结构力学 力法

1、1第六章第六章 力力 法法6-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算6-9 6-9 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算6-3 6-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架6-2 6-2 力法基本原理力法基本原理6-1 6-1 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成和超静定次数6-4 6-4 超静定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构6-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用6-10 6-10 超静定结构计算的校核超静定结构计算的校核2一、超静定结构的组成一、超静定结构的组成(a)(a)静定结构静定结构: :组成上：无多余约束的几何不变体系。组成

2、上：无多余约束的几何不变体系。受力上：静定结构的反力、内力可由静力学平衡方程全部求解。受力上：静定结构的反力、内力可由静力学平衡方程全部求解。组成上：有多余约束的几何不变体系。组成上：有多余约束的几何不变体系。受力上：超静定结构的反力、内力仅由静力学平衡方程无受力上：超静定结构的反力、内力仅由静力学平衡方程无法全部求解法全部求解, ,还需借助于变形协调条件和物理关系共同组还需借助于变形协调条件和物理关系共同组建变形连续和位移边界方程作为补充方程与平衡方程联建变形连续和位移边界方程作为补充方程与平衡方程联立立, ,方可唯一地确定全部反力、内力。方可唯一地确定全部反力、内力。(b)超静定结构超静定

3、结构:(c)超静定结构区别于静定结构之处超静定结构区别于静定结构之处具有多余约束，去掉一个或若干个多余约束体系仍为几何不变体系。具有多余约束，去掉一个或若干个多余约束体系仍为几何不变体系。需要建立补充方程方可求出多余力。需要建立补充方程方可求出多余力。多余力可内部、外部、内外兼有。多余力可内部、外部、内外兼有。说明：一个超静定结构需要建立多少个补充方程，由该超静定结构的说明：一个超静定结构需要建立多少个补充方程，由该超静定结构的多余约束个数决定，有多少多余约束就需要建立多少个补充方程。多余约束个数决定，有多少多余约束就需要建立多少个补充方程。 6-1 6-1 超静定结构的组成和超静定次数超静定

4、结构的组成和超静定次数3 6-1 6-1 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成和超静定次数二、超静定次数二、超静定次数概念：将结构的多余约束的个数称作结构的超静定次数。概念：将结构的多余约束的个数称作结构的超静定次数。超静定结构的求解需要建立补充方程，而所建立的补充方程的个超静定结构的求解需要建立补充方程，而所建立的补充方程的个数数=多余约束个数多余约束个数=超静定次数超静定次数=-W。如何确定结构的超静定次数？如何确定结构的超静定次数？方法：从原结构中去掉方法：从原结构中去掉n个多余约束后，可使原结构变成静定结构，则：个多余约束后，可使原结构变成静定结构，则：原结构为原结构为n次超静

5、定结构。次超静定结构。或采用从原结构中去掉多余约束，使之成为静定结构，则：所去掉的或采用从原结构中去掉多余约束，使之成为静定结构，则：所去掉的多余约束的数目，即为原结构的超静定次数，所得到的静定结构称作多余约束的数目，即为原结构的超静定次数，所得到的静定结构称作原超静定结构的基本结构。原超静定结构的基本结构。如何去掉多余约束使之成为静定结构？如何去掉多余约束使之成为静定结构？方法方法:去掉一个滑动铰支座或切断一根链杆，相当于去掉一个约束或联系；去掉一个滑动铰支座或切断一根链杆，相当于去掉一个约束或联系；方法方法:去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当于去掉两个约束或联系；去掉一个固定铰支座或切

6、开一个单铰，相当于去掉两个约束或联系；方法方法:去掉一个固定支座或切开一个单刚结点，相当于去掉三个约束或联系；去掉一个固定支座或切开一个单刚结点，相当于去掉三个约束或联系；方法方法:将单刚结点改成单铰联接，相当于去掉一个转动约束或联系；将单刚结点改成单铰联接，相当于去掉一个转动约束或联系；4 6-1 6-1 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成和超静定次数n=2原结构原结构1X2Xn=1原结构原结构方法方法:去掉一个滑动铰支座或切断一根链杆，相当于去掉一个约束或联系；去掉一个滑动铰支座或切断一根链杆，相当于去掉一个约束或联系；方法方法:去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当于去掉两个约

7、束或联系；去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当于去掉两个约束或联系；基本结构基本结构1X1X基本结构基本结构原结构原结构2X1Xn=2基本结构基本结构1X2X基本结构基本结构5原结构原结构 6-1 6-1 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成和超静定次数1X2X1X2Xn=2基本结构基本结构方法方法:去掉一个固定支座或切开一个单刚结点，相当于去掉三个约束或联系；去掉一个固定支座或切开一个单刚结点，相当于去掉三个约束或联系；1X1X2X3X基本结构基本结构(2)1X2X3X基本结构基本结构(1)原结构原结构n=36 6-1 6-1 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成和超静定次

