构造了一个求设计零件所需费用最低的优化模型 ，运用 MATLAB 软件进行数值计算 。已知粒子分离器的参数y 由零件参数 xi (i1,27) 决定，参数 xi 的容差等级决定了产品的成本 。总费用就包括y 偏离 y0 造成的损失和零件成本 。问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。我们的思路是假定随机变量y 属于正态分布 ，经过一定的转化 ，找到 y 的均方差y与 y ，而均方差y 与零件参数的标定值与容差有关，得出二者的联系 ，从而可用零

2、件参数的标定值与容差表示y ，进而得出 y 的分布函数 ，积分后就可得到完整的非线性规划方程表达 。问题就成功的转化为了非线性规划问题 。求解的时候分两步走 ：1.预先给定容差等级组合 ，在在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值 ，使 y为 y0 =1.5 。2.在第一步的基础上采用穷举法遍历所有 108 种容差等级组合 ，找出最小费用 。最终计算出来的标定值为xi =0.0750,0.3750,0.1250,0.1200,1.2919,15.9904,0.5625,等级为： dB, B, B,C , C , B, B一台粒子分离器的总费用为： 421.7878元。 与原结果比较，总费用由30

3、74.8 元降低到 421.7878 元，降幅为 2653.02 元，比较明显 。最后我们对所建模型进行了分析，讨论了他的优缺点，并对模型进行了推广。.下载可编辑 .关键字：零件参数方差 非线性规划1.问题提出1.1 问题背景当今社会发展日新月异，市场需求不断变化 ，而且要求是越来越高，各种各样的新产品层出不穷，竞争的压力越来越大，对人才的需求也越来越大。无论设计什么样的产品，作为产品的研发设计人员，时刻要保持强烈的创新愿望和冲动 ，充分考虑到所设计产品的各项指标，尤其要着重考虑产品的各个组装零件，分析它们的参数指标，再通过加强学习和锻炼，提高创造力 ，设计开发出符合现代设计需要的、具有竞争实

4、力的优良产品，且能实现最大的经济效益，才能使自己在诺大的社会上立于不败之地。1.2 问题重述现有如下一个关于产品零件参数设计的问题：一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差，进行成批生产产品时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的范围。题中将零件参数设为随机变量，则标定值及为期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍。进行零件参数设计 ，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失 ，偏离越大 ，损失越大 ；二是零

5、件容差的大小决定了其制造成本，容差.下载可编辑 .设计得越小 ，成本越高 。要求：通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。粒子分离器某参数 （记作 y）由 7 个零件的参数 （记作 x1,x2 ,.,x7）决定，经验公式为 ：0.5631.1620.8512.62 10.36 x4x4x1x3x2x2Y 174.42x2x1x6 x7x5y 的目标值 （记作 y0）为 1.50。 当 y 偏离 y00.1 时，产品为次品 ，质量损失为1,000 元；当 y 偏离 y00.3 时，产品为废品 ，损失为 9,000 元。零件参数的标定值有一定的容许范围 ；容差分为 、 三个等级 ，用与标定值

6、的相对值表示 ，等为1%，等为 5%，等为 10%。7 个零件参数标定值的容许范围 ，及不同容差等级零件的成本（元）如下表 （符号表示无此等级零件 ）：标定值容许范等等等围x10.075,0.12525x20.225,0.3752050x30.075,0.1252050200x40.075,0.12550100500x51.125,1.87550x612,201025100.下载可编辑 .x70.5625,0.93525100现进行成批生产 ，每批产量 1,000 个。在原设计中 ，7 个零件参数的标定值为 ：x1=0.1,x 2=0.3,x 3=0.1,x 4=0.1,x 5 =1.5,x6

7、 =16,x 7=0.75; 容差均取最便宜的等级 。请综合考虑 y 偏离 y0 造成的损失和零件成本 ，重新设计零件参数 （包括标定值和容差），并与原设计比较 ，总费用降低了多少 ？1.3 研究意义随着科学技术的发展，产品零件设计理论和方法也迅速地发展，同时伴随着对零件参数精度设计的要求不断提高，要求发挥设计者的创造力，运用更先进的科学技术手段 ，并依托现代设计理论和方法的指导，通过对零件参数的合理研究 ，设计出更有生命力 ，更强大的产品 ，使设计的产品在经济市场中占有一席之地 ，不轻易的被市场淘汰，且能实现最大的经济效益，创造更多的财富。2.问题的分析本题要求通过给出的具体问题进行零件参数

8、设计，也就是确定零件的标定值和容差 ，从而给出一般零件参数设计的方法。参数设计是产品设计的核心，就是要优化零件参数，寻求参数标定值和容差的最佳组合，总的来说 ，该题是一个在一定约束条件下的优化问题，目标是求出最低的生产费用，并相应的给出生产费用的组合形式。生产费用包含两方面 ，一是质量损失费用w损 ，二是零.下载可编辑 .件成本费用 w成 。要想求出 w损 ，就必须要求出一批产品的次品率和废品率。考虑到将各零件的参数设为随机变量，服从 N （ xi ,xi 2 ）的正态分布 ，故假设 y也服从正态分布 。由正态分布的特性：当各变量服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。可将 y 借助泰勒公式

