数值计算课后答案2

1、习题二解答1. 用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在区间3 , 4内的根，精确到10-3，即误差不超过-10 3。2分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。解：因为f(3)=-10v0, f(4)=9>0,所以，方程在区间3, 4上有根 由X* Xn一丄 1 1。32门2门 2=1024> 1000,b an b a2 2n有 2n-1 > 1000，又为 210所以n= 11,即只需要二分11次即可列表讨论如下:nanbnXnf(Xn)的符号1343.500一23.50043.750+33.5003.7503.625一43.6253.7503.688+53.62

2、53.6883.657+63.6253.6573.641+73.6253.6413.633+83.6253.6333.629一93.6293.6333.631一103.6313.6333.632+113.6313.6323.632一x* QX1=3.632。指出：(1) 注意精确度的不同表述。精确到 10-3和误差不超过10-3是不同的(2) 在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表:nanbnXnf(Xn)的符号1343.500023.500043.7500+33.50003.75003.6250一43.62503.75003.68

3、75+53.62503.68753.6563+63.62503.65633.6407+73.62503.64073.6329+83.62503.63293.6290一93.62903.63293.6310一103.63103.63293.6320+113.63103.63203.6315一(3) 用秦九韶算法计算f(Xn)比较简单。1* 求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间解：令y3 X2x24x7，则 y 3x24x4(3x2)(x2)当 y 3x24x4(3x2)(x22) 0 时，有 x,X2 2。函数单调区间列表分析如下:X2(-s， _)323(-,2)32(2,+ s)/y+

4、00+y一 1492715f一因为y( 2)1490, y(2)150,所以方程在区间(-,2)上无根；32732 1492因为y( )0，而函数在(，)上单调增，函数值不可能变号，所以3 273方程在该区间上无根；因为y(2)15 0，函数在(2,+s)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而=-10<0,y=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。12. 证明1 x sinx 0在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于- 102的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间10有至少一个

5、零点。解:令 f(x)1 x sin x ,因为f(0)sin 010,f(1) 1 1 sin1 sin1 0,则 f(0)f(1)由零点定理,由函数f(x)在0,1区间有一个根。1 010 =b a2nan2bn2 1 1042n 2有 2n-1 > 10000,又为 210= 1024, 213= 8192<10000, 214= 16384>10000 所以n= 15,即需要二分15次。x* xn指出:要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。3 试用迭代公式Xk 1,x0 1，求方程 x3 2x2 10x 20 0 的xk 2xk 10根，要求精确到10

6、5。分析：精确到10 5即误差不超过1 10 52解：令 f(x) x3 2x2 10x 20列表进行迭代如下:Xkf (Xk)01-711.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.370090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.368813992 10 5151.36881

7、53992 10指出：精确到105可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到105位，最后 两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到106，当 Xk 1 Xk - 10 5终止计算。2本题采用第一种方法。4.将一兀非线性方程2cosx ex0写成收敛的迭代公式，并求其在X。0.5附近的根，要求精确到10 2。解：2cosx ex 0 改写为 2cosx2 cosxXe2cosx X 1 e0,则g(x)2c0SX 1,设X e2cosx X 1 eg(X)2sinxeX 2c0SxeX 1x 2 (e )2(sinx cosx)2 2 sin(X0.5处，因为2. 2sin(0.

8、5 -)g(0.5) 1050.9615 1e所以迭代法g(Xk1)Xk 警互1在X0 0.5的邻域内收敛eXk列表迭代如下：Xk00. 510. 7120. 6930. 69此时 2cos0.69 e0'690.00614。5.为求方程x3 x210在Xo1.5附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式:1二,迭代公式xk 1X(1)x(2)x3X2X2,迭代公式Xk 1,迭代公式Xk 1X 112 ；Xk1(1 X：)3;1(Xk 1)?试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有 似值。4位有效数字的近解：(1)因为X 11 2g(x) (-2)(X2)x1

