《高数不定积分》ppt课件

1、第四章第四章 不定积分不定积分教学目的要求 1、了解原函数的概念，不定积分的概念、几何意义及性质。 2、掌握不定积分的根本公式，不定积分的换元积分法和分部积分法。 3、了解简单有理函数的积分方法。学习重点和难点 重点 不定积分的计算 难点 不定积分的换元积分法和分部积分法。 原函数 的逆运算。或微分的问题。这显然是求导求，归结为：已知从数学的角度看，可以)( )( )()( xFxfxF上的一个原函数。在区间为则称，或，使得存在函数上的已知函数，若是定义在区间设定义 )( )()()( )()( )( )( xfxFdxxfxdFxfxFxFxf的原函数。是都，为任意常数，其中，原函数。又因为

2、的一个是函数所以，例如，因为 2 C 3 1 C 2)C(2) 3(2) 1( 2 2)( 22222222xxxxxxxxxxxxxx 定理原函数存在定理上的原函数必定存在。在区间上连续，则函数在区间如果函数 )( )( xfxf差是一个常数。之数，且任意两个原函数则它必有无穷多个原函，上有一个原函数在区间若定理)( )( xFxf意常数。为任的全部原函数，其中是的一个原函数，则是若推论 C )( )( )( )( xfCxFxfxF 不定积分的概念积分微元。叫做叫做积分变量，叫做被积表达式，被积函数，叫做”叫做积分号，上式中“，其中的不定积分，记为叫做的全体原函数函数定义 )( )( )(

3、)()()( )( )( )( dxxdxxfxfxfxFCxFdxxfxfCxFxf不是不定积分。的只是一个原函数，而”，否则求出，切记要“时注：求Cdxxf )( 不定积分的几何意义xyCxFy)()(xFy 0线。应，称为积分曲平面曲线与之对何上，就有一条的原函数，在几就对应一个确定，确定一个常数为任意常数，每， )()( CCCxFdxxf 不定积分的性质 性质1 不定积分与求导数或微分互为逆运算，即；或、dxxfdxxfdxfdxxf)()( )()( ) 1.)()()()( )2CxFxdFCxFdxxF或、 性质2 被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前，即，常数），（0

4、)()(kdxxfkdxxfk 性质3 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不定积分的代数和，即.)()()()(dxxgdxxfdxxgxf这一结论可以推行到恣意有限多个函数的代数和的情形，即dxxfdxxfdxxfdxxfxfxfnn )( )( )()()()( 2121 根本积分公式 由于不定积分是求导数或微分的逆运算，那么就自然可以从导数公式得到相应的积分公式。积分法。接质的积分方法称之为直套用基本积分公式和性基础，必须熟记。式，是求不定积分的以上十三个基本积分公见于是的一个原函数是例如： .79.) 1( 1 1 1 111pagCxdxxxxxxdxxx 1 2求例题来求不定积

5、分。）的形式，利用公式（先化为解：2 72125 27125252122xCxCxdxxdxxdxxxdxxx)5( 2 2求例题Cxxdxxdxxdxxxdxxx2327212521252325725)5)5( （解：注: 1)、分项积分后，每个不定积分的结果都含有恣意常数。由于恣意常数之和仍是恣意常数，因此总的只写一个恣意常数。 2)、检验积分结果能否正确，只需把结果求导，看它的导数能否等于被积函数。dxxx23) 1 3 （求例题Cxxxxxdxdxxdxxdxdxxxxdxxxxxdxxx1 ln332 133 )133( 133) 1 22222323（解：dxexx2 4 求例题C

6、eCeedxedxeeeexxxxxxxxx2ln12)2ln()2( )2(2 )3( 2 )2(2 得，利用积分公式看作把解：dxxx 1 5 24求例题 解：根本公式中没有这种类型的积分，经过变形化为表中所列类型，就可以逐项求积分：Cxxxdxxdxdxxdxxxdxxxxdxxxdxxxarctan3 11)111( 11) 1)(1( 111 1 322222222424dxxxdx2sin 2) tan 1 6 22）求下列不定积分例题Cxxdxxdxdxxxdxtansec) 1(sectan 1) : 222解Cxxxdxdxdxxdxx)sin(21cos21)cos1 (2

