高二数学选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换与极坐标系(上课用-公开课课件)

1、（1）平面直角坐标系的伸缩变换（二）极坐标系1xo2y=sinxy=sin2x思考：（1 1）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinxy=sinx得到得到曲线曲线y=sin2x?y=sin2x?2x= xy=y121通常把 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：3（2 2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinxy=sinx得到曲线得到曲线y=3sinx?y=3sinx?写出其坐标变换。写出其坐标变换。设点p（x,y）经变换得到点为p(x,y)x=xy=3y2通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。24（3 3）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinxy=sinx

2、得到曲线得到曲线y=3sin2x? y=3sin2x? 写写出其坐标变换。出其坐标变换。设点设点p p（x,yx,y）经变换得到点为）经变换得到点为p(x,y)p(x,y)x= xx= xy=3yy=3y12通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。伸缩变换。5定义：设定义：设p(x,y)p(x,y)是平面直角坐标系中任意是平面直角坐标系中任意一点，在变换一点，在变换(0):(0)xxyy 的作用下，点的作用下，点p(x,y)p(x,y)对应对应p(x,y).p(x,y).称称 为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换

3、。 6注注 （1 1）（2 2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3 3）在）在同一直角坐标系同一直角坐标系下进行伸缩变换。下进行伸缩变换。0,071)2(032) 1 (32222yxyxyyxx、后的图形。换对应的图形经过伸缩变，求下列方程所、在平面直角坐标系中例80032320, 032)5()5(312132) 1 (yxyxyyxxyxyxyyxxyyxx变成直线后，直线所以，经过伸缩变换后的方程为得到经过伸缩变换代入将得到由伸缩变换解：9194132194, 1)5()2(2222

4、2222yxyxyyxxyxyx变成椭圆后，圆所以，经过伸缩变换图形的方程是得到经过伸缩变换后的代入、将10由上所述可以发现，由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而仍然变成直线，而圆圆可以变成椭圆可以变成椭圆。思考：思考：在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？抛物线、双曲线变成什么曲线？11课堂练习（2分钟）课本p8 第4、6题12四四食堂在什么位置？食堂在什么位置？13以超市所在直线为以超市所在直线为x轴轴以牛奶棚所在直线为以牛奶棚所在直线为y轴轴. .脑子脑子进水了？进水了？14从这向北走从这向北走1

5、00米。米。我知道了。我知道了。15从 这 向 北 走从 这 向 北 走 1 01 0 0 0 米 ！米 ！出发点出发点方向方向距离距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用点的位置。这种用方向方向和和距离距离表示平面上一表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。16极坐标系与极坐标极坐标系与极坐标mo|om极径极径极点极点极轴极轴点点o o极点极点射线射线oxox极轴极轴极径极径角角极角极角极角极角有序实数对有序实数对( , ) 极坐标极坐标x逆时针为正角逆时针为正角顺时针为负角顺时针为负角极角

6、是以射线极角是以射线oxox为始边为始边, ,射线射线omom为为终边的角终边的角, ,用弧度制表示用弧度制表示17例题解析例题解析例例1 1.在极坐标系中表示下列坐标对应的点在极坐标系中表示下列坐标对应的点.xo4234547432(4,)65(3,)127(2,)623(5,)123(1,)4由极坐标描点的步骤：由极坐标描点的步骤： (1) 先按先按极角极角找到点所找到点所在射线；在射线； (2) 在此射线上按在此射线上按极径极径描点描点.18例题解析例题解析例例2.2.试写出下列点所对应的极坐标试写出下列点所对应的极坐标. .xo232(5,)6a(3,)2bab5(4,)6cc7(5,

7、)6dde11(4,)6e一点的极坐标唯一吗？一点的极坐标唯一吗？( , ) ( ,2)k 表示同一点表示同一点19与直角坐标系的联系与区别与直角坐标系的联系与区别极坐标系与直角坐标系的异同是什么？极坐标系与直角坐标系的异同是什么？都是用都是用有序实数对有序实数对来表示平面上的点来表示平面上的点. .其中的其中的有序实数对有序实数对意义不同意义不同. .直角系的坐标与平面上点是直角系的坐标与平面上点是一一对应一一对应的的; ;极坐标系的坐标与平面上点极坐标系的坐标与平面上点多对一多对一的的; ;有没有办法使极坐标与点之间一一对应？有没有办法使极坐标与点之间一一对应？0,02且（或）除极点除极点

