《数值计算方法》试题集及答案

1、计算方法期中复习试题 一、填空题： 1 已知f0, f(2) 12 f(3) 3，则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 3 小 x)dX - ,用三点式求得f(1) _。 答案：2.367，0.25 2、f1，f(2) 2，f(3) 1，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为 _ 拉格朗日插值多项式为 _ 。 1 1 L2(X) -(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3)尹 1)(x 2) 3、近似值 x* 0.231关于真值 x 0.229有(2 )位有效数字; 4、 设f(x)可微,求方程x f(x)的牛顿迭代格式是( )； Xn f(Xn) xn 1 xn 答案 1 f(Xn) 5、

2、对 f(x) x3 x j 差商 fl0,1,2,3】(1 ), f0,1,2,3,4 ( 0 )； &计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n 次后的误差限为 b a 2* 1 8 已知 f(1)= 2, f(2) = 3, 4) = 5.9,则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为( 答案：-1, 0.15 )； 度为(5 )；11、 两点式咼斯型求积公式 1 1 1 3 1 0f(x)dx (0f(x)dx 尹(话) . 3 1 f( 2 3 ) )，代数精 3 13、用二分法求方程f(x)x

3、 x 1 0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间 为 0.5, 1 ，进行两步后根的所在区间为 0.5, 0.75 。 14、计算积分0.5xdx,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309，梯形公式的代数精度为，辛卜 生公式的代数精度为 3 15、设 f(0) 0, f(1) 16, f (2) 46,则 h(x) 插值多项式为 N2(x) 16x 7x(x 1) 有(2n 1 )次代数精度 5 17、 已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求1 f(x)dx(12 ) 18、 设 f

4、(1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求 f (1) ( 2.5 ) x 4 0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分22、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在 a,b 上具有直到 _ 2 _ 的连续导 12、 为了使计算y1 x1 &1)2 (x 1)3的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为y 10 1 x 1_，为了减少舍入误差，应将表达式 .2001 .1999 改写为 2 2001 ,1999 h(x) x(x 2)_， f (x)的二次牛顿 16、 求积公式 b f(x)dx n Akf(Xk) k 0 的代数精度以( 高斯型)求积公式为最高，具 3

5、19、如果用二分法求方程x 10 )次。 S(x) 20、已知 3 x 1 3 2 (X 1) a(x 1) b(x 1) 2 a=( )，b= ( 3 )，c=( 0 x 1 c 1 x 3 是三次样条函数，则 1 )。 21、0 (x), !1(x), ,l n (x)是以整数点 x0 , x1 , n n lk(x) xklj(xk) x k 0 ( 1 )， k 0 (Xj )，当 n n (x： x： 3)lk(x) 4 2 k 0 ( x x 3 ,xn为节点的 Lagrange 插值基函数，则 2 时 ) 数。改变函数f（x） x 1 x （x 1）的形式，使计算结果较精确 1

6、C. 2、 舍入误差是（A ）产生的误差。 A.只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值 C.观察与测量 D .数学模型准确值与实际值 3、 3.141580 是n的有（B ）位有效数字的近似值。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 4、 用 1+x 近似表示e所产生的误差是（ C ）误差。 A.模型 B.观测 C .截断 D.舍入 x 5、用 1 + 3近似表示x所产生的误差是（D ）误差。 A.舍入 B.观测 C .模型 D.截断 6 -324 . 7500 是舍入得到的近似值，它有（C ）位有效数字。 A . 5 B . 6 C . 7 D . 8 7、设 f （-1）=

7、1,f （0）=3,f （2）=4,则抛物插值多项式中 x2的系数为（A ） A. -0 . 5 B . 0 . 5 C . 2 D . -2 8、三点的高斯型求积公式的代数精度为（C ）23、 24、 若用二分法求方程 分 10 次。 2x3, 0 S x 3 2 25、 设 x ax a= o f x 0在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对 26、 若用复化梯形公式计算 477 个求积节点。 4 27、 若 f（x） 3x x 1 bx c, 1 。 1 x e 0 1 X 2是 3 次样条函数，则 dx 6 ，要求误差不超过10 ，利用余项公式估计，至少用 2x 1，贝

8、q差商 f2,4,8,16,32 1 2 (x)dx 9【f( 28、数值积分公式 2 _ 。 选择题 1、三点的高斯求积公式的代数精度为 1) 8f(0) f的代数精度为 9、( D )的 3 位有效数字是 0.236X 102。 (A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-2 (C) 235.418 (D) 235.54X 10- 1 10、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程f(x)=0 表示成 x= (x)，则 f(x)=0 的根是 (B )。 (A) y= (x)与 x 轴交点的横坐标 (A) f(x,x0,x1,x2, ,x(X1)(x x

