高等数学课件：1-7 无穷小的比较

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较 第一章第一章 本节内容提要：本节内容提要：一、无穷小的比较的定义一、无穷小的比较的定义二、无穷小的比较的性质及应用二、无穷小的比较的性质及应用三、本节小结及思考练习三、本节小结及思考练习返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2,0limCk,0lim若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,)(o,lim若若若若若若, 1lim若若,0limC或或,设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷

2、小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是关于是关于 的的 k 阶阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小, 记作记作定义定义一、无穷小的比较一、无穷小的比较返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三3)(o0 x时时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故故0 x时时xcos1是关于是关于 x 的二阶无穷小的二阶无穷小,xcos1221x且且例如例如 , 当当返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三40 x时时,11nxxn1证证: l

3、im0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb例例1 证明证明: 当当返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三5二、等价无穷小的性质二、等价无穷小的性质及应用及应用)(o定理定理1证证:1lim, 0)1lim(0lim即即, )(o即即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故故,0 时x, )(sinxoxx)(tanxoxx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三6,且且lim存在存在 , 则则lim lim证证:limlim limlimlim

4、 lim定理定理2 （等价无穷小替换定理）（等价无穷小替换定理）设设定理定理3返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三7,0时当 xxsinxtan,x,x常用等价无穷小常用等价无穷小 :xarcsin,xarctan x,xxcos1,221x11nx1, xn(1)1x,xln(1) x, xe1xx30sin5lim.xxxx例例2 求求解解:30sin5limxxxx305limxxxx20lim(1)5xxxx205lim1xx5返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三820tansinlim.tanxxxxx例例3 求求解解: 30limxx

5、xx原式20(1 colit nt)aanmsxxxxx2120212limxxx原式原式 一般而言，等价无穷小代换在使用于因式一般而言，等价无穷小代换在使用于因式乘积乘积的的整体代换时比较不容易出错，而对于整体代换时比较不容易出错，而对于代数和代数和中各无穷中各无穷小替换时稍有不慎就容易出错小替换时稍有不慎就容易出错.特别注意：特别注意：返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三901tan1tanlime1xxxx0 x e1xxtanxx01tan1tanlime1xxxx0(1tan )(1tan )(1tan1tan1ime)lxxxxxx例例4求求解解当当时，时，

6、所以，所以02tan1tanlim1tanxxxxx002tan1limlim1tan1tanxxxxxx121.2返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三102303sinlim.tan2xxxxx解解:例例5 求求当当 0 x 时，时，23sin3 ,xxx3tan22 ,xxx所以，所以，2303sinlimtan2xxxxx03lim2xxx32事实上，事实上， 我们有以下我们有以下补充补充规则：规则：设对同一变化过程设对同一变化过程 , , 为无穷小为无穷小 , 由等价无穷小的由等价无穷小的性质性质, 可得简化某些极限运算的下述规则可得简化某些极限运算的下述规则.

7、 （1）和差取低阶规则）和差取低阶规则: 若 = o() , 例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三11,不等价与且若,则,limlim且.时此结论未必成立但例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2（2） 和差代替规则和差代替规则:（3）因式代替规则）因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界, 则lim( ) xlim( ) x例如例如,01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三12内容小结内容小结0lim

8、,0, )0(C,1,0lim Ck1. 无穷小的比较无穷小的比较设设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小, 且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是是 的的 k 阶阶无穷小无穷小返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三13,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用等价无穷小常用等价无穷小 :Th 22. 等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三

9、14思考与练习思考与练习解解:不能不能例当例当 时时,x,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量都是无穷小量.但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在不存在且且不为无穷大不为无穷大.1、任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？故当故当 时时, ,x返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三152330357lim42tanxxxxxx求求解解2、2330357lim42tanxxxxxx和差取低阶规则和差取低阶规则03lim2tanxxx03lim2xxx32返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三160 x 124(1)1axsinxx?a 1240(1)1lim1sinxaxxx14221241()(1)()1411aaxaxx sin xx,且且0122240liml1()(1)14imsin