9、-2，所以迭代函数为g(x)X2x3，|g(1.5)2 1.5 311 2X2话，则21满足局部3.375收敛性条件，所以迭代公式Xk1 1 4具有局部收敛性。Xk(2)因为Xk 11g(x) 1(13(1x2)3 12x1X2)3,所以迭代函数为g(x) (1232xx ) 32 ,3(1 X2 亍1X2)3,则2 1.523(1 1.52)31(1 X：)3具有收敛性。g(1.5)04561满足局部收敛性条件，所以迭代公式(3)因为x(x1r1)2，所以迭代函数为g(x)，则(X 1)21g(x) 2(x2(x1g(1.5)尹51)32 0.5"1.414 1不满足收敛性条件，所

10、以迭代公式Xk 1不具有收敛性。(Xk 1)21用迭代公式Xk 11 A列表计算如下:XkXk01. 511. 44421. 48031. 45741. 47151. 46261. 46871. 46481. 46791. 465101. 466111. 465所以，方程的近似根为x*1.465。6.设(x) x C(x2 3)，应如何取C才能使迭代公式Xk 1(xQ具有局部收敛性？解：设C为常数，因为(x) x C(x2 3)，所以(x) 1 2Cx，要使迭代公式具有局部收敛性，需| (Xo) 1 2Cxo 1，此时即有1 1 2Cxo 1，也即1 Cxo 0。即只要C取满足如上条件的常数，

11、就可以使得迭代公式具有局部 收敛性。指出：本题的一般形式为：(Xk)具有局部收敛设(x) x Cf (x)，应如何取C才能使迭代公式Xk 1性?显然，(x) x Cf(x)是迭代格式Xk 1(Xk)相应的迭代函数，因此该迭代格式要求解的方程是x (x) X X Cf (x) f (x)0。也就是说，这是如何选择C，构造一个求解方程f(x)=0的收敛的迭代格式的问题因为 (x) x Cf (x)，所以 (x)1 Cf (x)，要使迭代格式收敛，需I (x)| 1 Cf (x)| 1解之得2 Cf (x)0，即C与f (x)异号，且Cf (x)2。下面的讨论利用了本题的特殊条件，求出了具体的结果：

12、因为(x) x C(x2 3)，所以当 x x C(x2 3)时，有 C(x2 3) 0,则.3。x .3，即函数(x) x C(x23)的不动点为x*而(x)1 2Cx，根据局部收敛性定理,o时，迭代格式收敛到3 ；Xk 1Xk(' 3)1 2C( . 3)用牛顿法求方程X310解：因为X3 3x 所以有f(x) x33x 1，Xk 13x击 时，迭代格式收敛到 43。10在初始值X。2邻近的一个正根，要求相应的迭代公式为X； 3Xk 13x： 32x： 13x： 3取X0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下:k0123Xk21.88891.87951.8794因为x3 x&g

13、t;1o.。1 - 103,符合计算的精度要求,所以xx3 1.8794 。18 用牛顿法解方程-cx0，导出计算数c的倒数而不用除法的一种简单的迭代公式。用此公式求0.324的倒数，设初始值x。3，要求计算有5位有效数字。解:1对于方程-X1cXk 1XkXk 1xkc 0，有 f(x)c22Xk cxk。1-C,相应的迭代公式为x应用该迭代公式求0.324的倒数，列表计算如下Xk0313. 08423. 086433. 0864所以3.0864。0.324指出：1如果将方程-c 0改写为等价的cx 1 0，则有f(x) cx 1，相应的迭x代公式为cxk 11Xk 1 xkc c无法展开迭

14、代。9设a为已知数，试用牛顿法导出求n a的迭代公式，并求极限k (廂Xk 1Xk)2解：设a为正实数，n为自然数，由牛顿法，方程f(x) xn a 0的解为Xk 1Xkf (Xk)Xk f (Xk)n nnXk Xk an 1nXk(nnXk an 1nXk1)x： an 1 nXk1(n n此即求na的迭代公式。由此，则1)XknXkainalimk-(nn.Xk 1lim : 2k (na Xk)11 n 1-(n 1) a(1 n)xn 1 lim nk1)XkXk(n a Xk)2n a(n 1)Xk aXkn lim kn(:a Xk)22(1)(na Xk)2(n n1) a(1