8、数原结构原结构1X2X3X方法方法:将单刚结点改成单铰联接，相当于去掉一个转动约束或联系；将单刚结点改成单铰联接，相当于去掉一个转动约束或联系；基本结构基本结构(3)原结构原结构不要把原结构拆成几何不要把原结构拆成几何可变体系。此外，要把可变体系。此外，要把超静定结构的多余约束超静定结构的多余约束全部拆除。全部拆除。n=31X2X3X说明说明:同一超静定结构去掉多余约束的方法很多同一超静定结构去掉多余约束的方法很多,相相应的得到的静定基本结构的形式很多应的得到的静定基本结构的形式很多,但必须是几何但必须是几何不变结构。不变结构。力法求解超静定结构的顺序力法求解超静定结构的顺序先用变形连续或位移

9、边界条件建立补充方程求解先用变形连续或位移边界条件建立补充方程求解多余力。多余力。再用平衡方程求其它反力、内力。再用平衡方程求其它反力、内力。76-2 6-2 力法基本原理力法基本原理一、力法的基本原理一、力法的基本原理以多余未知力作为基本未知量，将超静定结构转化为静定基本结构，其转以多余未知力作为基本未知量，将超静定结构转化为静定基本结构，其转化的等价条件是：基本结构在原荷载及全部多余力共同作用下，多余力处化的等价条件是：基本结构在原荷载及全部多余力共同作用下，多余力处沿多余力方向上的位移应与原结构相应处位移相一致的条件，据此建立力沿多余力方向上的位移应与原结构相应处位移相一致的条件，据此建

10、立力法方程，求解多余力即为原超静定结构相应处的多余力，此后得计算与静法方程，求解多余力即为原超静定结构相应处的多余力，此后得计算与静定结构无异。定结构无异。Ex：求图示超静定梁的内力图。已知：求图示超静定梁的内力图。已知：EI=CABl/2l/2EIq原结构原结构AB1PqAB1X11+X1AB11X 11=基本体系基本体系AB1Xq=（BV=0）8ABl/2l/2EIq原结构原结构6-2 6-2 力法基本原理力法基本原理Ex：求图示超静定梁的内力图。已知：求图示超静定梁的内力图。已知：EI=C（BV=0）基本体系基本体系AB1Xq=X1AB11X 11=+AB1X11AB1Pq解解: :选取

11、基本结构选取基本结构, ,确定基本未知量。确定基本未知量。建立力法方程建立力法方程1110BVP 11111X11110PX91 1）力法方程是）力法方程是位移方程位移方程。2 2）方程的物理意义：）方程的物理意义：基本结构在荷载基本结构在荷载F FP P和未知量和未知量X X1 1共同作用下沿共同作用下沿X X1 1方向的位移等于原结构方向的位移等于原结构B B支座竖向位移。支座竖向位移。3 3）系数的物理意义：）系数的物理意义：11基本结构在基本结构在X1=1作用下沿作用下沿X1方向的位移。方向的位移。1P基本结构在原荷载作用下沿基本结构在原荷载作用下沿X X1 1方向的位移。方向的位移。

12、6-2 6-2 力法基本原理力法基本原理说明说明:作作 图图1,PM MAB11X ABql1Mql2/2PM求求系数及自由项系数及自由项 1111， 1P1P2331111133lMldxlEIEIEI24111133248PPlM MqlqldxllEIEIEI 106-2 6-2 力法基本原理力法基本原理解方程解方程111138PXql叠加法作叠加法作MM图。图。11PMM XMQ图图 218ql218qlM图图5ql/83ql/8（+）(-)(-)Q图图可选择其它基本结构另解。可选择其它基本结构另解。11二、力法典型方程（以两次超静定刚架为例说明力法方程的建立）二、力法典型方程（以两次

13、超静定刚架为例说明力法方程的建立）6-2 6-2 力法基本原理力法基本原理原结构原结构BACq2X1XABCq1=02=021X 1222X2112111X X1ABCq1P2P=111112212211222200PPXXXX 力法典型方程力法典型方程126-2 6-2 力法基本原理力法基本原理说明说明:0ii主系数，主系数，副系数，可正、可负、可零。副系数，可正、可负、可零。ijji自由项，可正、可负、可零。自由项，可正、可负、可零。iP2,ijiiPiiijjiiPsssM MMM MdsdsdsEIEIEI进一步说明进一步说明: :力法求解超静定结构，可以选取多种不同形式的基本结构，无

14、论选取那种力法求解超静定结构，可以选取多种不同形式的基本结构，无论选取那种形式的基本结构，也无论是哪种类型的超静定结构，只要超静定次数相同其形式的基本结构，也无论是哪种类型的超静定结构，只要超静定次数相同其力法方程的形式就相同，（不包括含有弹性支承及支移的超静定结构）但力力法方程的形式就相同，（不包括含有弹性支承及支移的超静定结构）但力法方程及方程中的系数和自由项的力学意义不同。法方程及方程中的系数和自由项的力学意义不同。基本结构的合理选取基本结构的合理选取(a)(a)基本结构必须是几何不变的静定结构。基本结构必须是几何不变的静定结构。(b)(b)同一超静定结构可以选取多种不同形式的静定基本结

