大学物理：热学5-4,5,7

1、一、分子的自由度一、分子的自由度5-4 5-4 能量按自由度均分定律能量按自由度均分定律 理想气体内能理想气体内能自由度：自由度：完全确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数。完全确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数。分子自由度确定：分子自由度确定：按分子结构按分子结构1.单原子分子：一个原子构成一个分子一个原子构成一个分子3个平动自由度氦、氩等氦、氩等2. 刚性哑铃型双原子分子 氢、氧、氮等氢、氧、氮等xOyz),(zyx)O(2 1coscoscos222可用其与三个坐标轴的夹角来确定，但 ),( 1:首先确定一个质点的位置需3个独立坐标； 2:再确定两原子连线的方位只需2个方位角来确定连

2、线的方向5 5自由度自由度= =3 3平动自由度平动自由度+ +2 2转动自由度转动自由度双原子分子5 5自由度自由度= =3 3平动自由度平动自由度+ +2 2转动自由度转动自由度+ +1 1振动自由度振动自由度3. 刚性多原子分子水蒸汽、甲烷等水蒸汽、甲烷等xOyz),(zyxO)(H2 1:确定2个H原子的位置需5个独立坐标；2:再确定O原子还需要1个角度6 6自由度自由度= 5+1= 5+1= 3 3 平动自由度平动自由度+ + 2 2 转动自由度转动自由度+ + 1 1 转动自由度转动自由度 n原子数目3n3n自由度自由度=6=6自由度自由度+ +(3n-6)(3n-6)振动自由度振

3、动自由度多原子分子二、能量按自由度均分二、能量按自由度均分椐理想气体温度公式，分子平均平动动能与温度关系为kTvmk2321232222vvvvzyx,2222vvvvzyxkTvmvmvmzyx21212121222由于气体分子运动的无规则性，各自由度没有哪一个是由于气体分子运动的无规则性，各自由度没有哪一个是特殊的，因此，可以认为气体分子的平均平动动能是平特殊的，因此，可以认为气体分子的平均平动动能是平均分配在每一个平动自由度上的。均分配在每一个平动自由度上的。在温度为在温度为T 的的平衡态平衡态下，物质（下，物质（气体、液体、固体气体、液体、固体）分子的每）分子的每一个自由度都具有相等的

4、平均动能，其大小等于一个自由度都具有相等的平均动能，其大小等于 。kT21kTikTsrtk2)(21 对于有对于有t个平动自由度，个平动自由度，s个振动自由度和个振动自由度和r个转动自由度个转动自由度的气体分子，分子的平均总动能为上述三种运动动能之和：的气体分子，分子的平均总动能为上述三种运动动能之和： 每个振动自由度上均分有每个振动自由度上均分有 的振动势能的振动势能kT21kTsrtkTsk)2(2121三、理想气体的内能三、理想气体的内能内能：内能：热力学系统的全部微观粒子具有能量总和，热力学系统的全部微观粒子具有能量总和，包括包括大量分子热运动的动能和势能、分子间的势能大量分子热运动

5、的动能和势能、分子间的势能。用。用 E 表示表示。将将理想气体理想气体看成看成刚性分子刚性分子，不计分子间势能，内能仅包括，不计分子间势能，内能仅包括所有分子的所有分子的平动和转动动能平动和转动动能之和。之和。分子平均动能：分子平均动能：kTi2( i ：刚性分子的自由度：刚性分子的自由度)RTiMMkTiNMMEmolAmol22理想气体内能理想气体内能公式表明：公式表明：内内能仅是温度的能仅是温度的单值函数，与单值函数，与气体的压强、气体的压强、体积无关。体积无关。多原子分子：多原子分子：kT266i双原子分子：双原子分子：kT255i单原子分子：单原子分子：kT233i例例5-65-6水

6、蒸汽分解成筒温度水蒸汽分解成筒温度T的氢气和氧气，即的氢气和氧气，即 2225 . 0OHOH 内能增加了多少（）内能增加了多少（）?解解22222OHOH 2摩尔水蒸汽的内能为摩尔水蒸汽的内能为2摩尔氢气的内能为摩尔氢气的内能为1摩尔氧气的内能为摩尔氧气的内能为RTRTE626*20RTRTE525*21RTE252RTEEEE5 . 1021内能增加内能增加%2565 . 10 RTRTEE一、分子速率的实验测定一、分子速率的实验测定5-5 5-5 麦克斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率小孔小孔A充分小，充分小，测测 D上的沉积厚度，就可测气体速率分布上的沉积厚度，就可测气体速率分布盘盘B

7、B和和C C以给定以给定 转动vltlv改变改变 或或 l ，可使不同速度的分子通过小孔。，可使不同速度的分子通过小孔。OV相对粒子数相对粒子数粒子速率粒子速率分布实验分布实验曲线曲线二、麦克斯韦速率分布率二、麦克斯韦速率分布率麦克斯韦麦克斯韦热力学系统的总分子数为热力学系统的总分子数为N；dN表示速度在表示速度在vv+dv之间的分子数；之间的分子数；f(v)为速率的分布函数。为速率的分布函数。NdvdNvf)(f(v)的物理意义：的物理意义： 速率在速率在v附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数的比附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率；对单个分子来说，率；对单个分子来说， f(v)代