15、 n)Xkn2(幅 Xk)2(a( n：1 n)( n用12 ( 1)a(1 n)i a(1 n)a(1 n)1 n2x；n2kim x； n 2(n a)n 12nakimlimkkim指出：本题中，表面上是k是极限过程中实际的变量。本质上。本题实际上是求极限nn a - (n 1)Xkya Xk 1nlim 尸2 limk (na Xk)2 kn a -(n 1)x ax1nlim_2x na(n a x)2由于讨论的是0型不定式，且不定式的分母上有 2次的“0”因子，因此两0次应用罗必塔法则。解二：首先证明一个定理：的问题，但实际上却是Xkn a的问题，Xk,Xk 1才Xk i24rXk

16、(n a Xk)2nalimk(n 1)Xkaxk nn(n aXk)2定理：设f(x*) 0, f (x*) 0 ,又设f(x)在x*的某个邻域内具有连续的二阶导数，则牛顿迭代法具有局部收敛性，且有lim x 1x*2k(xk x)*f (x)* 0f (x)证明：因为g(x) x抿所以g (x)f(x)f(x)f (x)f (x) f (x) 2因为f(x)在邻域内具有连续的二阶导数，所以g (x)在邻域内连续，且*g(x )对g(x)x黑 f (x)f(x)f (x)求导，根据条件有 f (x)f(x*)f (x*)* 2 f (x )由局部收敛性定理，牛顿迭代法具有局部收敛性。g(x*

17、)仝 f (x )由收敛阶定理，若f(x*) 0，则g (x*)上幻 0,牛顿迭代法二阶收 f (x )敛，若f (x*) 0，则g (x*) f (x*) 0，牛顿迭代法有更高的收敛阶。f (x )因为牛顿迭代法有二阶收敛性，所以* f(X )lim 兀 1X*g (x*)f (x*)f (x*)。k (xkx*)22!2!2f(x*)。显然如果x是方程f(x)=0 的单根，贝U f(x) (x x ) (x)，且(x )0。此时 f (x)(x) (x x ) (x)，则 f (x ) (x )0，可见定理中的条件“ f(x*) 0, f (x*) 0 ”可以等价替换为“ x*是方程f(x

18、)=0 的单根”对本题来说，f (x) xn a， x n a是方程的单根，所以_f (x) nxn 1, f (Va) n(Va)n 1 0f (x) n(n 1)xn 2, f (n a) n(n 1)(n a)n 2贝Ukim匚 a_X_i (n a xj2kimXka(Xk n a)2n(n 1)(府)n 22n(na)n 1指出：应用分组分解法进行因式分解，分子、分母约去“ 0”因子，就可以按连续 函数的极限性质求解了。10用快速弦截求方程x33x 10在初始值Xo2邻近的实根(取x,1.9，要求精确到10 3)解：因为x3所以有f(x)3x 10x3 3x 1，相应的迭代公式为Xk

19、 1XkXk 1)kXkXk-Xk-1f(Xk)f(x k)- f(x k-1)02111. 9-0.10.159-0.84121. 8811-0.01890.0130-0.14631. 8794-0.00170.0001-0.012941. 8794_(xf(Xk) f (Xk 1) k取X0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下:因为X4 x 0.0000丄10 3,符合计算的精度要求，所以2x x41.8794 0指出：本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法(割线法)，而它所说弦截法是通常的单点弦截法。11、分别用下列方法求方程4cosx ex在X0 邻近的根，要求有三位有效4数字。

