经典易错题汇编极限与数学归纳法

1、 经典深圳中学2013届物理计算题增分专练说明：本卷汇编有60道各省市的高考模拟计算题，分有12套小卷。以思维训练，稳中求变为选题与训练之准则，在思维发散上略有侧重。且少数题目属于考纲盲区，并无刻意把握广东试题的出题模式。建议每套题目在80分钟内完成。1. 为了测量小木板和斜面间的摩擦因数，某同学设计如图所示实验，在小木板上固定一个轻弹簧，弹簧下端吊一个光滑小球，弹簧长度方向与斜面平行，现将木板连同弹簧、小球放在斜面上，用手固定木板时，弹簧示数为F ，放手后，木板沿斜面下滑，稳定后弹簧示数为F ，测得斜面斜角为，则木板与斜面间动摩擦因数为多少？（斜面体固定在地面上）解析：固定时示数为F ，对小

2、球F =mgsin 整体下滑：（M+m）sin-(M+m)gcos=(M+m)a 下滑时，对小球：mgsin-F =ma 由式、式、式得 = tan 2.如图10所示，abcd是一个正方形的盒子，在cd边的中点有一小孔e，盒子中存在着沿ad方向的匀强电场，场强大小为E。一粒子源不断地从a处的小孔沿ab方向向盒内发射相同的带电粒子，粒子的初速度为v0，经电场作用后恰好从e处的小孔射出。现撤去电场，在盒子中加一方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B（图中未画出），粒子仍恰好从e孔射出。（带电粒子的重力和粒子之间的相互作用力均可忽略）（1）所加磁场的方向如何？(2）电场强度E与磁感应强度B的比

3、值为多大？第（1）问8分，第（2）问6分，第（3）问6分，共20分解: （1）U型框向右运动时，NQ边相当于电源，产生的感应电动势 当如图乙所示位置时，方框bd之间的电阻为 U型框连同方框构成的闭合电路的总电阻为 闭合电路的总电流为 根据欧姆定律可知，bd两端的电势差为： 方框中的热功率为 （2）在U型框向右运动的过程中，U型框和方框组成的系统所受外力为零，故系统动量守恒，设到达图示位置时具有共同的速度v，根据动量守恒定律 解得： 根据能量守恒定律，U型框和方框组成的系统损失的机械能等于在这一过程中两框架上产生的热量，即 （3）设U型框和方框不再接触时方框速度为 ，U型框的速度为 ，根据动量守

4、恒定律，有 两框架脱离以后分别以各自的速度做匀速运动，经过时间t方框最右侧和U型框最左侧距离为s，即 联立以上两式，解得： ； （以上答案供参考，符合题意的其它合理答案均给分） (i)当n=1时结论成立（已验证）。(ii)假设当n=k(k1)时结论成立，即，那么故只须证明，即证A|bk+A|2对a成立由于而当a时，而当a时，即A|bk+A|2.故当a时，即n=k+1时结论成立。根据(i)和(ii)，可知结论对一切正整数都成立。故|bn|对n=1,2,都成立的a的取值范围为2(典型例题)已知数列an中,a1=3,前n项和Sn满足条件Sn=6-2an+1.计算a2、a3、a4,然后猜想an的表达式

5、。并证明你的结论。考场错解 当n2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.因为a1=3,所以a2=a1=,a3=a2=,a4=a3=由此猜想an= 当n=1时，a1=3,结论成立； 假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以又a1=3,所以an是首项为3公比为的等比数列。由此得ak+1=3·（）k+1-1=,这表明，当n=k+1时结论也成立。由、可知，猜想对任意nN*都成立。专家把脉 应由a1=S1=6-2a2,求得a2=,再由an+1=an(n2)求得a3=,a4=,进而由此猜想a

6、n=(nE*).用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设，而是根据等比列的通项公式求得ak+1=.这种证明不属于数学归纳法。对症下药 由a1=S1=6-2a2,a1=3,得a2=当n2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.将a2=代入得a3=a2=,a4=a3=,由此猜想an=下面用数学归纳法证明猜想成立。当n=1时，a1=,猜想成立；假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以ak+1=·=这表明，当n=k+1时结论也成立。由，可知，猜想对nN*都成立。3（典型例题）已知不等式+&