15、构，虽然按照它同一超静定结构可以选取多种不同形式的静定基本结构，虽然按照它们计算所得的结果相同（内力图相同），但计算过程的繁简程度差异很们计算所得的结果相同（内力图相同），但计算过程的繁简程度差异很大。其中使力法方程系数和自由项易求且使力法方程中副系数和自由项大。其中使力法方程系数和自由项易求且使力法方程中副系数和自由项尽可能多的为零的基本结构是最合理的。尽可能多的为零的基本结构是最合理的。12,XX1122PMX MX MM136-2 6-2 力法基本原理力法基本原理原结构原结构BACq基本结构基本结构(2)qBAC1X2X1X2X基本结构基本结构(1)q三、推广力法方程为三、推广力法方程为

16、n次超静定结构的力法方程次超静定结构的力法方程11112211211222221122000nnPnnPnnnnnnPXXXXXXXXX 0PX 141niiPiMX MM1niiPiQX QQ1niiPiNX NN2220iiiiisssijijijijjisssiPiPiPiPsssMkQNdsdsdsEIGAEAM MkQQN NdsdsdsEIGAEAM MkQQN NdsdsdsEIGAEA6-2 6-2 力法基本原理力法基本原理Q图图N图图Xi i=1，2，3n。156-3 6-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架一、超静定梁和刚架一、超静定梁和刚架 力法方程的系数和自由项力法方程

17、的系数和自由项 2,ijiiPiiijjiiPsssMMMMMdsdsdsEIEIEI 1niiPiMX MMQ图图N图图166-3 6-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架超静定梁超静定梁ABqCD基本体系基本体系X1X2lllqEIEIEIABCD11M图图12M图图DABqCABCDX1=1ABCDX2=1MP图图82ql解解:选取基本体系确定基本未知量选取基本体系确定基本未知量建立力法方程建立力法方程111112212211222100PPXXXX 作作 图图12,PMMM求求系数及自由项系数及自由项 112223lEI12216lEI312,024PPqlEIEx：作内力图：作内力图

18、176-3 6-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架解方程解方程312122036242063llqlXXEIEIEIllXXEIEI211()15Xql221()60XqlPMXMXMM2211叠加法作叠加法作MM图。图。Q图图 215ql211120ql260qlABCD M图图1730ql1330ql60ql12qlABCD Q图图186-3 6-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架超静定刚架超静定刚架 （见书）（见书） 二、超静定排架二、超静定排架 E1I1E2I2E1I1E2I2EA 排架排架单跨排架单跨排架双跨排架双跨排架例例: : 求作图示排架弯矩图。求作图示排架弯矩图。EIEI

19、原结构5kN/mEA EIEA 6m2m19解解:选取基本体系确定基本未知量选取基本体系确定基本未知量1111221211222200PPXXXX求系数和自由项求系数和自由项建立力法方程建立力法方程6-3 6-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架作作 图图12,PM M MMP图图5kN/m90kN.mX1=1661M图图111114426 6 63EIEI 22X2=1882M图图12211111086 8 66 2 636EIEI 3221110248233EIEI121 138106 906,034PPEIEI 5kN/m基本体系基本体系X2X12017.375()XkN 压22.334

20、()XkN 压M图(kN.m)1.475m45.7525.5818.674.675.4412121441088100108102403XXEIEIEIXXEIEI1212144108810032410240XXXX 作作MM图图1122PMM XM XM解方程解方程6-3 6-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架216-4 6-4 超静定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构一、超静定桁架一、超静定桁架 2111,nnnijiiPiiijjiiPiiiN N lN lN N lEAEAEA1niiPiNX NNEx：求图示超静定桁架结构的内力。已知：各杆求图示超静定桁架结构的内力。已知：各杆EA=

21、C。aa11X aaPPaaPP原结构原结构aa1XPP基本体系基本体系1111221N图图P000000PN图图解解:选取基本体系确定基本未知量选取基本体系确定基本未知量建立力法方程建立力法方程作作 图图1,PN N11110PX 求求系数及自由项系数及自由项 22114 12114222aaaEAEA 226-4 6-4 超静定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构1111PPNN lPaP aEAEAEA 解方程解方程11110.1044 12PPXP作作N N图图11PNX NNaaPPN图图0.896P-0.104P-0.104P-0.104P0.147P0.147P0023EAFPaa

22、Ex：求图示超静定桁架结构的内力。已知：各杆求图示超静定桁架结构的内力。已知：各杆EA=C。6-4 6-4 超静定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构选取基本体系确定基本未知量选取基本体系确定基本未知量建立力法方程建立力法方程01111PX作作 图图1,PN NFPABX1aa基本体系基本体系FPFP0002PFFNP图图ABaaFP图图1NFABX1=1111122aa求求系数及自由项系数及自由项 24211112 (2) (2)241 114 (12)44 2 NF laaEAEAaaaEAEA 111(2) (2)2212(12)NNPPPPPF F lFaFaEAEAF aEA 1111

