结构力学第三章习题解析

1、第三章 结构地震反应分析 与抗震计算 3.1 概述概述3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析单自由度体系的弹性地震反应分析3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱单自由度体系的水平地震作用与反应谱3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析多自由度弹性体系的地震反应分析3.5 多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用3.6 竖向地震作用竖向地震作用3.7 结构平扭耦合地震反应与双向水平地震影响结构平扭耦合地震反应与双向水平地震影响3.8 结构非弹性地震反应分析结构非弹性地震反应分析3.9 结构抗震验算结构抗震验算3.1 3.1 概述概述由地震动引起的结构

2、内力、变形、由地震动引起的结构内力、变形、位移及结构运动速度与加速度等位移及结构运动速度与加速度等一、结构地震反应一、结构地震反应 ：由地震动引起的结构位移由地震动引起的结构位移地面运动地面运动结构动力特性：自振周期，振型和阻尼结构动力特性：自振周期，振型和阻尼1.1.结构地震反应结构地震反应2.2.结构地震位移反应结构地震位移反应：结构地震反应结构地震反应 影响因素影响因素 结构的地震作用效应就是指在地震作用下在结构中产生的弯矩、剪力、轴向力结构的地震作用效应就是指在地震作用下在结构中产生的弯矩、剪力、轴向力和位移等。和位移等。 3.1 3.1 概述概述：能引起结构内力、变形等反应的各种因素

3、能引起结构内力、变形等反应的各种因素二、地震作用二、地震作用 作用分作用分类类各种荷载：如重力、风载、土压力等各种荷载：如重力、风载、土压力等各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等 等效地震荷载等效地震荷载：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用作用作用直接作用直接作用间接作用间接作用结构的地震作用结构的地震作用: :地震时，由于地面运动使原来处于静止的结构受到动力作地震时，由于地面运动使原来处于静止的结构受到动力作用，产生受迫振动，由于地面的强迫振动在结构上产生的惯性力用，产生受迫振动，由于地面的强

4、迫振动在结构上产生的惯性力 地震作用的确定：反应谱理论和动力理论 反应谱理论：将多个实测的地面振动波分别代入单自由度反应方程，计算出反应谱理论：将多个实测的地面振动波分别代入单自由度反应方程，计算出各自最大弹性地震反应（加速度、速度、位移），从而得出结构最大地震各自最大弹性地震反应（加速度、速度、位移），从而得出结构最大地震反应与该结构自振周期的关系曲线，这个曲线就是反应谱，在工程中应用反应与该结构自振周期的关系曲线，这个曲线就是反应谱，在工程中应用比较广泛的是加速度反应谱。由于反应谱可计算出最大地震作用，然后按比较广泛的是加速度反应谱。由于反应谱可计算出最大地震作用，然后按静分析法计算地震反

5、，所以仍属于静力法。但由于反应批理论较真实地考静分析法计算地震反，所以仍属于静力法。但由于反应批理论较真实地考虑了结构振动特点，计算简单实用，因此目前是各国建筑抗震规范中给出虑了结构振动特点，计算简单实用，因此目前是各国建筑抗震规范中给出的一种主要抗震分析方法。的一种主要抗震分析方法。动力理论是直接通过动力方程采取逐步积分法求解出地震反应与时间的关动力理论是直接通过动力方程采取逐步积分法求解出地震反应与时间的关系曲线，这条曲线成为时程曲线，因此该方法又称为时程分析法。时程分系曲线，这条曲线成为时程曲线，因此该方法又称为时程分析法。时程分析法能更真实地反映结构地震响应随时间变化的全过程，并可处理

6、强震下析法能更真实地反映结构地震响应随时间变化的全过程，并可处理强震下结构的弹塑性变形，因此已成为抗震分析的一种重要方法，但由于时程法结构的弹塑性变形，因此已成为抗震分析的一种重要方法，但由于时程法只能使用特定的地震波，而且计算分析量大，因此目前我国规范仍主要采只能使用特定的地震波，而且计算分析量大，因此目前我国规范仍主要采用反应谱法进行抗震分析。用反应谱法进行抗震分析。 随着计算机技术和有限元理论的发展，利用大型有限元软件如随着计算机技术和有限元理论的发展，利用大型有限元软件如Ansys,Ansys,MSC.MarcMSC.Marc等对结构进行地震发应分析和有限元仿真分析已开始等到广等对结构

7、进行地震发应分析和有限元仿真分析已开始等到广泛的应用。泛的应用。3.1 3.1 概述概述1. 1. 连续化描述（分布质量）连续化描述（分布质量）三、三、结构动力计算简图及体系自由度结构动力计算简图及体系自由度描述结构质量的两种方法描述结构质量的两种方法采用集中质量方法确定结构计算简图采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）：（步骤）：2. 2. 集中化描述（集中质量）集中化描述（集中质量）工程上常用工程上常用 定出结构质量集中定出结构质量集中 位置（质心）位置（质心）将区域主要质量集中在质心；将区域主要质量集中在质心；将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去将次要质量合并到相邻主要质量的质点上