9、线性化，可知此时y 就服从正态分布了，找出其分布函数 ，则可求得其在不同取值范围内的概率。最后把问题转化为零件的标定值和容差关于总目标函数的最优解问题上.在分析零件的成本和产品的质量损失时不难发现，质量损失对费用的影响远远大于零件的成本对费用的影响，所以要求设计零件参数时首先考虑提高产品质量以此来减少费用 。3.模型的假设假设一：在生产过程中除了质量损失外，无其它形式的损失 。假设二：各零件的参数均视为随机变量，且服从独立的正态分布 。假设三 ：标志产品性能的某个参数y 仅由零件参数的标定值和容差决定，不考虑其它因素 。假设四 ：在大批量的生产中，整批零件 （ 1000 个）都处于都处于同一等

10、级。假设五：构成产品的各零件互不影响，即是相互独立的 。假设六：在质量损失计算模型中 ，将所有的函数都视为可导的。4.符号说明xi ：第 i 个零件参数的标定值 （ i =1 ， 2 ，7）xi ：第 i 个零件实际值与标定值的偏差.下载可编辑 .ri ：第 i 个零件的容差xi ：第 i 个零件的方差ai ,bi ：标定值 xi 的下、上限y :产品参数的实际值y0 ：产品参数的目标值y ：产品参数的均值y ：产品参数的实际值y 与平均值 y 的偏差y ：产品参数的方差p1 ：一批产品中正品的概率p2 ：一批产品中次品的概率p3 ：一批产品中废品的概率W ：一批产品的总费用Cij ：第 i

11、个零件中对应容差等级为j 的成本（ jA, B,C ）5. 模型的建立与求解5.1 模型的建立由题意 ，将零件参数的容差设计的越大，成本虽然降低了 ，但同时偏离程度就会变大 ，造成质量损失也变大，在此情况下 ，要求我们求出各最优解，使总费用最低 。我们列出总费用的数学模型表达式：7W=C ij1000 p29000 p3i 17w成Ciji 1w损1000p29000p3.下载可编辑 .w成 查表即可求得 ，但要表示出 w质 ，必须知道p1 , p2 , p3 的值，下面我们对经验公式做一定的转化以求得各概率。泰勒公式 ：对于正整数n，若函数在闭区间上 阶连续可导 ，且在上阶可导。任取是一定点

12、 ，则对任意成立下式 ：f xf a+ f ' a( xa)f '' ax a2.fn a x a nRn x0!1!2!n!将经验公式用泰勒公式在Xxi i1,2.,7处展开并略去二次以上的高次项 。设 f xy ，则7ff xyf xi(xi )i1xi将标定值 xi i 1,2,.,7代入经验公式得 ：7fyf xiyy y。xii 1xi又由已知条件 ，将零件参数 xi 看做是服从正态分布的随机变量，所以加工误差xi 也服从正态分布 ，即有xi N 0,由正态分布的性质可知 ：2X Ixi 间相互独立 。y N 0,y22y N y, y由误差传递公式得 ：72

13、722ff xixi6y 2xi=i 1xii 1xixi由题中已知 ，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍，得ri3 xi 。 由容差与标定值的比值为容差等级，得 ri容差等级。根据上述xi.下载可编辑 .得：xi30.01,0.05,0.1。xiy 的分布密度函数为 ：1y y 22 yy2e2 6 y由此得出以下结论 ：（ 1） y 在区间 y0 0.1, y0 0.1的概率即产品为正品的概率为p11.6y dy 。1.4（ 2） y 偏离 y00.1的概率，即产品为次品的概率为1.41 .8p21. 2y dyy dy1.6（ 3） y 偏离 y00.3 的概率，即产品

14、为废品的概率为p31. 2y dyy dy1 .8综合考虑 y 偏离 y0 造成的损失以及零件的成本，得出最优零件参数模型 ，如下7min WC ij1000 p29000 p3i 1aixibis.t.f xiy05.2 模型的求解先对原方案分析 ，计算结果如下 ：正品率次品率废品率成本费质损费总费用0.12600.62390.25012002874.83074.8原方案次品率和废品率过高 ， y =1.7256 ，偏离目标值 y0 =1.5很远，导致质损费过大。.下载可编辑 .我们所得的结果 ：零件种类1234567零件参数0.0750.3750.1250.121.291915.99040

15、.5625容差等级BBBCCBB正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.853307878421.7878产品参数均值 y =1.5产品参数方差y =0.0689单个产品降低了2653.02 元。6. 模型的评价与推广优点：（ 1）本文模型的建立与求解运用到数理统计的知识，精确度较高 ，相关性较强，结果较为合理可靠 。(2)虽然题中关于实际参数标定值的选取是离散的，但我们充分利用了计算机的数值计算能力 ，数据具有一定的说服力 。缺点：（ 1）该模型对于质量损失的计算，虽说将所有函数都看做是连续函数，但对每个零件来说过于理想化，其中还是会产生一定的误差。（2）模型忽略了小概率发生的可能性，虽然根据 3原则可将误差控制在99.73%，但仍有一定误差 。推广：该模型给出了一个重要的产品设计与