7、gt;log2n,其中n为大于2的整数，log2n表示不超过log2n的最大整数。设数列an的各项为正，且满足a1=b(b>0),an,n=2,3,4,.()证明：an，n=2,3,4,5,;()猜测数列an是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0,都有an<.考场错解 （1）利用数学归纳法证明不等式：1）当a=3时，知不等式成立。2）假设n=k(k3)时，ak则即n=k+1时，不等式成立。()有极限，且()解得n>10=1024.取N=1024,有an<.专家把脉 （1）在运用数学归纳证明时，第n-

8、k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化，不能去拼凑。对症下药 （）证法1：当n2时，0<an,于是有，所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，a1<b,an<证法2：设f(n)=,首先利用数学归纳法证不等式n=3,4,5,.(i)当n=3时，由知不等式成立。(ii)假设当n=k(k3)时，不等式成立，即ak 则ak+1即当n=k+1时，不等式也成立。由（i）、（ii）知，ann=3,4,5,.又由已知不等式得n=3,4,5,.()有极限，且,() ，则有log2nlog2n>10,n>210=1024,故取N=1024，可使当n>N时

9、,都有an< 专家会诊1一般与自然数相关的命题，或有关代数恒等式的证明，三角恒等式、三角不等式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。2运用数学归纳法证明时，第二步是关键、必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法的证明。考场思维训练1 用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+n)=2n·1·3· 5(2n-1)(nN+)”时，从n=k到n=k+1,给等式的左边需要增乘的代数式是 （ ） 答案： C 解析：略2 曲线C：xy=1(x>0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1l交x轴于B1,作B1A2l交曲线C于A2依此类推。（1）求

10、点A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标；答案： A1(1,1)、A2（+1, -1）、A3（+,-）、B1（2,0）、B2（2,0）、B3（2,0）（2）猜想An的坐标，并加以证明；答案： An(,证明略.（3）答案：设An(由题图：A1（1，1），B1（2，0） a1=1,b1=2且，分子分母乘以（）及3 设数列a1,a2,，an,的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1-ban-其中b是与n无关的常数，且b-1。（1）求an和an-1的关系式；答案： an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-解得an= （2）猜想an的表达式（用n和b表示）；答案：a=S1=1-ba1-由此猜想an

11、=把a1=代入上式得an= （3）当0<b<1时，求极限答案：命题角度 2数列的极限1（典型例题）已知数列xn满足x2=xn=(xn-1+xn-2),n=3,4,.若=2,则x1= ( )A B3 C4 D5考场错解 C. x1=4.x2=2,x3=(x1+x2)=3,x4=(2+3)=,x5=(3+)=,.当n，由趋势可知，故选C专家把脉 通过有限项看趋势，并不能准确描述极限。对症下药 B由xn=(xn-1+xn-2)可得2x3=x2+x1,2x4=x3+x2,2x5=x4+x3,2xn=xn-1+xn-2,两边相加得：2xn+xn-1=2x2+x1,两边取极限，2x1=4+2，

12、x1=3.2.(05，浙江高考卷)= （ ）A2 B4 C D0 考场错解 D =专家把脉 无穷数列的和的极限不能求极限的和。对症下药 3（典型例题）已知数列log2(an-1)(nN*) 为等差数列，且a1=3,a2=5,则= ( )A2 B C1 D考场错解 D a1=3,a2=5. log2(a1-1)=1.log2(a2-1)=2. an-1=2n.an=2an+1. .故专家把脉 无限项数列和的极限应变成有限项数列的极限，不能求极限的和。对症下药 C a1=3,a2=5.log2(a1-1)=1,log2(a2-1)=2.an-1=2n,an=2n+1. =14 (典型例题) 计算：

13、=_。考场错解 =1专家把脉 ，而不是1。对症下药 =35 （典型例题）已知un=an-1b+an-2b2+abn-1+bn(nN*,a>0,b>0).()当a=b时，求数列un的前项n项和Sn。（）求。考场错解 （）当a+b时，rn=(n+1)an.Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an.则aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1.两式相减：Sn=() =a.专家把脉 （）问运用错位相减时忽视a=1的情况。（）a=b是（）的条件，当ab时，极限显然不一定是a.对症下药 （）当a=b时，un=(n+1)an.这时数列un的前n项和Sn=2a+3a2