8、去 集中化描述举例集中化描述举例a a、水塔建筑、水塔建筑(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱主要质量：水箱部分主要质量：水箱部分次要质量：塔柱部分次要质量：塔柱部分水箱全部质量水箱全部质量部分塔柱质量部分塔柱质量集中到水箱质心集中到水箱质心单质点体系单质点体系b b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）(a) 水 塔hh(b) 厂 房(c) 多 、 高 层 建 筑(d) 烟 囱主要质量：屋面部分主要质量：屋面部分厂房各跨质量厂房各跨质量集中到各跨屋盖标高处集中到各跨屋盖标高处 集中化描述举例集中化描述举例c c、多、高层建筑、多、高层建筑主要质量

9、：楼盖部分主要质量：楼盖部分多质点体系多质点体系d d、烟囱、烟囱结构无主要质量部分结构无主要质量部分结构分成若干区域结构分成若干区域集中到各区域质心集中到各区域质心 (a) 水 塔hh(b) 厂 房(c) 多 、 高 层 建 筑(d) 烟 囱( a ) 水 塔hh( b ) 厂 房( c ) 多 、 高 层 建 筑( d ) 烟 囱多质点体系多质点体系3.2 3.2 单自由度弹性体系的地震反应单自由度弹性体系的地震反应一、运动方程一、运动方程cf地面水平运动的位移 质点相对地面的水平位移 质点的绝对位移 相应的绝对加速度 )(0tx)(tx)()(0txtx)()(0txtx 惯性力I为质点

10、的质量m与绝对加速度的乘积弹性恢复力S是使质点从振动位置恢复到平衡位置的一种力，它的大小与质点离开平衡位置的位移成正比 阻尼力D是一种使结构振动不断衰减的力，即结构在振动过程中，由于材料的内摩擦、构件连接处的摩擦、地基土的内摩擦以及周围介质对振动的阻力等，使得结构的振动能量受到损耗而导致其振幅逐渐衰减的一种力。阻尼力有集中不同的理论，目前应用最广泛的是所谓的粘滞阻溺理论，它假定阻尼力的大小与质点的速度成正比 )()()(0txtxmtI )()(tkxtS)()(txctD根据达朗贝尔原理，物体在运动中的任意瞬时，作用在物体上的外力与惯性力互相平衡 力的平衡条件：力的平衡条件：令令kmmc2二

11、、运动方程的解二、运动方程的解1. 1.方程的齐次解方程的齐次解自由振动自由振动 齐次方程齐次方程：022xxx 自由振动：在没有外界激励的自由振动：在没有外界激励的情况下结构体系的运动情况下结构体系的运动)()()()(0txmtkxtxctxm )()()(2)(02txtxtxtx 0)()()(tItDtS01为共轭复数为共轭复数，（2 2）若）若方程的解：方程的解：特征方程特征方程0222rr特征根特征根121r122r（4 4）若）若 ， 、 为负实数为负实数11r2rtrtrecectx2121)(121rrtetcctx)()(21（3 3）若）若，1r2r、)sincos()

12、(21tctcetxDDt物体从开始的最大位移处缓慢地逼近平衡位置，物体从开始的最大位移处缓慢地逼近平衡位置，完全不可能再作往复振动完全不可能再作往复振动过阻尼状态过阻尼状态物体从开始的最大位移处快速逼近平衡位置物体从开始的最大位移处快速逼近平衡位置临界阻尼状态临界阻尼状态体系产生振动体系产生振动欠阻尼状态欠阻尼状态21D其中其中图图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动各种阻尼下单自由度体系的自由振动当当1临界阻尼系数：临界阻尼系数：mcr2临界阻尼比（简称阻尼比）临界阻尼比（简称阻尼比）rcc（1 1）若）若tx(t)x(t)0=10112( )cossinx tctct10体系产生振动体系产

13、生振动无阻尼状态无阻尼状态任何一个振动系统，当任何一个振动系统，当阻尼阻尼增加到一定程度时，物体的运动是增加到一定程度时，物体的运动是非周期性的，物体振动连一次都不能完成，只是慢慢地回到平非周期性的，物体振动连一次都不能完成，只是慢慢地回到平衡位置就停止了。当阻力使振动物体刚能不作周期性振动而又衡位置就停止了。当阻力使振动物体刚能不作周期性振动而又能最快地回到平衡位置的情况，称为能最快地回到平衡位置的情况，称为“临界阻尼临界阻尼”，或中肯阻，或中肯阻尼状态。如果阻尼再增大，系统则需要很长时间才能达到平衡尼状态。如果阻尼再增大，系统则需要很长时间才能达到平衡位置，这样的运动叫过阻尼状态，系统如果

14、所受的阻尼力较小位置，这样的运动叫过阻尼状态，系统如果所受的阻尼力较小，则要振动很多次，而振幅则在逐渐减小，最后才能达到平衡，则要振动很多次，而振幅则在逐渐减小，最后才能达到平衡位置，这叫做位置，这叫做“欠阻尼欠阻尼”状态。状态。 所谓“欠”阻尼，说明阻尼不够大，因此这个阻尼并不足以阻止振动越过平衡位置。此时系统将做振幅逐渐减小的周期性阻尼振动。系统的运动被不断阻碍，所以振幅减衰，并且振动周期也是越来越长。经过较长时间后，振动停止。此时的振动方程是正弦函数、指数函数的积。振动曲线如图所示。 欠阻尼 图所所谓所谓“过过”阻尼，说明阻尼太大，振动根本无法越过平衡位置，只能以非周期运动形阻尼，说明阻