7、1 2sin (2) 2 换元积分法 换元积分法是复合函数的求导的逆运算，根据被积函数的不同特点将分为第一类和第二类换元积分法。 第一类换元积分法凑微分法xdxxcossin 2求例如CxCuduuxdxxduuxxdxuxddxxxxdxx332222222sin3131cossin)(sinsin sin )(sinsin)(sinsincossin 回代，于是有则，令但直接积分法不能求出，解：CxFdxxxfxuCuFduufufuF)()()( )()()( )( )( 则有具有连续导数，且的一个原函数，即为设定理 通常用以下步骤运用上述定理：CxFCuFduufxdxfdxxxfux

8、)()()()()()()( 回代）（令这种求不定积分的方法通常叫做第一类换元积分法凑微分法dxx 232 1 求例题CxCuduuxdxdxxux23ln ln 1 )23( 231232 )23(回代令解：dxxx 1 2 2求例题 )131 3121 )1 (121 1 232232112222CxCuduuxdxdxxxux（解：回代令 方法熟习后，可略去中间换元步骤，直接凑微分公式的方式见pag.83 凑微分)0( 3 22axadx求例题12 1 arcsin )()(11)(1 2222利用了公式解：Caxaxdaxaxadxxadx2 arctan1 22类似可得Caxaxad

9、xxdxtan 4 求例题Cxxxddxxxxdxcoslncos)(cos cossintan 解：Cxdxx sin ln cot 类似可得xdxsec 5 求例题Cxxxxxxddxxxxxxdxxxxxxxdxtanseclntansec)tan(sectansectansecsec tansec)tan(secsecsec 2解：Cxxxdxcotcsclncsc 类似可得dxax221 6 求例题CaxaxaCaxaxaaxaxdaxaxdadxaxaxadxaxln21lnln21)()(21 )11(211 : 22解此题中七个积分，可以作为公式运用 在求解不定积分时，经常需求

10、先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形，另外要多做题，掌握更多的积分技巧。xdx3sin 7 求例题Cxxxxdxdxdxxdxxxdx32223cos31cos )(coscos)(cos )(cos)cos1 ( sinsinsin 解：xdx2cos 8 求例题Cxxxxddxxdxdxdxxxdx42sin2 )2(2cos4121 2cos21 22cos1cos 2倍角公式解：Cxxxdx42sin2sin 2类似可得dxex 11 9 求例题Cexeeddxdxeedxeeedxexxxxxxxxx)1ln( 1)1 ()11 ( 11 11 解：xdxx2cos3cos 1

11、0 求例题CxxxxdxdxdxxxxdxxBABABA5sin101sin21 )5(5cos51cos21 )5cos(cos212cos3cos )cos()cos(21coscos 于是公式利用三角中的积化和差解： 第二类换元积分法无理代换找出路，被积函数带根号，例如 22dxxaCxFCtFdtttfdxxfCtFdtttfxttxxtxxf)( )()()( )( )()()( 3 )( )( 2 )( )( 1 )( 11还原变量则）存在，的反函数）连续，可导，且）连续，如果设函数定理 这类求不定积分的方法，称为第二类换元积分法xdx21 1 求例题CxxCxxCtttdtdtd

12、ttdtttxdxdttdxtxtx)21ln(2 )21ln(21ln )11 (121 ) 1( 2) 1( 21 12还原变量，则，设解：xedx1 2 求例题CeeCtttdtdttttedxdtttdxtxtetexxxxx1111ln11ln212 12 12 1 12 ) 1ln( 1 1 22222还原，设解：dxxx 1 3 3求例题CxxCttdttdttdtttdttttdxxxdttdxtxxt256 )35(6 6 ) 1(661 1 6 653524225323566，设解：)0( 4 22adxxa求例题来化去根式利用三角公式解： 1cossin 22ttCttt