14、+4a3+nan-1+(n+1)an.式两边同乘以a,得aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1 式减去式，得（1-a）Sn=2a+a2+a3+an-(n+1)an+1若a1,(1-a)Sn=-(n+1)an+1+aSn=若a=1,Sn=2+3+n+(n+1)=()由（），当a=b时，un=(n+1)an,则=a.当ab时，un=an+an-1b+abn-1+bn=an1+=或a>b>0, =若b>a>0, =专家会诊1充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限C=C.(C为常数). =0.qn=0,|q|<1.2.对于型的数列极限，分子分母同除

15、以最大数的最高次项，然后分别求极限。3运算法则中各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个。考场思维训练1 若q为二项式（）8的展开式的常数项，则=_.答案：1/7 解析：可求得q=7, 2 已知点A（0，）、B（0，-）、C（4+，0）其中n为正整数，设Sn为三角形ABC外接圆的面积，则Sn=_.答案：4 解析；设外接圆的半径为Rn,则（）2+（4+-Rn）2=Rn2, Rn=3 已知等比数列xn的各项为不等于1的正数，数到yn满足yn=2logaxn(a>0,a1),设y4=17,y7=11.(1)求数列yn的前多少项最大，最大为多少？答案：由已知得，数列为关

16、数列，y4=17,y7=11,公差d=的前12项最大，最大为144.（2）设bn=2yn,sn=b1+b2+bn,求的值。答案： bn=2yn,Sn=b1+b2+bn, bn为等比数列.且公比为q=,Sn=4 设an=1+q+q2+qn-1(nN+,q±)，An=C1na1+C2na+Cnnan (1)用q和n表示An;答案：q1, an=(2)当-3<q<1时，求lim的值；答案：|<1,=命题角度 3函数的极限1（典型例题）若（）=1，则常数a,b的值为 （ ）Aa=-2,b=4 Ba=2,b=-4Ca=-1,b=-4 Da=2,b=4考场错解 A =故能约去（

17、1-x）, a=-2,b=4.专家把脉 （ax+a-b）中有在式（1-x）的求解中，注意a、b的符号。对症下药 C =故ax+a-b中必有因式（1-x），且极限为1。故a=-2,b=-4.2（典型例题）若则 （ ）A-1 B1C- D考场错解 D 则考场把脉 错误理解极限存在的条件。函数f(x)中必有因式（x-1）。对症下药 C故f(x-1)=x-1.f(x)=x. 3（典型例题）（）= （ ）A- B C- D考场错解 B 原式=专家把脉 在运算中注意符号的变化。对症下药 A = 4（典型例题）= （ ）A- B0 C D考场错解 B 当x-3,x+3=0,故=0。专家把脉 求函数极限时，分

18、母为0的因式应约去才可代入。对诊下药A 专家会诊1求函数的极限时，如果xx0即x0是连续的点。即使函数f(x)有意义的点，只需求f(x0)的值。就是函数的极限值。2当f(x)在x0处不连续时，即x=x0代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意义时再求f(x0)的值，即为极限值。3已知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。考场思维训练1 设f(x)在x0处可导，f(x0)=0则nf(x0-)=_.答案：-f(x0) 解析：=2 ( )A. B. C.0 D.2答案： B解析：略3 已知=a,且函数y=aln2x+c在1，e上存在反函数，则 （ ）

19、Ab(-，0)Bb(2e,+)Cb(-，0) (2e,+)Db(0，2e)答案： C解析：略4 设f(x)是x的三次多项式，已知=1，试求的值。（a为非零常数）.答案：解：由于可知f(2a)=0 同理f(4a)=0 可知f(x)必含有（x-2a）与（x-4a）有因式，由于f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C), 这里A、C均为选定的常数，由即即4a2A-2aCA=-1 同理，由于即8a2A-2Aca=1 由得C=3a,A=命题角度 4函数的连续性1（典型例题）极限f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的 （ ）A充分而不必要的条件B必要而

20、不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件考场错解 C f(x)存在f(x)在点x=x0处连续。专家把脉 f(x)f(x0)时，则f(x)在点x=x0处不连续。对症下药 B f(x)不一定等于函数值f(x0)，而f(x)在点x=x0处连续。则有f(x)=f(x0)2（典型例题）已知函数f(x)=，试判别f(x)在定义域内是否连续，若不连续，求出其不连续点。考场错解 4-nx0, xn4,x-2. f(x)的定义域为（-，-2）（-2，+）。当x=0时，f(x)=0,f(0)=0.故连续。故函数f(x)在定义域内连续。专家把脉 错把函数f(x)= 当作函数f(x)=对症下药 （1）当|x|&