15、尼太大，振动根本无法越过平衡位置，只能以非周期运动形式缓慢地向平衡位置移动。为什么又要式缓慢地向平衡位置移动。为什么又要“缓慢地缓慢地”？是因为阻尼过大，所以这阻碍了？是因为阻尼过大，所以这阻碍了振动向平衡位置的移动，导致这种阻尼振动的停止也很缓慢。此时已经没有振幅、周振动向平衡位置的移动，导致这种阻尼振动的停止也很缓慢。此时已经没有振幅、周期一说了。这种振动的方程是双曲正弦函数、指数函数的积。振动曲线如图所示。期一说了。这种振动的方程是双曲正弦函数、指数函数的积。振动曲线如图所示。过阻尼 临界阻尼 欠阻尼、过阻尼使振动回到平衡位置所需时间都较长，那怎样使所需时间最短呢？当欠阻尼、过阻尼使振动

16、回到平衡位置所需时间都较长，那怎样使所需时间最短呢？当阻尼取一个特定的值的时候，振动会很快地靠近平衡位置，但又不越过平衡位置。这阻尼取一个特定的值的时候，振动会很快地靠近平衡位置，但又不越过平衡位置。这种振动的振动曲线似乎和过阻尼很像，但它们的振动方程完全不一样。过阻尼的振动种振动的振动曲线似乎和过阻尼很像，但它们的振动方程完全不一样。过阻尼的振动方程是双曲正弦函数、指数函数的积，而临界阻尼的振动方程是正比例函数、指数函方程是双曲正弦函数、指数函数的积，而临界阻尼的振动方程是正比例函数、指数函数的积。三种阻尼振动中，以临界阻尼回到平衡位置所需时间最短。其阻尼大小小于数的积。三种阻尼振动中，以临

17、界阻尼回到平衡位置所需时间最短。其阻尼大小小于过阻尼，而大于欠阻尼。所以，在各种需要尽快停止振动的地方，都尽力地调节其振过阻尼，而大于欠阻尼。所以，在各种需要尽快停止振动的地方，都尽力地调节其振动的频率、阻尼大小，使其达到临界阻尼状态，最大程度地消除振动的影响。动的频率、阻尼大小，使其达到临界阻尼状态，最大程度地消除振动的影响。初始条件初始条件: :)0(0 xx )0(0 xx , 初始速度初始速度01xc Dxxc002则则体系自由振动位移时程体系自由振动位移时程 sincos)(000txxtxetxDDDt初始位移初始位移当当 （无阻尼）（无阻尼）000( )cossinxx txtt

18、km固有频率，体系的圆频率，质点在固有频率，体系的圆频率，质点在2时间时间内的振动次数内的振动次数kmT22固有周期固有周期无阻尼单自由度体系无阻尼单自由度体系自由振动为简谐振动自由振动为简谐振动自振的振幅将不断衰减，直至消失自振的振幅将不断衰减，直至消失 有阻尼体系有阻尼体系无阻尼体系自由振动时的振幅不变，而有阻尼体系自由振动的曲线则是一条逐渐衰无阻尼体系自由振动时的振幅不变，而有阻尼体系自由振动的曲线则是一条逐渐衰减的波动曲线，即振幅随时间的增加而减小，并且体系的阻尼越大，其振幅的衰减减的波动曲线，即振幅随时间的增加而减小，并且体系的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。就越快。 严格地说，有阻尼

19、单自由度体系的自由振动不具有周期性，因为体系在自由振动过程严格地说，有阻尼单自由度体系的自由振动不具有周期性，因为体系在自由振动过程中其振幅不断衰减。但由于体系的运动是往复的，指点每振动一个循环所需要的时间中其振幅不断衰减。但由于体系的运动是往复的，指点每振动一个循环所需要的时间间隔是相等的，因此就把这个时间间隔称为有阻尼体系的周期间隔是相等的，因此就把这个时间间隔称为有阻尼体系的周期2T21有阻尼时的自振频率小于无阻尼时的自振频率，这说明由于阻尼的存在，将使结构有阻尼时的自振频率小于无阻尼时的自振频率，这说明由于阻尼的存在，将使结构的自振频率减小，周期增大。的自振频率减小，周期增大。 在实际

20、结构中，阻尼比的数值一般都很小，其值大约在实际结构中，阻尼比的数值一般都很小，其值大约 在之间。因此有在之间。因此有阻尼频率与无阻尼频率相差不大，在实际计算中可以近似地取阻尼频率与无阻尼频率相差不大，在实际计算中可以近似地取 1 . 001. 0例题例题3-13-1kg10000mkN/cm1k已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。，求该结构的自振周期。求该结构的自振周期。 解解：直接由式：直接由式(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱kmT22并采用国际单位可得并采用国际单位可得: : skmT99. 110/101

21、1000022233.3.方程的特解方程的特解IIII瞬时冲量瞬时冲量 冲量等于动量的增量冲量等于动量的增量 0mvmvPdtmPdtv 自由振动0)0(xmPdtx)0( tmPdtetxtsin)(sin)0()0(cos)0()(txxtxetxt求解方法：求解方法：将地面运动分解为很多个脉冲运动将地面运动分解为很多个脉冲运动t时刻的地面运动脉冲时刻的地面运动脉冲 4.4.方程的特解方程的特解III III 一般强迫振动一般强迫振动 )()()(2)(02txtxtxtx dx)(0 引起的体系反应为：引起的体系反应为： 叠加：体系在叠加：体系在t t时刻的地震反应为：时刻的地震反应为：