20、(1) 用牛顿法，取X04(2) 用弦截法，取X), x142(3)用快速弦截法，取Xq, x142解：方程4cosx ex变形为ex 4cos x 0 ,则 f(x) ex 4cos x, f (x) ex 4sin x。牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为(1)牛顿法Xk 1f (xk)xk-xkf (Xk)x-e k4cosxkxke k4sin xk(2)弦截法Xk 1f (Xk)Xk(Xk0.785)；f(Xk)1.81Xk 1)。Xk 1Xk(Xk(3)快速弦截法kXk牛顿法弦截法快速弦截法00. 7850. 7850. 78511. 591. 571. 5721. 411. 33

21、1. 3331. 391. 401. 3841. 391. 381. 4051. 391. 3961. 381. 39f (Xk)f (Xk) f (Xk 1)取3位有效数字，分别计算得补充题(一)1、确定方程x5+x-10 = 0的根的个数，找出隔根区间。2、用二分法求方程f(x)=x 3+ 2x-5=0在2, 3的根的近似值，要求误差不 超过0.005o3、用二分法求方程f(x)=x 3 2x-5=0在2, 3的根的近似值，要求误差不 超过0.05。x24、用二分法求方程f(x) sinx 0的非零实近似根，使误差不超过104_2Ox值，使误差不超过10-2。&估计用二分法求方程f

22、(x)=x 3 + 4x2-10=0在1, 2内的根的近似值，为 使误差不超过10-5时所需要的二分次数。分析与解答5x x 10,1,0,而且函数没有不可导点，,)上是单调增的，5、分析方程f(x) sinx -0的根的分布情况，并用二分法求正根的近似1、令y y 5x4显然yo所以，函数在区间(故方程最多有一个根。因为 y(0)100,y(2)24 0 ,所以方程在(0, 2)区间有一个根，(0, 2)即为方程的隔根区间|0:日2、因为f(2)=7 > 0, f(3)=28 >0,实际上本方程在指定范围内无根。但如果 不加判定，也可以计算出一个值来。所以，用二分法求方程的根必须

23、先行判定 要特别注意的是，完整的二分法的过程是，第一步代入初值，第二步判断 有解，第三步在有解的前提下求出解来。不进行判断就形式地套用二分 程是不可以的，同样地，如果因为无解就放弃讨论也是不正确的。 /3、因为f(2)= - 1v0, f(3)=16>0,所以方程在区间上有解。x* xnbn 害 甞 4? 0.05，所以，2n>20, n=522冷2冷2x* 2.102x4、画出y=sinx和y的曲线，可以看出,4两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个交点。交点的横坐标介于1.5与2之间(显然，1,所以在n/2点,1 , sinxv 1,所以在2点,n/2 1.5 sin( /

24、2)=1, 亠4x2f(x) >0,而当 x= 2 时，一4f(x) v 0。5、画出y=sinx和y |的曲线，可以看出，两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个交点。交点的横坐标介于1.8与1.9之间(根据图像，用计算nanbnXnf(xn)的符号11.81.91.85+21.851.91.875+31.8751.91.8875+41.88751.91.89+所以，x*1.89指出：确定求根区间和根的初始近似值，应用 MATLAB工具，用交轨法是重要的器计算估计，当sinx的值从大于-的值变为小于时，隔根区间就找到了)2要求|X Xn丨电.01，可以求出用二分法计算的次数。在区间1

25、.8, 1.9上，*tn an b aX* Xn p-于所以，n=4。具体计算过程如下因为98“0.012n2n途径，可以先确定大致范围，再缩小区间重新画图精细化。在用普通的手工画 草图的方法画交轨图的时候，可以借助于计算器使得隔根区间更短，但这种方 法只对简单问题有效。6、| x Xn | 謀05，即 21 J- 105，所以 2n05。2n2n7因为 215= 32768, 216= 65537, 217= 131072，所以 n=17。(二)1、对于方程3x2 ex = 0,为求最大正根与最小正根的近似值，试分别确定迭代函数g(x)及区间a,b，使得当X0a,b时，相应的迭代过程xk+1=g(xk)收敛 到要求的根。2、证明：当X0=1.5时，迭代法都收敛于方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间1，2内的唯一实根x，分别用上述迭 代法求满足精度|x+1 xk | < 15的近似根。3、为求方程f(x)=x3