9、2)(x xn 1)(x xn)， Rn(x) f(x) (B) f(n ) Pn(x) f ) (n 1)! (C) f(x,x0,x1,x2. (B) y=x 与 y= (x)交点的横坐标 (C) y=x 与轴的(D) y=x 与 y= (x)的交点 11、拉格朗日插值多项式的余项是(B )，牛顿插值多项式的余项是(C ) ,xn)0)(x x1)(x x2)(xxn 1)(x (D) Rn(x) f (x) Pn(x) f(n气 (n 1)! n 1(X) 2 x (A) xk 1 x (B) 2 ,迭代公式:xk 1 X 1 2 Xk 3 (C)x x2,迭代公式:xk 1 ( 2、1

10、/3 Xk) 3 x (D) x2,迭代公式：Xk 1 2 Xk Xk b f(x)dx (b a 14、在牛顿-柯特斯求积公式： 时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中, 式不使用。 a) i 0 当( n Ci(n) f (Xi ) C(n) 中，当系数Ci是负值 )时的牛顿-柯特斯求积公 12、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值 x0 满足(A ),则它的解数列xnn=0,1,2, 定收敛到方程 f(x)=0 的根。 13、为求方程 x3x2仁 0 在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建 立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A ) 1 一,迭代公式：Xk

11、1 x 1 (1) n 8， (2) n 7， (3) n 10， (4) n 6， 23、有下列数表 X 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的次数是( ) O (1)二次； (2)三次； (3)四次； (4)五次 15、取山1.732计算x (A)28 16.3 ； S(x) 26、已知 ( ) (A)6, 6； 16 16 (B)(4 2、3)2 ； (C) (4 2、3)2 ； (D) C 3 1)4 0 3 x 0 x2 2( x 1)3 a(x 2) b 2 x 4是三次样条函数，则a,b的值为 (一3 1

12、)4，下列方法中哪种最好？( ) 1 1.5 2 1 2.5 3 3.5 -1 0.5 2.5 ：5.0 8.0 11.5 (B)6，8； (C)8, 6； (D)8，& 16、由下列数表进行 Newt on 插值，所确定的插值多项式的最高次数是( (A)5 ； (B)4 ； (C) 3 ； (D) 2 0 17、 形如 b f (x)dx A1 f (x1) a A?f(X2) A3f(x3)的高斯(Gauss)型求积公式的代数精 度为( ) (A)9 ； (B)7 ； (C) 5 ； (D) 3 0 1&计算 3的 Newton 迭代格式为( ) 3 Xk 3 Xk Xk

13、1 Xk 1 (A) 2 Xk ； (B) 2 19、 用二分法求方程 3 X 4x2 10 103 3 x xk 2 x Xk 1 x k 1 巩；(C) 2 Xk ； (D) 0在区间1,2内的实根，要求误差限为 xk 3 则对分次数至少为 (A)10； (B)12 ； (C)8； 20、设h(x)是以xk k(k O,1,9)为节点的 9 (D)9。 Lagrange 插值基函数，则 kli(k) k 0 ( ) (B) k ； (A)x ； 33、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式, (A)5； (B)4 ； x3 2(x (C)6； S(x) 21、已知 (A)6, 6； 35、已知方

14、程 ( ) 1)3 a(x 2) (B)6，8； 2x (C) 至少具有( (D)3 0 2 4是三次样条函数，则a,b的值为( ) (D)8，& (D) 1。 )次代数精度 (C)8， 2 附近有根，下列迭代格式中在 6； x0 2不收敛的是 Xk 1 (B) 2 总 3 5 xk (C)xk 1 xk xk 5 - (D) 2x； 5 3xk 2 k 0 0 1 2 3 4 1 2 4 3 -5 7 (A) xk 1 V2xk 5 22、由下列数据 确定的唯一插值多项式的次数为（ ） （A） 4; （B）2; （C）1 ; （D）3。 23、5 个节点的 Gauss 型求积公式的最