22、方程通解（单自由度体系）：方程通解（单自由度体系）：体系地震反应（通解）体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）强迫振动（特解）初位移、初速度引起初位移、初速度引起迅速衰减，可不考虑迅速衰减，可不考虑地面运动地面运动引起引起地面运动脉冲引起的单自由度体系反应地面运动脉冲引起的单自由度体系反应杜哈密积分杜哈密积分dtxetdxt)(sin)()(0)( dtextdxtxttt)(sin)(1)()()(000 tmPdtetxtsin)(在实际计算中可以近似地取 dtextxtt)(sin)(1)()(00 dtextxxtxetxttt)(sin)(1si

23、n) 0() 0(cos) 0()()(00 通解 3.33.3单自由度体系的水平地震作用与反应谱单自由度体系的水平地震作用与反应谱 反应谱是指单自由度体系最大地震反应与体系自振周期的关系曲线，根据反应量的反应谱是指单自由度体系最大地震反应与体系自振周期的关系曲线，根据反应量的不同，又分为位移反应谱、速度反应谱和加速度反应谱。由于结构所有的地震作用不同，又分为位移反应谱、速度反应谱和加速度反应谱。由于结构所有的地震作用（即质点上的惯性力）与质点运动的加速度直接相关，因此工程抗震领域，常采用（即质点上的惯性力）与质点运动的加速度直接相关，因此工程抗震领域，常采用加速度反应谱计算结构的地震作用。加

24、速度反应谱计算结构的地震作用。 一、水平地震作用的定义一、水平地震作用的定义地震作用就是地震时结构上受到的惯性力地震作用就是地震时结构上受到的惯性力)()()()(0txctkxtxtxm )()()(0tkxtxtxm 在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移将与该时刻的瞬时惯性力成正比。因此在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移将与该时刻的瞬时惯性力成正比。因此可以认为这一相对位移是在惯性力的作用下引起的，虽然惯性力并不是真实作用于可以认为这一相对位移是在惯性力的作用下引起的，虽然惯性力并不是真实作用于质点上的力，但惯性力对结构的作用和地震对结构的作用效果相当，所以可以认为质点上的力，但惯性

25、力对结构的作用和地震对结构的作用效果相当，所以可以认为是一种反映地震影响效果的等效力，利用它的最大值来对结构进行抗震验算，就可是一种反映地震影响效果的等效力，利用它的最大值来对结构进行抗震验算，就可以使抗震设计这一动力计算问题转化为相当于静力荷载作用下的静力计算问题。以使抗震设计这一动力计算问题转化为相当于静力荷载作用下的静力计算问题。 0)()()()(0txtxmtxcxk 上式等号右边的阻尼项 相对于弹性恢复力 来说是非常的小，可以忽略 )(txc)(tkx质点的绝对加速度质点的绝对加速度 )()()()()(20txtxmktxtxta dtextxtt)(sin)(1)()(00 )

26、()()()()(20txtxmktxtxta dtextatt)(sin)()()(00 由于地面运动的加速度是随时间而变化的，故为了求得结构在地震持续过程中所经受的最大地震作用，以便用一进行抗震设计，必须计算出质点的最大绝对加速度，即 max)(200max)(00max|)(sin)(|2|)(sin)(| )(|dtexTdtextaStTttta 由上式可知，质点的绝对最大加速度取决于地震时的地面运动加速度，结构的自振频率或自振周期以及结构的阻尼比。然而，由于地面水平运动的加速度极不规则，无法用简单的解析式来计算，故在计算 时，一般采用数值积分法。 aS)()()(0tkxtxtxm

27、 二、地震反应谱二、地震反应谱根据上式，若给定地震时地面运动的加速度读记录和体系的阻尼比 ，则可以计算出质点的最大加速度反应与自振周期的关系曲线，对于不同的阻尼比可以得到不同的 曲线。图3-6是根据1940年埃尔森特罗(El-Centro)地震时地面加速度记录绘制的加速度反应谱曲线。 （TAFT波和天津宁河地震波波和天津宁河地震波 ）aS图3-6 1940年埃尔森特罗(El-Centro)地震波加速度反应谱曲线由图埃尔森特罗(El-Centro)地震波加速度反应谱曲线可知加速度反应谱曲线有下列特点：加速度反应谱曲线为一多峰点曲线；当阻尼比等于零时，加速度反应谱的谱值最大，峰点越突出，即便是不大

28、的阻尼比也能使峰点下降很多，并且谱值随阻尼比的增大而减小；当结构的周期较小时，随着周期的增大其谱值急剧增大，但至峰点后，则随着周期的增大其反应逐渐减小，而且逐渐平缓。根据反应谱曲线，对于任何一个自由度弹性体系，如果已知其自振周期和结构的阻尼比就可以从曲线中查得该体系在特定地震记录下的最大加速度Sa。Sa与质点质量的乘积即为水平地震作用下的绝对最大值，即amSF 三、标准反应谱三、标准反应谱为了便于应用，在上式中引入能反应地面运动强弱的地面运动最大加速度， 并将其改写为下列形式 max0| )(|tx GkxSgxmgmSFaa)|)(|(max0max0 （1）地震系数可知地震系数k为 gxk