23、2(12)1/( )24 (12)PPPFaEAXFEAa压6-4 6-4 超静定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构求求系数及自由项系数及自由项 解方程解方程作作N N图图11PNX NNPF22PF21PF21PF22PF21PF21FN图图FPFPFPFP25二、超静定组合结构二、超静定组合结构 6-4 6-4 超静定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构2211nniiiisiiMN ldsEIEA11nnijijijjiiiMMNN ldsEIEA11nniPiPiPsiiM MN N ldsEIEA 1niiPiMX MM1niiPiNX NN梁式杆梁式杆桁杆桁杆266-4 6-4 超静

24、定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构Ex：力法求组合结构梁式杆的力法求组合结构梁式杆的M图；桁杆图；桁杆N图。已知：梁式杆图。已知：梁式杆EI；桁杆桁杆EA。2aaaaPP2aaaaPPX12aaaaPP2aaaaX1=1解解:选取基本体系确定基本未知量选取基本体系确定基本未知量建立力法方程建立力法方程作作 图图 11,PPMN MN求系数和自由项求系数和自由项11110PX -1-122aa111,M N图图,PPM N图图-PP2P2PP/2P/22PPa/2Pa/2027223211311111122122221 234 128,03PPPsaaaaaaaEIEAaM MN N lads

25、EIEAEIEA6-4 6-4 超静定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构求系数和自由项求系数和自由项解方程：解方程： X1=0叠加内力图叠加内力图1111PPPPMX MMMNX NNNPP,PPMM NN图图-PP2P2PP/2P/22PPa/2Pa/20286-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用力法求解超静定结构，力法方程为一含有力法求解超静定结构，力法方程为一含有n个未知量的个未知量的n元一次线形代数方程元一次线形代数方程组。若想求解此方程以及求解其中的系数和自由项工作量较大，非常麻烦。组。若想求解此方程以及求解其中的系数和自由项工作量较大，非常麻烦。111122112112222

26、21122000nnPnnPnnnnnnPXXXXXXXXX为简化计算，应设法使力法方程中的副系数和自由项尽可能多的为零。为简化计算，应设法使力法方程中的副系数和自由项尽可能多的为零。特别当特别当iP=0时，时，Xi=0 （i=1 2，n。）。） M=MP若若ij=0时，时，（ij ）方程变为）方程变为n个独立的方程个独立的方程 11112222000PPnnnnPXXX 29基本体系基本体系3X1X2XFPFPFPFPEI1 hEI1 h原结构原结构aal/2l/2EI26-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用若想使副系数尽可能多的为零，应对基本结构和基本未知量作合理的选择。若想使副系数

27、尽可能多的为零，应对基本结构和基本未知量作合理的选择。下面以对称结构为例进一步说明。下面以对称结构为例进一步说明。利用对称结构适当选择静定基本结构，可使力法方程中的副系数尽可能多的利用对称结构适当选择静定基本结构，可使力法方程中的副系数尽可能多的为零，从而使计算简化。为零，从而使计算简化。一、结构对称性及基本未知量的对称性和反对称性的应用一、结构对称性及基本未知量的对称性和反对称性的应用计算超静定对称结构时，应选择对称的静定基本结构以对称和反对称的多计算超静定对称结构时，应选择对称的静定基本结构以对称和反对称的多余力作为基本未知量，可使计算简化。余力作为基本未知量，可使计算简化。X1，X2对称

28、未知力对称未知力X3反对称未知力反对称未知力111122133121122223323113223333000PPPXXXXXXXXX 301331233200111122121122223333000PPPXXXXX （反对称）（反对称）3M图图l/2l/213X（对称）（对称）2M图图hh12X（对称）对称）1M图图1111X6-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用只含正对称多余力的方程只含正对称多余力的方程只含反对称多余力的方程只含反对称多余力的方程结论：结论： 正对称弯矩图与反对称弯矩图图乘结果为零。正对称弯矩图与反对称弯矩图图乘结果为零。正对称多余力引起的反对称多余力方向上的位移

29、为零。正对称多余力引起的反对称多余力方向上的位移为零。31=0反对称多余力引起的正对称多余力方向上的位移为零。反对称多余力引起的正对称多余力方向上的位移为零。13=0316-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用FPaFPFP(对称）对称）FPaMP图图二、荷载的对称性与反对称性的应用二、荷载的对称性与反对称性的应用在利用对称结构的同时再次利用荷载的对称与反对称关系可进一步简化力法在利用对称结构的同时再次利用荷载的对称与反对称关系可进一步简化力法方程的自由项从而达到简化基本未知量的结果。方程的自由项从而达到简化基本未知量的结果。对称结构受对称荷载对称结构受对称荷载FPFPEI1 hEI1 h