8、(0, )外，限制外，限制20探索探索ox已知一点已知一点, , 与它关于与它关于极轴极轴所在直线对称的点如何表示？所在直线对称的点如何表示？m( , )m ( ,)若若m m的坐标为的坐标为 , ,则则mm的坐标可以是的坐标可以是( , ) ( ,).21探索探索ox已知一点已知一点, , 与它关于与它关于极点极点对称的点如何表示？对称的点如何表示？m( , )m ( ,) 若若m m的坐标为的坐标为 , , 则则mm的坐标可以是的坐标可以是( , ) ( ,). 22极径的推广负的极径有意义吗？“负”的意义是什么？标准之下3摄氏度与-3摄氏度.方向相反a与. a与.ox(, )m ( ,

9、) 若m的坐标为 则m的坐标也可以是(, ) ( ,). 特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为，认为 0 。因为负极径只在极少数情况用。因为负极径只在极少数情况用。23极坐标系与极坐标极坐标系与极坐标极径极径点点o o极点极点射线射线oxox极轴极轴角角极角极角有序实数对有序实数对( , ) 极坐标极坐标逆时针为正角逆时针为正角顺时针为负角顺时针为负角0 终边上取终边上取m m0 终边反向延长线上取终边反向延长线上取m mox(, )m ( , ) |2425在直角坐标系中在直角坐标系中, , 以原点作以原点作为极点为极点,x,x轴的正半轴作为

10、极轴的正半轴作为极轴轴, , 并且两种坐标系中取相并且两种坐标系中取相同的长度单位同的长度单位26x=cos, y=sin271. 1. 极点与直角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合; ;2. 2. 极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x x轴的正半轴的正半 轴重合轴重合; ;3. 3. 两种坐标系的单位长度相同两种坐标系的单位长度相同. .互化公式的三个前提条件：互化公式的三个前提条件：28已知下列点的极坐标，求它们已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。的直角坐标。293031作业：优化方案做到第9页32点的轨迹点的轨迹设设m m( (x x, , y y) )是直角坐标系内一点是直

11、角坐标系内一点, , 当当m m按按某种规律某种规律在平面内在平面内运动时运动时, , 所留下的运动轨迹所留下的运动轨迹, , 反映在图形上就是一条曲线反映在图形上就是一条曲线. .o ox xy y所谓某种规律：所谓某种规律：m m( (x x, , y y) )坐标之间所满足一定关系式坐标之间所满足一定关系式. .某个方程某个方程 若要用一个方程刻画坐标平面内的曲线若要用一个方程刻画坐标平面内的曲线c c, , 则方程与曲则方程与曲线之间应当满足怎样的关系？线之间应当满足怎样的关系？33曲线与方程定义. 在直角坐标系中, 如果曲线c和二元方程 之间满足:( , )0f x y 曲线c上的点

12、的坐标都是方程的解;方程的解为坐标的点都在曲线c上;则称：方程 为曲线c的方程;( , )0f x y 曲线c是方程 的曲线.( , )0f x y 34极坐标方程定义. 在极坐标系中, 如果曲线c和二元方程 之间满足:( , )0f 曲线c上的点的极坐标都是方程的解;方程的解为极坐标的点都在曲线c上;则称：方程 为曲线c的极坐标方程;( , )0f 曲线c是方程 的曲线.( , )0f 这样推广合理吗？为什么？35问题探索 极轴所在直线的极坐标方程是什么？ox0曲线上的点的坐标都是方程的解;(r)方程的解为坐标的点都在曲线上;极点(0,0)(0,2 )符合方程不符合方程极坐标的不唯一性导致了

13、上述情况. 这个方程合理吗？36极坐标方程定义. 在极坐标系中, 如果曲线c和二元方程 之间满足:( , )0f 曲线c上的点的所有极坐标中, 至少有一个是方程的解;方程的解为极坐标的点都在曲线c上;则称：方程 为曲线c的极坐标方程;( , )0f 曲线c是方程 的曲线.( , )0f 37求曲线的极坐标方程步骤求曲线的极坐标方程步骤1、设点、设点m(,)是曲线上任意一点；是曲线上任意一点；2、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于,的方程，并化简；的方程，并化简；3、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。38例题解析例2.求以 为圆心, 半径为 的圆的极坐标方程.