29、max0| 它表示地面运动的最大加速度与重力加速度之比。一般地，地面运动加速度越大，地面运动的最大加速度与重力加速度之比。一般地，地面运动加速度越大，则地震烈度越大，所以地震系数与地震烈度之间存在着意定的对应关系。如表则地震烈度越大，所以地震系数与地震烈度之间存在着意定的对应关系。如表3-1所示。需要注意的是，地震烈度的大小取决于地面运动最大加速度，而且还与地震的持续时间和地震波的频谱特性等有关。表3-1地震系数k与地震烈度的关系抗震设防烈度6度7度8度9度地震系数k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40（2）动力系数 同样，由（3-31）可知动力系数为max0| xSa m

30、ax)(200max0max|)(sin)(|12| )(|dtexxTtatTt 它是单质点最大绝对加速与地面加速度的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝单质点最大绝对加速与地面加速度的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面最大加速度放大多少倍。因为当对加速度比地面最大加速度放大多少倍。因为当 增大或减小时，增大或减小时， 相应随相应随之增大或减小，因此值之增大或减小，因此值 与地震烈度无关，这就可以利用所有不同烈度的地震记录与地震烈度无关，这就可以利用所有不同烈度的地震记录进行统计和计算。进行统计和计算。 max0| )(|tx aS这样就得到了 与 的关系曲线，称为 谱曲线，

31、它实际上就是相对于地面最大加速度的加速度反应谱，两者形状上完全一样。T根据不同的地面运动记录的统计分析可以看出，场地土的特点、震级以及震中距等都对反应谱曲线有明显的影响。场地土特性的影响：对于土质松软的场地， 谱曲线的主要峰点偏于较长的周期，而地质坚硬时则一般偏于较短的周期，同时，场地土越软，并且该松软土层越厚时， 谱曲线谱值越大，见图3-7（a）；震中距的影响：当烈度相同时，震中距远时加速度反应谱的峰点偏于较长的周期，近时则偏于较短的周期，3-7（b）。因此，在离大地震震中较远的地方，高柔结构因其周期较长所受到的地震破坏，将比在等烈度下较小或中等地震的震中地区所受的破坏严重，而刚性结构的地震

32、破坏情况则相反。 图3-7各种因素对反应谱的影响（a）场地条件对 谱曲线的影响；（b）同等烈度下震中距对加速度谱曲线的影响四、设计反应谱四、设计反应谱为了便于计算，建筑抗震设计规范采用相对于重力加速度的单质点绝对最大加速度，即 用 表示， 称为地震影响系数。由式（3-31）知 gSakgSaGkxSgxmgmSFaa)|)(|(max0max0 GF实际上就是作用于单质点弹性体系上的水平地震力与结构重力之比。（1）地震影响系数的确定。建筑结构地震影响系数曲线(图3-8)的阻尼调整和形状参数应符合下列要求：除有专门规定外，建筑结构的阻尼比应取0.05，地震影响系数曲线的阻尼调整系数应按1.0采用

33、，形状参数应符合下列规定： GkxSgxmgmSFaa)|)(|(max0max0 图3-8地震影响系数 曲线 地震影响系数最大值 1直线下降段的下降斜率调整系数； gT2T曲线下降段的衰减指数；特征周期；阻尼调整系数；结构自振周期 1直线上升段，周期小于0.1s的区段。2)水平段，自0.1s至特征周期区段，应取最大值。3)曲线下降段，自特征周期至5倍特征周期区段，衰减指数应取0.9。4)直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数应取0.02。 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定：1）曲线下降段的衰减指数应按下式确定

34、：55 . 005. 09 . 0式中曲线下降段的衰减指数；阻尼比。2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定：8)05. 0(02. 011直线下降段的下降斜率调整系数，小于0时取0。3) 阻尼调整系数应按下式确定：7 . 106. 005. 0122阻尼调整系数，当小于0.55时，应取0.55。 （2）特征周期Tg的确定。在地震影响系数的变化曲线中，需要用到特征周期。它是对应于反应谱值区拐点处的周期，根据场地类别、地震震级和震中距确定。建筑抗震设计规范按后两影响将设计地震分成三组，特征周期可以根据场地类别和设计地震分组确定，如表3-2所示。但在计算8、9度汉语地震作用时，其特征周期应增

35、加0.05s。表3-2特征周期（s）（3）水平地震影响系数的最大值 水平地震影响系数的最大值为maxmaxmaxmaxk建筑抗震设计规范取动力系数的最大值 ，相应的地震系数k对多遇地震取基本烈度时的0.35，对罕遇地震取基本烈度时的2倍左右，故 如表3-3所示。 25. 2maxmax表3-3水平地震影响系数最大值例题例题3-23-2kg10000mkN/cm1k水塔结构，同例水塔结构，同例3-13-1。，(a) 水 塔hh(b) 厂 房(c) 多 、 高 层 建 筑(d) 烟 囱 位于位于IIII类场地第二组，基本烈度为类场地第二组，基本烈度为7 7度度（地震加速度为（地震加速度为0.10g