8、表分子的速率在该速率附近单位代表分子的速率在该速率附近单位速率间隔内的概率。速率间隔内的概率。麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线pv)(vfvO麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数2232224)(vekTmvfkTmv热力学温度热力学温度单个分子的质量单个分子的质量玻尔兹曼常量玻尔兹曼常量Tmk麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线1v2v)(vfvO)(vf面积面积NNvvfdd)( 面积面积NNvvfvv21d)(v vdv速率在速率在 区间内的分子数占总分子数的比例；或区间内的分子数占总分子数的比例；或分子速率位于分子速率位于 区间内的几率。区间内的几率。 ),(21vv)

9、,(21vv速率在速率在 区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的比例；或分子速率位占总分子数的比例；或分子速率位于于 区间区间 内的几率。内的几率。),(vvvd),(vvvdvvnfd )()1(VNnvNNvf,dd)(vvnfd)(VNd表示单位体积内分布在速率区间表示单位体积内分布在速率区间 内的分子数。内的分子数。vvvd说明下式的物理意义：为分子数密度，为速率分布函数，)(nvfvvNfd)()2(vNNvfdd)(NdvvNfd )(表示分布在速率区间表示分布在速率区间 内的分子数。内的分子数。vvvd21d)()3(vvvvfnvvfnvvd )(21VNNNVN表示分布在单

10、位体积内，速率区间表示分布在单位体积内，速率区间 内的分子数。内的分子数。21vv VNnNNvvfvv,d )(212121d)(d)()4(vvvvvvfvvvfNNNNvvv21dNvdNvv21表示速率在区间表示速率在区间 内的分子的平均速率。内的分子的平均速率。)，(21vv1. 最概然速率mkTpv2molmolAMRTMRTmNRT41.122三、气体的三种统计速率三、气体的三种统计速率vf(v)vp分子速率在vp附近出现的几率最大。0d)(dvvf气体分子速率的算术平均值气体分子速率的算术平均值NNvvN0dvNNvfdd)(mkTv8mkTv82. 平均速率平均速率0d)(v

11、vvf2232224)(vekTmvfkTmvmolmolMRTMRT60. 18气体分子速率平方的平均值的平方根。气体分子速率平方的平均值的平方根。molmolMRTMRTmkTv73.1332NNvvN022d02dv)v( fvmkT33. 方均根速率vNN)v( fdd2232224)(vekTmvfkTmv2v)(vfvpvvO2vvvp三种速率均与三种速率均与 成正比成正比,与与 成反比，三者有一个确成反比，三者有一个确定的比例关系。定的比例关系。molMT4. 三种速率比较2vvvp)(vfvO3pv1pv2pv)(1pvf)(2pvf)(3pvf3T2T1T321TTT温度越高

12、，速率温度越高，速率大的分子数越多大的分子数越多同一气体不同温度下速率分布比较同一气体不同温度下速率分布比较molPMRTv41. 1321mmm)(vfvO3m2m1m同一温度下不同种气体速率分布比较同一温度下不同种气体速率分布比较分子质量越小，速率分子质量越小，速率大的分子数越多。大的分子数越多。molPMRTv41. 1例题例题6-2 试计算气体分子热运动速率的大小介于试计算气体分子热运动速率的大小介于 vp- vp/100 和和 vp+vp/100 之间的分子数占总分子数之间的分子数占总分子数的百分数。的百分数。pppvvvv1009910050100100pppppvvvvvdv 要

13、求的是：速率在要求的是：速率在vv+dv范围内的分子数占总分范围内的分子数占总分子数的比例：子数的比例：dvvfNdN)(解解: : 按题意按题意%66. 1250121009924210099232mkTmkTekTmNdN代入上式，即得：代入上式，即得：将将mkTvvdvvvppp2,50,10099例题例题6-3 求在标准状态下，求在标准状态下，1.0m3氮气中速率处氮气中速率处于于500501ms-1之间的分子数目。之间的分子数目。解：解：设设111,500msdvmsv题目要求的是速率在题目要求的是速率在vv+dv内的分子数内的分子数dN，而，而dvvNfdN)(325235107

14、. 215.2731038. 110013. 1mkTPnkgNMmAmol262331065. 410022. 61028dvvekTmnVdvvNfdNkTvm2223224)(22253100 . 5107 . 21085. 1dN5-5 5-5 分子碰撞和平均自由程分子碰撞和平均自由程一、概论一、概论自由程：分子连续两次碰撞之间走过的路程平均自由程 ：自由程的平均值 平均碰撞频率 ：一个分子一秒内与其它分子 碰撞的平均次数。Z关系：Z v 二、与宏观量的关系二、与宏观量的关系跟踪一个分子的运动跟踪一个分子的运动（2）跟踪分子以平均相对速率 运动，其它分子 静止不动。 u简化模型（1）分

15、子为直径为d 的弹性小球，分子间的碰撞 是弹性碰撞； tudV 22d跟踪分子沿折线轨迹运动圆柱体体积：:t tu 以折线为轴线，画2d半径的柱体只有中心在该柱体内的分子与跟踪分子发生了碰撞圆柱体内分子数：圆柱体体积：tudV 2tudnnVN 2v2: u可证可证pdkT22 nd221 ndZv22 Zv nkTp 平均自由程与压强平均自由程与压强成反比，当压强很成反比，当压强很小小, , 有可能大于容有可能大于容器线度，即分子很器线度，即分子很少与其它分子碰撞，少与其它分子碰撞，不断与器壁碰撞，不断与器壁碰撞，其平均自由程即容其平均自由程即容器的线度。器的线度。 说明说明smsmMRTvmol/1070.1/10214.327331.88833 解解: :按气体分子算术平均速率公式按气体分子算术平均速率公式 算得算得molMRTv8按公式按公式 p=nkT 可知单位体积中分