21、lt;1时，f(x)= =0；（2）当x=-1时，f(x)=不存在；（3）当x>1时，f(x)=.(4)当x=1时f(x)=-1。f(x)的定义域为（-，-1）（-1，+）。而在定域内，x=1时。f(x)=0. f(x)=-1. f(x)不存在。故f(x)在x=1处不连续。f(x)在定义域内不连续。专家会诊1在判断函数的连续性时，充分运用它的重要条件，即f(x)=f(x0).前提是f(x)在x0处的极限要存在。2在求函数的不连续点时，或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。考场思维训练1 f(x)在x=1处连续，且=2，则f(1)等于 （ ）A

22、-1 B0 C1 D2答案： B解析：略2 =_.答案： 解析：利用函数的连续性，即3 设f(x)=A（0，2） B（0，1）C（0，1）（1，2） D（1，2）答案： C解析：即f(x)D x=1点不连续，显知f(x)在（0，1）和（1，2）连续。4 求函数f(x)=的不连续点和连续区间答案：解：不连续点是x=1,连续区间是（-，1）（1+）探究开放题预测预测角度 1数学归纳法在数列中的应用1已知数列an满足条件（n-1）an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(nN*), (1)求bn的通项公式；（2）求（）的值。解题思路 （1）运用归纳猜想证明。（2）裂项法先求数列的

23、和，再求和的极限。解答 1.(1)当n=1时，代入已知式子中，得a1=1,当n=2时，得a3=6，同理可得a4=28,再代入bn=an+n,得b1=2,b2=8,b3=18, 猜想bn=2n2,用数学归纳法证明：1°当n=1时，b1=a1+1=2.显然成立。n=2时,.结论成立。2°假设n=k(k2)时命题成立，即bk=2k2,即ak+k=2k2,ak=2k2-k,则n=k+1时，bk+1=ak+1+k+1=+k+1=(2k2-k-1)+k+1=(k+1)(2k+1)+(k+1)=(k+1)(2k+2)=2(k+1)2当n=k+1时，结论成立。由1°、2°

24、;可知bn=2n2.(2)原式=（）.2设函数f(x)对所有的有理数m、n都有|f(m+n)-f(m)| 证明：对所有正整数k有|f(2k)-f(2i)| 解题思路 运用数学归纳法证明。解答 1°当k=1时，左=0=右，命题成立。2°假设k=n时，不等式成立，即|f(2k)-f(2i)| 则k=n+1时，|f(2k+1)-f(2i)|= |f(2k+1)-f(2i)+f(2n)-f(2i)| |f(2k+1)-f(2i)|+= |f(2k+2n)-f(2i)|+ =n+=. 故当k=n+1时，命题也成立。由1°，2°可知原不等式成立。预测角度 2数列的极

25、限1已知（x）6的展开式的第五项等于，则（x-1+x-2+x-n）等于 A0 B1 C2 D-1 解题思路 利用二项式的通项公式求出x的值，再求数列和的极限。解答 B T5=C46（x-1）4()2=15x-1=x-1=,lim(x-1+x-2+x-n)=lim()=.选 B2设xn=,求数列xn的极限。解题思路 由于的极限都不存在，所以应先将xn变形，使之变成极限可求的数列。解答 因为xn=用除分子和分母，得xn=,而1<由1+得知再应用除法运算，即求得xn=.*3.已知a、b是不相等的正数，若=2，则b的取值范围是 （ ）A0<b2 B0<b<2Cb2 Db>

26、2解题思路 B 讨论a与b的大小后，分子、分母同除以，后再求由极限值求范围。解答 当a>b时，0<b<2.当a<b时，=-b<0不可能为2，故a<b不成立。b的范围是（0，2）。故选B预测角度 3函数的极限12求解题思路 将分子有理化，使分子分母极限存在。解答 =。预测角度 4函数的连续性1函数f(x)在x0处有定义是（fx）存在的 （ ）A充分不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解题思路 利用极限在某点存在性判断解答 D 函数在x0处有定义，但在此点处极限不一定存在，反之也不一定，如图（1）（2）。2设f(x)=当a取何值时，函数f