30、原结构原结构aal/2l/2EI2基本体系基本体系3X1X2XFPFP（反对称）（反对称）3M图图l/2l/213X（对称）（对称）2M图图hh12X（对称）对称）1M图图1111X326-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用111122121122223333000PPPXXXXX30P1230XMXNXQ对称结构受反对称荷载对称结构受反对称荷载al/2aFPFPl/2EI1 hEI1 h原结构3X1X2XFPFP基本体系FPFP（反对称）FPaFPaMP图EI2336-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用（对称）111X11M图（对称）12X2M图（反对称）l/213Xl/2hh3

31、M 图111122121122223333000PPPXXXXX 1200PP123000XMXNXQ结论结论:无论是静定结构还是超静定结构无论是静定结构还是超静定结构受对称荷载时，内力、变形正对受对称荷载时，内力、变形正对称称，M、N图正对称，图正对称，Q图反对称。图反对称。且对称轴所在截面只存在正对称且对称轴所在截面只存在正对称内力，反对称内力等于零。内力，反对称内力等于零。受反对称荷载时，内力、变形反受反对称荷载时，内力、变形反对称对称，M、N图反对称，图反对称，Q图正图正对称且对称轴所在截面只存在反对称且对称轴所在截面只存在反对称内力，正对称内力等于零。对称内力，正对称内力等于零。34

32、6-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用对称结构在荷载作用下内力计算要点归纳如下对称结构在荷载作用下内力计算要点归纳如下:选取对称的基本结构以对称的和反对称的多余力作为基本未知量。选取对称的基本结构以对称的和反对称的多余力作为基本未知量。正对称荷载作用下，只需求解正对称的多余力。正对称荷载作用下，只需求解正对称的多余力。反对称荷载作用下，只需求解反对称的多余力。反对称荷载作用下，只需求解反对称的多余力。非对称荷载作用下，作法有二：非对称荷载作用下，作法有二：不分解荷载仅利用结构的对称关系进行计算。不分解荷载仅利用结构的对称关系进行计算。将荷载分解成正对称荷载和反对称荷载两部分将荷载分解成正

33、对称荷载和反对称荷载两部分,分别计算再叠加。分别计算再叠加。说明：将荷载分解成正对称荷载和反对称荷载两部分的叠加，说明：将荷载分解成正对称荷载和反对称荷载两部分的叠加，在满在满足一定的条件时足一定的条件时，比直接利用原荷载更简便，甚至有时可将高次超，比直接利用原荷载更简便，甚至有时可将高次超静定简化成低次超静定，低次超静定简化成静定结构。静定简化成低次超静定，低次超静定简化成静定结构。356-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用三、半部结构的利用三、半部结构的利用奇数跨对称结构奇数跨对称结构受正对称荷载受正对称荷载PP受反对称荷载受反对称荷载P半部结构半部结构q半部结构半部结构qq半部结构

34、半部结构q366-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用偶数跨对称结构偶数跨对称结构受正对称荷载受正对称荷载受反对称荷载受反对称荷载PPIPPIPI/2 半部结构半部结构PI/2 半部结构半部结构qq半部结构半部结构q半部结构半部结构q37练习练习:38练习练习:396-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用EI1EI2hl/2l/2EI12qEI1EI2hl/2l/2EI12q2q+=四、成组未知力的应用四、成组未知力的应用理论依据理论依据:对称结构在正对称荷载作用下，变形、内力、支座反力正对称。对称结构在正对称荷载作用下，变形、内力、支座反力正对称。 对称结构在反对称荷载作用下，变形、

35、内力、支座反力反对称。对称结构在反对称荷载作用下，变形、内力、支座反力反对称。基本体系基本体系2qX1X1EI2EI1基本体系基本体系X2X2EI2EI12q2qEI1选取基本体系选取基本体系确定基本未知量确定基本未知量例例:原结构原结构EI1EI2hl/2l/2qEI1y1y240建立力法方程建立力法方程0022221111PPXX22221111/PPXXl( (对称对称) )1M图图2q2lll2M图图X1=1X1=1MP1图图214ql6-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用X2=1X2=12q作作 图图1212,PPM M MM解方程解方程求系数自由项求系数自由项311123lE

36、I2411111323448PqlqlllEIEI 叠加叠加 112212PPMX MX MMM112212yXXyXX24ql24ql22qlMP2图图212qlqMP图图416-5 6-5 对称结构的利用对称结构的利用Ex：作图示梁的弯矩图。已知：各杆：作图示梁的弯矩图。已知：各杆EI=Clllq111M图图lllX1=1X1=1lllqql2/8ql2/8ql2/8MP图图解解:选取基本体系确定基本未知量选取基本体系确定基本未知量建立力法方程建立力法方程11110PX 作作 图图1,PM M求系数自由项求系数自由项1153lEI231122386PqlqllEIEI解方程解方程21111

