高等数学课件：3-2 泰勒公式

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1第二节第二节 泰勒公式泰勒公式 第三章第三章 （Taylor Formula）二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立特点特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf )(xfxy)(xfy o000()()()f xfxxx)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1x

2、p)(01xp在微分应用中已知近似公式在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ?如何估计误差如何估计误差 ?xx 的一次多项式的一次多项式返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三3并要求它的系数满足并要求它的系数满足:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故故)(xpn0()f x00()()xxfx!21!1n)0(0()()nnxxxf1!n020()()fxxx12!令令)(xpn则则)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf

3、, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0a001202()()()nnxxxxaaxxa1. 求求 n 次近似多项式次近似多项式返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三4)0(之间与在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn( )( )( )nnR xf xpx令令(称为余项称为余项) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10( )()nnR xxxnnxnR)

4、(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR(1)( )(1)!nnRn则有则有0()nR x00()nR x0( )0()nnRx0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x2. 余项估计余项估计返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三5)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn)()()1()1(xfxRnnn)0(之间与在xx(1)10( )()(1)!( )( )( )( )nnnnnff

5、xpxRxxpxnx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三6公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .0( ),( , )f xxa bna b若在包含的某闭区间上具有 阶连续导数，而在开区间内具有1n直到阶的导数阶的导数 ,),(bax时时, 有有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )nR x其中其中(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn则当则当)0(之间与在xx泰勒中值定理泰勒中值定理 :返回返回

6、上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三7(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn时的某邻域内当在Mxfxn)() 1(0)0(之间与在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三8公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo0( )() nnR xo xx注意到注意到* 可以证明可以证明: 阶的导数有直到在点nxxf0)(

7、式成立式成立在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为泰勒公式可写为返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三9( )f x )(0 xf)(00 xxxf(1)10( )()(1)!nnfxxn200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx特例特例:(1) 当当 n = 0 时时, 泰勒公式变为泰勒公式变为( )f x 0()f x0( )()fxx即为即为拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)0(之间与在xx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三10( )f x )(0 xf)(00 xxxf

8、(1)10( )()(1)!nnfxxn200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx特例特例:(2) 当当 n = 1 时时, 泰勒公式变为泰勒公式变为( )f x 0()f x00()()fxxx20( )()2!fxx可见可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差误差fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三11称为称为麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ）公式）公式 .00,(01),xx则有则有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nn

9、xnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()()(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx( )f x (0)f(0)fx(1)( ),nfxM则有误差估计式则有误差估计式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上若在公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三12二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)()

10、1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三13)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三14! )2(2mxmxxfco

11、s)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三15) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三16) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33

12、xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三17三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差误差1! ) 1()(nnxnMxRM 为为(1)( )nfx在包含在包含 0 , x 的某区间上的上界的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1) 已知已知 x 和误差限和误差限 , 要求确定项数要求确定项数 n ;2) 已知项数已知项数 n 和和 x , 计算近似值并估计误差

13、计算近似值并估计误差;3) 已知项数已知项数 n 和误差限和误差限 , 确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三18已知已知.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令令 x = 1 , 得得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于由于, 30ee欲使欲使) 1 (nR!) 1(3n610由计算可知当由计算可知当 n = 9 时上式成立时上式成立 ,因此因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为

14、的麦克劳林公式为例例1 计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三19!21cos2xx计算计算 cos x 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到 0.005 , 试确定试确定 x 的适用范围的适用范围.例例2 用近似公式用近似公式解解: 近似公式的误差近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令令005. 0244x解得解得0.588x 即当即当0.588x 时时, 由给定的近似公式计算的结果由给定的近似公式计算的结果能准确到能准确到 0.005 .返回返回上页上页下页下页目录目录2021年

15、12月15日星期三2011)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(例例3 证明证明).0(82112xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx2. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三21提示提示:3. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三22提示提示:返回返

16、回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三23内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项其中余项0() )no xx当当00 x时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )nR x(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn)0(之间与在xx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三24,xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算近似计算(3) 其他应用其他应用求极限求极限 , 证明不等式证明不等式

17、 等等.(2) 利用多项式逼近函数利用多项式逼近函数 , xsin例如2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三254224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy sin x泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxosin x42246

18、420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三27思考与练习思考与练习1. 计算计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式原式返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三28, 1 ,0)(上具有三阶连续导数在设函数xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使一点)(xf)(21之间与在其中x, 1,0 x由题设对由题设对证证:321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f )(2121xf有有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf内至少存在证明) 1,0(得分别令, 1,0 x2.且且返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三29), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3)