27、(x)是连续的？解题思路 利用连续的存在性的充要条件，即（x）=f(x0)，以及连续的定义。解答 x<0连续,x>0连续，只须判断，当x=0时，函数也连续时，从而求a的值。f(x)在x=0处有定义，且f(x)= f(x)=a.只有当a=时。f(x)才存在，且值为。又f(0)=a 当a=时。f(x)是连续函数。专家会诊1深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念，即函数f(x)在x0处有定义。f(x)在x0处有极限。f(x)=f(x0).函数f(x)在x0处连续反映在图像上是f(x)在x0处是不间断的。2由连续的定义，可以得到计算极限的一种方法：如果f(x)在定义区间内是连续的，则 f(

28、x)=f(x0)，只要求出函数值f(x0)即可。考点高分解题综合训练1 已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m，使得对任意nN,都能使m整除f(n),则最大的m的值为 （ ）A30 B26 C36 D6答案： C.解析：f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36f(1)、f(2)、f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整流器除。证明：n=1、2时，由上得证，设n=k(kl2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)

29、·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k2)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m的值等于36.2 记二项式（1+2x）n展开式的各系数和为an,其二项系数为b，则等于 （ ）A1 B-1 C0 D 不存在答案： B 解析：an=3n,bn=2n, 3 的展开式中的第五项是，则Sn等于 （ ）A1 B C D答案： A 解析：略4 已知a、bR,|a|>|b|,又，则a的取值范围是 （ ）Aa>1 B1-<a<1 C|a|>1 D-1&l

30、t;a<0或a>1答案： B 解析：略5 若f(x)=在点x=0处连续，则f(0)等于 ( )A B C1 D0答案： A 解析：略f(x) 6 观察下列式子： 则可归纳出_.答案：:1+归纳为1+7 =_.答案：0 解析：略8 an是（3-）n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，）则（）=_。答案：18 解析：略9 （+an+b）=3则a+b=_.答案：3 解析：略10 已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145(1)求数列an的通项公式bn;答案：解：设数列为bn的公差为d由题意知（2）设数列an的通项an=loga(1+)(其中a>0且a1)记Sn是

31、数列an的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论。答案：证明：由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+)而取n=1,有（1+1）=取n=2,有（1+1）（1+）>推测：（1+1）（1+）（）1+当n=1时，已验证（*）式成立.假设n=k(k1时（*）式成立，即（1+1）（1+）（1+）则当n=k+1时，（1+1）（1+）（1+=即当n=k+1时，（*）式成立由知，（*）式任意正整数n都成立.于是，当a>1时，Sn>logabn+1,当0<a<1时，Sn<logabn

32、+111 已知函数f(x)=logax(a>0且a1),若数列：2，f(a1),f(2),f(an),2n+4(nN*)成等差数列。（1）求数列an的通项an;答案：2n+4=2+(n+2-1)d, d=2, f(an)=2+(n+1-1)·2=2n+2, an=a2n+2(2)若0<a<1,数列an的前n项和为Sn,求Sn;答案：(3)若a=2,令bn=an·f(an),对任意nN*，都有bn>f-1(t),求实数t的取值范围。答案： bn=an·f(an)=(2n+2)a2n+2 =(2n+2)·22n+2=(n+1)

33、3;22n+3·bn为递增数列bn中最小的项为b1=2·25=26f-1(t)2t, 26>2t, t<612 设实数q满足|q|<1,数列an满足：a1=2,a20,an·an+1=-qn,求an表达式，又如果S2n<3,求q的取值范围。答案：解：a1·a2=-q,a1=2,a20,q0,a2=-,anan+1=-qn,an+1·an+2=q·an于是，a1=2,a3=2·q,a =2·qn猜想：a2n+1=-综合，猜想通项公式为下证：（1）当n=1,2时猜想成立（2）设n=2k-1时，a

34、2k-1=2·qk-1则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k-1a2k+1=2·qk即n=2k-1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时，a2k=-qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k,所以，a2k+2=-qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.综合所述，对一切自然数n，猜想都成立.这样所求通项公式为S2n=(a1+a3a2n-1)+(a2+a4+a2n)=2(1+q+q2+qn-1)-(q+q2+qn)=由于|q|<1, 依题意知，并注意1-q>0,|q|<1解得-1<q<0或0<q<13 若Sn和Tn分别表示数列an和bn的前n项和，对任意正整数an=-2(n+1),Tn-3S=4n.()求数列bn的通项公式；答案：an=-2(n+1) a1=4 d=-2Sn=-n2-3n Tn=3Sn+4n=-3n2-5n当n=1时，T1=b1=-3-5=-8当n2时，b