37、10PqlX 叠加叠加11PMX MMql2/10ql2/10M图图lllX1X1q基本体系基本体系42M1MPM0P1 111 XEIplEIlP2331311,231PXPMXMM1143例例 5. 试用对称性对结构进行试用对称性对结构进行简化。简化。EI为常数。为常数。P /2P/2P/2P /2I/2I/2P /2P /2I/2方法方法 1PP /2P /2PP /4P /4P /4I/2P /4P /4P /4P /4I/2P /4P/4P/4I/2P/4I/2P /444例例 5. 试用对称性对结构进行试用对称性对结构进行简化。简化。EI为常数。为常数。方法方法 2PP /2P /

38、2PP /4P/2P /4P /4P /2P /4P /4P/2P /4P /4P /2P /4P /4P /4P /4P /4I/2P /4P/4P/4I/2P/4I/2返返 回回456-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算说明：静定结构受非载荷因素作用时，结构不产生内力，只产生变形和位移。说明：静定结构受非载荷因素作用时，结构不产生内力，只产生变形和位移。超静定结构由于多余约束的存在，在非载荷因素作用下，不但产生变形位移，超静定结构由于多余约束的存在，在非载荷因素作用下，不但产生变形位移，还产生内力。总之，使静定结构产生位移的因素都将使超静定结构

39、产生内力。还产生内力。总之，使静定结构产生位移的因素都将使超静定结构产生内力。超静定结构在非载荷因素作用下产生的内力超静定结构在非载荷因素作用下产生的内力自内力。力法计算此种内力自内力。力法计算此种内力的步骤与荷载作用下的内力计算基本相同。的步骤与荷载作用下的内力计算基本相同。一、支座移动引起的超静定结构的内力计算一、支座移动引起的超静定结构的内力计算超静定结构由于支座移动引起的的内力计算与荷载作用下的内力计算无多大超静定结构由于支座移动引起的的内力计算与荷载作用下的内力计算无多大区别，不同之处是力法方程中的自由项的计算以及去掉约束后，多余力处沿区别，不同之处是力法方程中的自由项的计算以及去掉

40、约束后，多余力处沿多余力方向上的位移应等于原结构在该处的实际位移。多余力方向上的位移应等于原结构在该处的实际位移。Ex:写出图示刚架的力法方程并求出自由项写出图示刚架的力法方程并求出自由项iC 。原结构原结构ACEI lEI lba466-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算原结构原结构ACEI lEI lbaEx:写出图示刚架的力法方程并求出自由项写出图示刚架的力法方程并求出自由项iC 。选取基本体系确定基本未知量。选取基本体系确定基本未知量。建立力法方程建立力法方程CABX1X2ba1=CH=02=CV=0基本体系基本体系I I01212111C

41、XX02222121CXXCABbX1X21=AH=-a2=A= 基本体系基本体系II IIaXXC1212111CXX222212147作作 1122,M R M R6-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算BC11,M R图图ll10X1=1A22,MR图图lllBCAX2=1l0111( 1)CRCalal 22(1)()CR Cblb l CABX1X2ba1=CH=02=CV=0基本体系基本体系I Iij的求法与前相同的求法与前相同Xi（i=1，2）1122MX MX M4822,MR图图ABCX2=1l11111,MR图图lABC1X1=1

42、221()CbR Cbll 11( 1)CR Cbb 6-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算CABbX1X21=AH=-a2=A= 基本体系基本体系II IIaXXC1212111CXX2222121由由Xi（i=1，2）1122MX MX M解题步骤：解题步骤： 选取基本体系确定基本未知量。选取基本体系确定基本未知量。建立力法方程建立力法方程作作 1122,M R M R解方程解方程叠加叠加1122MX MX M求系数自由项求系数自由项iCiR C 49基本体系基本体系ABEI lX16-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度

43、变化时超静定结构的计算例例6-10 求作超静定结构地弯矩图。已知：求作超静定结构地弯矩图。已知：EI=CABEI A=l=a选取基本体系确定基本未知量。选取基本体系确定基本未知量。建立力法方程建立力法方程1111CXa 作作 图图11,MRABX1=111,MR图图ll1求系数和自由项求系数和自由项31111,3ClRClEI 解方程解方程313lXlaEI13iaXlli=EI/l 杆件的线刚度杆件的线刚度叠加叠加11MX M3AaMilABl=a50小结：小结：1 1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上可能保留有支当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上可能保留有支座移动，也可能

44、没有支座移动。应当尽量取无支座移动的基本体系座移动，也可能没有支座移动。应当尽量取无支座移动的基本体系。3 3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件的抗弯刚度当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件的抗弯刚度EI EI 成正成正比，比，EI EI 越大，内力越大。越大，内力越大。6-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算iR为基本体系由为基本体系由X X=1=1产生的支座反力；产生的支座反力；C为基本体系的支座位移。为基本体系的支座位移。iCiRC 2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求解：当基本体系有支座移动时，自由项按下式求解：51二、力法求解