36、),0.10g),阻尼比阻尼比03. 0求该结构多遇地震下的水平地震作用求该结构多遇地震下的水平地震作用 08. 0maxsTg4 . 0解；查表解；查表3-3，查表查表3-2，18. 103. 07 . 106. 003. 005. 017 . 106. 005. 012931. 003. 055 . 003. 005. 09 . 055 . 005. 09 . 00.931max0.4()()(0.08 1.18)1.99gTT由图由图3-123-12（地震影响系数谱曲线）（地震影响系数谱曲线） N207981. 9100000212. 0GF0.0212此时应考虑阻尼比对地震影响系数形状

37、的调整。此时应考虑阻尼比对地震影响系数形状的调整。返回目录返回目录3.4 3.4 多自由度弹性体系的水平地震反应的振型分解法多自由度弹性体系的水平地震反应的振型分解法一、计算简图对质量比较集中的结构，一般可将其视为单质点体系，并按单质点体系进行结构的地震反应分析。然而对于质量分布比较分散的结构，为了能较真实地反映其动力性能，可将其简化为多质点体系，并按多质点体系进行结构的地震反应分析图3-11 多质点体系二、运动方程图3-12两自由度体系得瞬时动力平衡 图3-13刚度系数 质点1作为隔离体 惯性力为： 弹性恢复力为 阻尼力 )(1011xxmI )(2121111xkxkS)(2121111x

38、CxCD 0121211121211111xmxkxkxCxCxm 质点2作为隔离体，同理0222211222211222xmxkxkxCxCxm 式中 k11为使质点1产生单位位移而质点2不动时，在质点1处所施加的水平力； k12为使质点2产生单位位移而质点1不动时，在质点1处所施加的水平力； c11为使质点1产生单位速度而质点2不动时，在质点1处所施加的阻尼力； c12为使质点2产生单位速度而质点1不动时，在质点1处所施加的阻尼力；kij反映了结构刚度的大小，称为刚度系数 222221122111kkkkkkkk222221122111cccccccc运动方程写成矩阵的形式 01 xmxk

39、xcxm 21212122211211222112112100 xxxxxxxxxkkkkkcccccmmm 当为一般的多自由度体系时，式中的各项为 nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxkkkkkkkkkkccccccccccmmmm 21212132122221112112122221112112100三、自由振动1、自振频率002221212221211111xkxkxmxkxkxm 微分方程组的解为 )sin()sin(2211tXxtXx0)(0)(2222212121212111XmkXkXkXmk有非零解，其系数行列式必须为零 0222221122111mkkkm

40、k0)(2121122211222211122mmkkkkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk对于一般的多自由度体系 0)(0)(0)(22211222222121121212111nnnnnnnnnnXmkXkXkXkXmkXkXkXkXmk写成矩阵形式 0)(2XmK nnnnnnnXXXxkkkkkkkkkkmmmm21321222211121121,00频率方程 0| |2mK-振型方程-频率方程2、主振型对于 对于 1212112111112kkmXX12112211222kkmXX质点的位移为 )sin()sin(111212

41、111111tXxtXx)sin()sin(222222222121tXxtXx振动过程中两质点的位移比值为 12112111112kkmxx12112211222kkmxx由此可见，这一比值不仅与时间无关，而且为常数。也就是说，在结构振动过程中的任意时刻，这两个质点的位移比值始终保持不变。这种振动形式通常称为主振型。当体系按 振动时称为第一振型或基本振型，按 振动时称为第二振型。因主振型只取决于质点位移之间的相对值，所以通常将其中某一个质点的位移值定为1。一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应就有多少个主振型，它们是体系的固有属性。12第1阶模态位移云图 第2阶模态位移云图第3阶模态位

42、移云图 第4阶模态位移云图在一般的初始条件下，体系得振动曲线将包含全部振型。这可由自由振动方程（3-79）的通解看出，该方程的特解见式（3-88）,其通解为这些特解的线性组合，即：)sin()sin(222211122tXtXx)sin()sin(222111111tXtXx在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动，它不在时简谐振动，而且质点之间位移的比值也不再是常数，其值将随时间而发生变化。3、主振型的正交性根据功的互等定理，即第一状态的力在第二状态的位移上所作的功，等于第二状态的力在第一状态的位移上所作的功，得：1222222112122122122122

43、111211XXmXXmXXmXXm022122211112221XXmXXm）（02212221111XXmXXm 对于两个以上的多自由度体系，任意两个振型j和k之间也都有着上述的正交性，它们可以表示为0222111knjnnkjkjXXmXXmXXm01nikijiiXXm用矩阵表达 0XkTjXm knkkknjnjjTjXXXXmmmmXXX21212100X表示多自由度体系任意两个振型对质量矩阵的正交性，事实上，多自由度任意两个振型对刚度矩阵也有正交性 0)(2XmK等式两边各前乘 kkkXmXk2TjXkTjkkTjXmXXkX2 0kTjXkX 0XkTjXm例3-3:计算图3.