14、( ,0)c a(0)a a ( , )p 2amox解: 如图所示:设点p坐标为( , ) 即2 cosa则|cos|opom( , )p ()22()2239例题解析例3.如图, 求过 , 与极轴夹角为 的直线方程.( ,0)(0)m aa ( , )p ( ,0)m ao解:则 ,|(0)op 设点p坐标为 ,( , ) x(0),pom若点p位于极轴上方,( , )p 在 中,opmsin()sin()asin()sina40例题解析例4. 设质点m为射线oa上的动点, 已知m沿 方向作匀速运动, 同时射线oa又绕着它的端点o作等角速度旋转, 求质点m运动的轨迹方程.oa xo阿基米德

15、螺线解:0mma设点m的初始位置为 ,00(,0)m以o为极点, 以射线om0为极轴,设m的运动速度为v,设oa的角速度为,时间为t, 则有0.a41练习练习 求下图中的圆的极坐标方程求下图中的圆的极坐标方程, ,半径都是半径都是a( ,)2c axxooa2 sinap42练习练习 求下列直线的极坐标方程求下列直线的极坐标方程)3, 3(p(1)过极点与点(2)过点且与极轴垂直(3)过点且与极轴平行(2,0)m(3,)2m23cos2sin34322121212122cos()p p 设两点设两点 ，则由余弦定理得：，则由余弦定理得：111222(,),(,)pp 极坐标系下两点间的距离公式

16、极坐标系下两点间的距离公式oxab4 56 44ex2.3.3 两种坐标的互化45引入 已知点的极坐标，如何得到其直角坐标？ox(4,)3p例如：(4,)3ppxpy4cos23px设其直角坐标为 ,(,)ppxy4sin2 33pyy46极坐标直角坐标ox( , )p pxpy则有：cossinxy一般地, 设点p是平面上任意一点, 其极坐标为 , 如图建立直角坐标系, 设直角坐标为 ,( , ) ( , )x y( , )x y 如何证明？47ox0时,cossinxyp的直角坐标为：p在极点, 显然成立;0时,|( , )p p的坐标可改写为(,) (0)0时,ycoscos()sin(

17、)xy 则sin48极坐标直角坐标ox( , )p pxpy则有：cossinxy一般地, 设点p是平面上任意一点, 其极坐标为 , 如图建立直角坐标系, 设直角坐标为 ,( , ) ( , )x y 点的极坐标化直角坐标是唯一的。49例题解析例1. 将下列极坐标化为直角坐标：极坐标(2,)6( 3,1)直角坐标5(4,)3(2, 2 3)直角坐标( 2, )(2,0)直角坐标(2,)3(1,3)直角坐标50直角坐标极坐标则由：cossinxy一般地, 设点p是平面上任意一点, 其直角坐标为 , 如图建立极坐标系, 设极坐标为 ,( , ) ( , )x y222tan(0)xyyxx,0)2

18、z(kxk 点的直角坐标化极坐标，不是唯一的。51例题解析例2. 将下列点的直角坐标化为极坐标：直角坐标( 1, 3)2(2,)3极坐标( 3,3)(0, 4)3(4,)2极坐标( 2, 2 3)3(3 3,)4极坐标( 4,)3极坐标 由点所在象限确定极角的值52极坐标方程定义. 在极坐标系中, 如果曲线c和二元方程 之间满足:( , )0f 曲线c上的点的所有极坐标中, 至少有一个是方程的解;方程的解为极坐标的点都在曲线c上;则称：方程 为曲线c的极坐标方程;( , )0f 曲线c是方程 的曲线.( , )0f 53例题解析例3.化直角组表方程 为极坐标方程.0 xy解:cossinxy由 ,