45、荷载作用下具有弹性支座的超静定结构二、力法求解荷载作用下具有弹性支座的超静定结构6-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算弹簧支座分为拉压弹簧支座和转动弹簧支座两类，如下图示。弹簧支座分为拉压弹簧支座和转动弹簧支座两类，如下图示。转动弹簧支座转动弹簧支座MMk拉压弹簧支座拉压弹簧支座FPPFk 526-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算例例：求图示具有弹簧支座梁的求图示具有弹簧支座梁的MM图。图。33EIkl 原结构原结构ABEI lq基本体系基本体系EI lqX1X1=1l图图1MqMP图图212ql选取

46、基本体系确定基本未知量。选取基本体系确定基本未知量。建立力法方程建立力法方程11111PXkX 作作 图图1,PM M求系数和自由项求系数和自由项3113lEI2411133248PqlqlllEIEI解方程解方程33411383XllqlXEIEIEI1316qlX 叠加叠加11PMX MM5ql2/16ql2/8说明说明:若选取带弹簧的静定基本结构，则力法方程的系数和自由项的计算应若选取带弹簧的静定基本结构，则力法方程的系数和自由项的计算应考虑弹簧的变形引起的位移。考虑弹簧的变形引起的位移。53例例：求图示具有弹簧支座梁的求图示具有弹簧支座梁的MM图。图。ABEI lq33EIkla) 原

47、结构原结构ABEI lq33EIklb)b) 基本体系基本体系X1另解另解: 1) 基本体系见图基本体系见图 b)。01111PX2)2) 力法方程：力法方程：3)3) 求系数和自由项：求系数和自由项： 111111 111PPP6-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算546-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算荷载产生的变形图荷载产生的变形图 1P4/26qlqlkEIABq1PP1X X1 1= =1 1产生的变形图产生的变形图21/3lklEIABX1=111 111111,MR图图AB1X1=11l

48、MP，RP图图ABq82ql22ql5ql2/16ql2/833EIkl原结构原结构ABEI lq5521111516PqlX 6-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算综述综述:2211nniiiiliiMRdxEIk11nnijijijliiM MRRdxEIk11nniPiPiPliiM MRRdxEIk 当反力方向相反时乘积取负值。当反力方向相反时乘积取负值。22111111112312333lMRdxEIklllEIlEIEI 1111123333112123382524624PPPPPlM MRRdxEIkqlqlllEIEIlqlqlql

49、EIEIEI 4)4) 解方程解方程: :5)5) 叠加弯矩图叠加弯矩图566-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算三、温度变化引起的超静定结构的内力计算三、温度变化引起的超静定结构的内力计算原结构原结构+t2+t1+t1+t2ABC1=02=02X1XABC+t2+t1=21X 1222X2112111X X1ABC1t2t+t2+t1111112212211222200ttXXXX 200,iiijiiiijssitiissMNM MMdsdsEIEItM dst N dshtth iX1niiiMX M作作 图图,iiM N57例例6-126-

50、12 图示刚架，混凝土浇筑时温度为图示刚架，混凝土浇筑时温度为15，到冬季时室外温度为，到冬季时室外温度为-35 ，室内温度为，室内温度为15，求内力图。各杆，求内力图。各杆EI EI 相同，相同，E=2107kPa，EI=14.4104kNm2，线膨胀系数为线膨胀系数为=10=10-5-5-1-1。原结构原结构6m8m35 C15 C15 C15 C35 C35C0.6m0.4m6-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算解解:1)1) 温度改变值：温度改变值：Ct5015351Ct01515205050tC 0050252tC 2)2) 选取基本体系

51、确定基本未知量选取基本体系确定基本未知量6m8m15 C15 C35 C35CX1基本体系基本体系583)3) 建立力法方程建立力法方程01111tX6-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算4)4) 作作 图图11,M N116m8mX1=11M图图1/61/6+6m8mX1=11N图图6)6) 解方程解方程5)5) 求系数和自由项求系数和自由项1111126 2 1 8 13EIEI 111050 116 2 1 82580.62635001003400333tMNtth 111194.4136tXEIkNm596-8 6-8 支座移动温度变化时超

52、静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算7)7) 叠加内力图叠加内力图1111,MX M NX N6m8m6m8m M图图（kNm）94.4136EIkNmN图图(kN)(-)15.722.66EIkN601)1) 温度改变值：温度改变值：Ct5015351Ct015152Ct50|050|Ct252/ )050(02)2) 力法方程力法方程01111tX31116(26 86)31432(144288)EIEIEI 另解：另解：3)3) 求未知力求未知力X1=1基本体系C50C0C0C0C50C50X1661NF1M图6-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化

53、时超静定结构的计算61 1110( )501(26 66 8)( 25) ( 1) 80.62( 7000200)6800tMNtth 1111/680043215.74()tEIXEI 4)4) 作弯矩图作弯矩图1XMM 超静定结构在温度变化或支座移超静定结构在温度变化或支座移动作用下，杆件内力与杆件抗弯动作用下，杆件内力与杆件抗弯刚度刚度EIEI成正比。成正比。94.4EI94.4EIM图6-8 6-8 支座移动温度变化时超静定结构的计算支座移动温度变化时超静定结构的计算62一、一、 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算按力法求出超静定结构的内力的思路来求按力法求出超静定结构的内力的思

