高等数学：1-7 函数的连续性与间断点

1、第七节第七节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,),()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy xy00 xxx 0)(xfy x y xy0 xxx 00 x y )(xfy 2.连续的定义连续的定义,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx就是就是 ).()(00 xfxfy就是就是 .)(0)()

2、(lim , 0lim )()(,)( 1 000 000000连续连续在点在点那末就称那末就称或或即即也趋于零，也趋于零，对应的函数增量对应的函数增量零时零时趋于趋于如果当自变量的增量如果当自变量的增量有定义有定义的某一邻域内的某一邻域内在点在点设函数设函数定义定义xxfyxfxxfyxfxxfyxxxxxfxxxx .)(),()(lim ),( )( ,)( 2 00 00000连续连续在点在点那末就称那末就称即即处的函数值处的函数值在，且等于它在点在，且等于它在点时的极限存时的极限存当当如果函数如果函数有定义有定义的某一邻域内的某一邻域内在点在点设函数设函数定义定义xxfyxfxfxf

3、xxxxfxxfxx :定定义义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当.0, 0, 0, 0,1sin)( 1 处连续处连续在在试证函数试证函数例例 xxxxxxf证明证明, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()( 0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf .)()( 00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()

4、0(,),)( 0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf .0, 0, 2, 0, 2)( 2 连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数例例 xxxxxxf解解 )(lim0 xfx2 ),0(f )(lim0 xfx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf)2(lim0 xx)2(lim0 xx定理4.4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, ,叫做在该区叫做在该区间上的连续函数间上的连续函数, ,或者说函数在该区间

5、上连续或者说函数在该区间上连续. .,)(,),( 上连续上连续在闭区间在闭区间则称函数则称函数处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续端点端点并且在左并且在左内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. ),(cos内是连续的内是连续的在在例如，例如， xy.),(sin 3内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明例例 xy证明证明),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任意的对任意的 ,s

6、in 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),

7、0()0(, )( 0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf .0, 0,1, 0,)( 4 连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数例例 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx .1 , 1,11, 1

8、0, 1,2 )( 5 处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数例例 xxxxxxxfoxy12xy 1xy2 1解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处的左、右极限都存

9、在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 x121oyx3.3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf.0, 0, 0,1)( 6处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数例例 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f . 0为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x . 断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间.01sin)( 7处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数例例 xxxf解解,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.0, 0, 0,cos)(, 8 处连续处连