44、15（a）所示二层框架结构的自振频率和振型，并验算其主振型的正交性。各层质量为 。第一层侧向刚度为 ，第一层侧向刚度为 tmtm50,6021mkNk/10541mkNk/10342解，求框架各层的层间刚度系数：KN/m103KN/m103KN/m108422242211242111kkkkkkkk由式（3-82），可得频率方程为05010310310360108244424解上式得sradsrad/32.40;/54.1721由式（3-89）可得振型为第一振型 第二振型 488. 011031086 .307604412112111112kkmXX71. 111031088 .1625604

45、412112211222kkmXX验算主振型的正交 对质量矩阵 对刚度矩阵 0171. 0X mX2T1T 0171. 133381488. 010X kX42T1T例题例题3-43-4三层剪切型结构如图所示，三层剪切型结构如图所示，求该结构的自振圆频率和振型求该结构的自振圆频率和振型 解：该结构为解：该结构为3 3自由度体系，自由度体系， 质量矩阵和刚度矩阵分别为质量矩阵和刚度矩阵分别为kg1010005 . 100023Mm/N106 . 06 . 006 . 08 . 12 . 102 . 136K先由特征值方程求自振圆频率，令先由特征值方程求自振圆频率，令60

46、0B2得得0B11-01B5 . 13202-B25| |2MK或或02-B5 . 7B5 . 5B23由上式可解得由上式可解得351. 0B161. 1B254. 3B3从而由从而由 B600得得 rad/s5 .141rad/s3 .312rad/s1 .463由自振周期与自振频率的关系由自振周期与自振频率的关系 /2T ，可得结构的各阶自振，可得结构的各阶自振s433. 0T1s202. 0T2s136. 0T3周期分别为周期分别为 8 .38960006006 .14841200012005 .2579)(21MK 1111nininiBA由由得得648. 0301. 060006 .

47、1484120012005 .257911211代入代入 01T1ininiCB校核校核08 .389648. 0301. 0600, 0则第一阶振型为则第一阶振型为 1648. 0301. 01同样可求得第二阶和第三阶振型为同样可求得第二阶和第三阶振型为 1601. 0676. 02 157. 247. 23为求第一阶振型，将为求第一阶振型，将 rad/s5 .141代入代入 将各阶振型用图形表示将各阶振型用图形表示: : 1110.6480.301-0.601-0.676-2.57-2.47第一阶振型第一阶振型第二阶振型第二阶振型第三阶振型第三阶振型振型具有如下特征振型具有如下特征: :

48、对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点 ) ) 利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否 4、振型分解法在一般的初始条件下，体系的振型曲线将包含全部振型，如两自由度体系。 )sin()sin(222111111tXtXx)sin()sin(222211122tXtXx如果用体系的振型作为基底，而用另一个函数q(t)作为坐标，就可以把联立方程组变成几个独立的方程，每个方程只包含一个未知项。

49、这样可以分别独立求解，从而使计算简化。这一方法称为振型分解法，它是求解多自由度体系地震反应的重要方法。 0 xmxkxcxm )()()(2)(02txtxtxtx 为简便起见，先考虑两自由度体系，如图3.16所示。将质点m1和m2在地震作用下任一时刻的位移x1(t)和x2(t)用其两个振型线性组合来表示，即22212122121111)()()()()()(XtqXtqtxXtqXtqtx这里用新坐标q1(t),q2(t)代替原有的两个几何坐标几何坐标x1(t)、x2(t)。只要q1(t),q2(t)确定，x1(t)、x2(t)也就可以确定，而q1(t),q2(t)实际上代表质点任一时刻的变

50、位中第一振型与第二振型所占的分量。由于x1(t)、x2(t)为时间的函数，所以q1(t),q2(t)也为时间函数，一般称为广义坐标广义坐标。当为多自由度体系时，上式可写成： njjijiXtqtx1)()(也可以写成下属矩阵的形式 qXx 21njXXXXX nixxxxx21nnjnnnnjnjXXXXXXXXXXXXX21222212112111 niqqqqq21体系的位移可以看成是由各振型乘以体系的位移可以看成是由各振型乘以相应的组合系数叠加而成，即将位移相应的组合系数叠加而成，即将位移按振型加以分解，故称为振型分解法按振型加以分解，故称为振型分解法 q为时间函数为时间函数 阻尼矩阵的

51、处理阻尼矩阵的处理振型关于下列矩阵正交：振型关于下列矩阵正交：刚度矩阵刚度矩阵阻尼矩阵阻尼矩阵振型分解法的前提：振型分解法的前提：质量矩阵质量矩阵无条件满足无条件满足采用瑞雷阻尼矩阵采用瑞雷阻尼矩阵 kmc21 0 xmxkxcxm 令 kmc21可得 021xmqXkqXkmqXm 两边各项乘以 TjX 021xmXqXkXqXkmXqXmXTjTjTjTj 上式等号左边的第一项nnTjjjTjTjTjnjnjTjTjqXmXqXmXqXmXqXmXqqqqXXXXmXqXmX 22112121根据振型对质量的矩阵的正交性，上式除了 一项外，其余项均为零，故有 jjTjqXmX jjTjTj