13、aCttadttatdtatdtataadxxatdtadxttax)cossin(2)2sin21(222cos1 coscossin cos 22(sin 2222222222于是），则设xat22xa ，于是，作直角三角形，则有根据axataxtaxttax22cossinarcsin sin Cxaxaxadxxa222222arcsin2)0( 5 22aaxdx求例题来化去根式利用三角公式解： sectan1 22tt aCCCaxxCaxaaxCtttdtdttataaxdxtdtadxttaxln )ln()ln( tansecln secsecsec sec22(tan 12

14、212213P.832222其中，于是），则设）公式（t22ax axCaxxCaaxaxtttdtdtatattaaxdx)ln( )ln( tansecln sec sectansec 2212222222类似可得设 tansec sec tdttadxtaxx22ax ta 分部积分法分部积分法。方法积分），就采用另一种基本即两个函数乘积的积分等类型的积分，形如(sincos xdxexdxxdxxexx。为易，化繁为简的目的来计算，从而达到化难易求的化为比较容于把比较难求的分部积分公式的作用在vduudv 分部积分公式两边积分，得移项得公式分具有连续的导数，由微，设 )( )( )()

15、( vduuvudvvduuvdudvvduudvuvdxvvxuu: 积分歌部积分法，编写了分部为了便于掌握、记忆分是关键，和时，恰当选取应用分部积分法求积分vu容易凑 dv 幂三指选幂幂三指选幂 假设被积函数是幂函数和正余弦函数或幂函数和指数函数的乘积，设幂函数为u，其他为dv) 幂反对选反对幂反对选反对 假设被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和三角函数的乘积，设反三角函数或对数函数为u，其他为dv) 三角指数可任选三角指数可任选可化简 du 出现循环移项解出现循环移项解现举例阐明uxdxx幂三选幂为求例题 sin 1 Cxxxxdxxxxdxxxvdxduxdxdvxusincos co

16、scossincos sin 设解：u 2 幂指选幂为求例题dxxexCxeCexedxexedxxeevdxdudxedvxuxxxxxxxx) 1( 设解：dxexx2 3 求例题dxxeexdxexevxdxdudxedvxuxxxxx2 2 222设解：可化简就可以了。于是再使用一次分部积分法知，对低了一次，由例题中的幂次前次比后者降数容易求积分，因被积函比这里duCxxeCxeexdxxeexdxexdxxedxexdxxexxxxxxxxx )22( ) 1(22 2 22222uxdxx幂对选对为求例题 ln 4 Cxxxdxxxxxdxxxvdxxduxdxdvxu4ln2 2

17、1ln2ln 2 1 ln 2222设解：幂反选反求例题 arccos 5 xdx容易凑设解：dvCxxxxxdxxdxxxxxxdxxvdxxdudxdvxu 1arccos )1 ()1 (21arccos 1arccosarccos 11 arccos 2212222幂反选反求例题 arctan 6 xdxxCxxxxdxxdxxxdxxxxxdxxxxxxdxxxvxdxdvxdxdvxu)arctan(21arctan2 1121arctan2 11121arctan2 121arctan2arctan 2 1 arctan 22222222222设解：三角指数可任选求例题 sin

18、7 xdxexxdxexexdxexvxdxdvdxedueuxxxxxcoscossin cossin : ，；，设解 等式左端的积分与右端的积分是同一类型，对右端积分再用一次分部积分法，出现循环移项解，便得再两端同除以把它移到等号左端去，就是所求的积分由于上式右端的第三项，；，又设 )cos(sin21sin 2 sin sinsincossin sincos Cxxexdxexdxexdxexexexdxexvxdxdvdxedueuxxxxxxxxx 简单有理函数积分 有理可分解有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即)00( )()(00110110babxbxbaxaxaxQxPmmmnnn，式。时，称有理函数是假分当式；反之，时，称有理函数是真分若mnmn 普通地，利用多项式除法，总可把假分式化为多项式真分式之和，例如12111232235xxxxxxxx 多项式部分可逐项积分，因此以下只讨论真分式的积分法。 有理真分式积分有以下三种方式，现举例阐明：dxaxA 1. dxxxx653 1 2求例题）（）（两端去分母后，得方法一：定系数法求出：为待定常数，可以用待、其中真分式解：分解2 )23()(3 or 1 )2()3(3 32)3)(2(3653 2BAxBAxxBxAxBAxBxAxxxxxx这是恒等