54、路来求超静定结构的位移。超静定结构的位移。说明说明: 力法求解超静定结构的反力和内力，是借助于其静定基本结构的变力法求解超静定结构的反力和内力，是借助于其静定基本结构的变形与原超静定结构的变形一致的的条件建立力法方程，只要多余力满足力形与原超静定结构的变形一致的的条件建立力法方程，只要多余力满足力法方程，则基本结构就与原超静定结构具有相同的内力和变形，所以求出法方程，则基本结构就与原超静定结构具有相同的内力和变形，所以求出多余力后，将多余力作为荷载加在基本结构上，则静定基本结构在外界因多余力后，将多余力作为荷载加在基本结构上，则静定基本结构在外界因素和多余力共同作用下所产生的位移即为原超静定结

55、构的位移，这样超静素和多余力共同作用下所产生的位移即为原超静定结构的位移，这样超静定结构的位移计算就归结为其静定基本结构的位移计算问题了。此外原超定结构的位移计算就归结为其静定基本结构的位移计算问题了。此外原超静定结构的内力计算，并不因所选基本结构的不同而有所变化，故求解超静定结构的内力计算，并不因所选基本结构的不同而有所变化，故求解超静定结构的位移就归结为求解其任意基本结构的位移了。所以可任意选取静定结构的位移就归结为求解其任意基本结构的位移了。所以可任意选取基本结构施加虚设单位力后按公式计算超静定结构的位移。基本结构施加虚设单位力后按公式计算超静定结构的位移。6-9 6-9 超静定结构的位

56、移计算超静定结构的位移计算 0sssKMNMMkQQNNdsdsdsEIGAEAttRCh M、Q、N、t0、t、CK 为原超静定结构的内力，温变和支移。为原超静定结构的内力，温变和支移。,M Q N R为虚设单位力产生的内力、反力。为虚设单位力产生的内力、反力。63例：例：求单跨超静定梁中点竖向位移求单跨超静定梁中点竖向位移 CVCV，EI EI 为常数。为常数。解解: 力法解超静定作力法解超静定作M图图2411222( )32832384CVlqllqlA yEIEIEI原结构原结构ABql/2l/2CM图图C122ql122ql242qlA1A2AB1CABl/8l/8l/8M图图y1y

57、2虚设单位力虚设单位力 作作 图图1P M代入公式求位移代入公式求位移CV6-9 6-9 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算6432241 12211522( )2432812384CVqlllqlqlAyA yEIEIEI（）（）基本体系基本体系I IABqC1221qlX 1221qlX AACB122ql122qlCB1l/4M图M图A1A2y1y2ql2/24任选简支梁作为基本结构任选简支梁作为基本结构虚设单位力虚设单位力 作作 图图1P M另解：另解： 力法解超静定作力法解超静定作M图图6-9 6-9 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算代入公式求位移代入公式求位移CV65

58、321 1224441123A2443281613()( )96384384CVqlllqllyA yEIEIqlqlqlEIEI （）（）基本体系IIABqC1221qlX 22qlX CAB122ql122ql242qlCAB1l/2M图M图A2A1y2y16-9 6-9 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算666-9 6-9 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算归纳超静定结构位移计算的解题步骤：归纳超静定结构位移计算的解题步骤：（以刚架为例）（以刚架为例）荷载单独作用时荷载单独作用时力法求解超静定结构的多余力作力法求解超静定结构的多余力作M图。图。任选一合理基本结构施加单位力作任

59、选一合理基本结构施加单位力作 图。图。M代入位移计算公式代入位移计算公式0lAyMMdxEIEI 支移单独作用时支移单独作用时力法求解支移引起的超静定结构的多余力作力法求解支移引起的超静定结构的多余力作M图。图。任选一合理基本结构施加单位力任选一合理基本结构施加单位力 作作 图求支反力图求支反力 。M1P R代入位移计算公式代入位移计算公式0lAyMMdxRCRCEIEI 676-9 6-9 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算原结构原结构ACEI lEI lbaCABX1X2ba1=CH=02=CV=0=CABX1X2ba=+内力内力变形变形位移位移内力内力变形变形位移位移无内力无内力无

60、变形无变形位移位移内力内力变形变形位移位移=+68温变单独作用时温变单独作用时6-9 6-9 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算力法求解温变引起的超静定结构的多余力作力法求解温变引起的超静定结构的多余力作M图。图。任选一合理基本结构施加单位力任选一合理基本结构施加单位力 作作 图。图。,M N1P 代入位移计算公式代入位移计算公式 000lssNMMMtdxt dsdsEIhAyttEIh 原结构原结构+t2+t1+t1+t2ABC1=02=02X1XABC+t2+t12X1XABCABC+t2+t1=+内力内力变形变形位移位移无内力无内力变形变形位移位移内力内力变形变形位移位移=+69