52、qXmXqXmX 同理，利用振型对刚度矩阵的正交性，（3-96）式左边第三项也可写成jjTjTjqXkXqXkX根据式（3-85），对于j振型有 ，故上式可以写成 jjjXmXk2jjTjjjTjqXmXqXkX2对于式（3-96）等式右边的第二项，同理可写成：jjTjjTjqXmXqXkmX)()(22121综合得 ), 2, 1(02221njxqqqjjjjjj nijiinijiijTjTjjXmXmXmXmX1211令 jjj2221则式（3-100）可写成 ), 2, 1(202njxqqqjjjjjjj 在式（3-103）中， 为对应于j振型的阻尼比，系数 通常根据第一、第二振型

53、的频率和阻尼比确定，即由式（3-103）得：j21、222221112121222122112222122122121122可以看出，式（3-103）与单自由度体系在地震作用下的运动微分方程在形式上基本相同，只是方程式（3-103）的等号右边多了一个系数 ，所以方程（3-103）的解为： jtjtjjjdtextqjj0)(0)(sin)()( 或)()(ttqjjjtjtjjdtextjj0)(0)(sin)(1)( 将式（3-106）代入（3-94），得 njjijjnjjijiXtXtqtx11)()()(上式就是振型分解法分析时，多自由度弹性体系在地震作用下其中任一质点mi位移的计算公

54、式。 式（3-108）中 的表达式见式（3-101），称 为体系在地震反应中第j振型的振型参与系数振型参与系数。实际上，就是当 质点位移时的 值。证明如下： jj121njxxxxjq 考虑两质点体系，令式（3-93）中的 ，得： 121 xx222121212111)()(1)()(1XtqXtqXtqXtq以 和 分别代入式（3-109）中的第一式和第二式，可得 111Xm122Xm2212222121212221112121111111)()()()(XXtqmXtqmXmXXtqmXtqmXm将上述两式相加，并利用振型的正交性，可得1212221111221111)(XmXmXmXmt

55、q同理，将 和 分别代入式（3-109）中的第一式和第二式，可得：211Xm222Xm2222222112222112)(XmXmXmXmtq故式（3-109）即可写成：22212121211111XXXX对于两个以上的自由度体系，还可写成一般关系式11jinjjXnj, 2, 1 nijiinijiijTjTjjXmXmXmXmX12113.53.5自振频率和振型的近似计算自振频率和振型的近似计算在进行结构的地震作用计算时，必须求出结构的自振周期和在进行结构的地震作用计算时，必须求出结构的自振周期和振型，在进行最简单的计算（底部剪力法）时，也要计算结振型，在进行最简单的计算（底部剪力法）时，

56、也要计算结构的基本周期。构的基本周期。结构自振周期的计算方法有：结构自振周期的计算方法有：1、理论与近似的计算、理论与近似的计算2、经验公式、经验公式 3、试验方法等、试验方法等一、矩阵迭代法（斯多都拉Stodola法） 体系按频率 振动时，其上各质点的位移幅值可分别表示为： nnnnnnnnnnnnnXmXmXmXXmXmXmXXmXmXmX22222112122222221212121221222111211将上式写成矩阵形式，即为：nnnnnnnnXXXmmmXXX2121321222211121122100或2XmX实际上，有结构动力学的知识知道，刚度矩阵和柔度矩阵互拟，式（3-113

57、）也可以用刚度矩阵表示为：12XmkX为了求得结构的频率和振型，就需要对式（3-113）进行迭代，其步骤如下：先假定一个振型并代入上式等号右边，进行求解后可得到 和主振型的第一次近似值，再将第一次近似值代入上式进行计算，则可得到 和主振型的第二次近似值，如此下去，直至前后两次计算结果接近为止。当一个振型求得后，则可以利用正交性求出较高次的频率和振型。22例3.5图3-17为三层框架结构，假定其横梁刚度无限大。各质量为 ，各层刚度分别为。试用矩阵迭代法求解结构的频率和振型。2545t2561t21mm，559t3mKN/m108.23KN/m1003. 9KN/m1043. 5535251kkk

58、，图3-17例3.2示意图（a）结构体系 （b）第一振型 （c）第二振型 （d）第三振型解：（1）柔度系数计算KNm1016. 4111KNm1095. 211;KNm1084. 11632133621232261131211kkkkkk（2）第一振型：设第一振型的近似值为 ，代入式（3-113）得：111131211XXX000.1953.0716.010145514551387104210111559025450256116.495.284.195.295.284.184.184.184.1100052152162113121132133323123222113121121131211XX

59、XmmmXXX则，第一振型的近似之为： ，再将此值代入（3-113）得：000. 1953. 0716. 0131211XXX000. 1489 . 0690. 01028512851218188710000. 1953. 0716. 0559025450256116. 495. 284. 195. 295. 284. 184. 184. 184. 110521521621131211XXX将此值第三次代入（3-113）得：000. 1479 . 0687. 01026912691202187210521521131211XXX从（a）式可以看出，最后一次振型与上一次的振型已经十分接近，因此结

60、构的基本振型可以确定为， ，如图3.17（b）所示。结构的基本频率 可以由（a）的任一式求得，例如根据 可得 000. 1479 . 0687. 0131211XXX1000. 113X000. 1102691000. 1521s/88rad. 8101269151（3）第二振型：对于第二振型，由式（3-112）得32221262232221232133323123222113121122322212559025450256116. 495. 284. 195. 295. 284. 184. 184. 184. 11000XXXXXXmmmXXX利用主振型的正交性，得（b） 055924101