15、高代数精度为（ ） （A）8 ； （B）9； （C）10； （D）11 o 三、 是非题（认为正确的在后面的括弧中打 ，否则打） 1、 已知观察值（Xi，yi）（i ，2 ，m）,用最小二乘法求 n 次拟合多项式Pn（x）时， Pn（x）的次数 n 可以任意取。 （ ） 2 X 2、 用 1- 2近似表示 cosx 产生舍入误差。 （ ） （X X）（X X2） 2 答案：f（x） 1，x，x是精确成立，即 高，并求其代数精度；利用此公式丄dx X （保留四位小） 数精度为 3 2、已知1 f（x）dx 求积公式为1 2A 2B 2 1 f 2 2A B A 2 3 得 1f( 1) f(1)

16、 |f( 1 1 2) f(2) 当f（x）x3时，公式显然精确成立；当 f(x) 4 X时，左=5，右= 3。所以代 1 3 4 5 2 6 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 f(X)的三次插值多项式P3(X)，并求f(2) 的近似值(保留四位小数)。 L(X)2(x 3)(x 4)(x 5) 6(x 1)(x 4)(x 5) 答案： (1 3)(1 4)(1 5) (3 1)(3 4)(3 5) 差商表为 一阶均差 二阶均差 三阶均差 1 2 3 6 2 4 5 -1 -1 5 4 -1 0 5、已知 -2 -1 0 1 2 4 2 13 5 求f(X)的二次拟合曲线 P2(x)

17、，并求f (0)的近似值。 答案：解: 0 -2 : 4 4 -8 r 16 P -8 16 1 -1 2 1 -1 1 -2 2 2 0 : 1 0 0 :0 :0 0 : 3 1 3 1 1 1 3 3 4 2 5 4 8 16 r 10 20 1 0 15 10 0 34 3 41 5a 10a2 15 10a1 3 正规方程组为 10a 34a2 41 6、 已知 sinx 区间 0.4, 0.8的函数表 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求 sin 0.63891 的近似值，如何选择节点

18、才能使误差最小？并求该近 似值。 答案：解： 应选三个节点，使误差 尽量小，即应使2彳仪)1尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 0.5,0.6,0刀最好，实际计算结果 si no.63891 0.596274， 且 7、构造求解方程 ex 10 x 2 0 的根的迭代格式Xn 1 (Xn),n 0,1,2,，讨论其收 4 敛性，并将根求出来，|Xn 1 xn I 3。 答案：解：令 f(x)ex 10 x 2, f(0) 2 0, f (1) 10 e 0. 且f (x) ex 10 0对x (，)，故 f(x) 0在(0,1)内有唯一实根 将方程 f(x) 0变形为 则当

19、x (0,1)时 x (x)和2 ex)，| (x)| 蛊 10 1 故迭代格式 收敛。取x0 .5，计算结果列表如下： n 0 1 2 3 0.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足 |x7 x6 | 0.000 000 95 10 6 所以 x* 0.090525 008 10、已知下列实验数据 xi 1.36 1.95 2.16 f(Xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一

20、次多项式拟合以上数据 2 解：当 0 x6 1.278 44 1.278 47 1.278 6 x (Xk) (k 0,1,2,)对任意 Xo 1,2均收敛。 15、用牛顿（切线）法求3的近似值。取 xo=1.7,计算三次，保留五位小数。 取 xo=1.7,列表如下: 1 2 3 1.73235 1.73205 1.73205 16、已知 f （-1）=2, f （1）=3, f （2）=-4,求拉格朗日插值多项式L2（X）及 f （1，5）的近似 值，取五位小数。 至少有两位有效数字。 解方程组 AT AC AT y 19 25 30 38 19.0 32.3 49.0 73.3 （8 分）

21、用最小二乘法求形如y a bx2的经验公式拟合以下数据: span 1, x2 其中 解得: ATA 3) (x) (x) 当 x 1,2时, (x) (2), (1) 1,2，且 所以迭代格式Xk 1 解：3是f（x） x2 3 0的正根, f （x） 2x，牛顿迭代公式为 xn 3 Xn 1 Xn 2xn ，即 Xn 1 xn 3 1药 (n 0,1,2,) 解: L2（ ） (X 1)(X 2) (1 1)( 1 2) (x 1)(x 2) (1 1)(1 2) (x 1)(x 1) (2 1)(2 1) 17、n=3,用复合梯形公式求 1 oe dX的近似值（取四位小数） ，并求误差估

22、解: oXx T3 1 0 o 2 3e 2(e13 2 3 1 e ) e 1.7342 f (x) ex, f (x) ex, o x 1 时，| f(x)| e 20、 解: x 4 3391 3391 3529603 0.9255577 C 0.0501025 ATy 173.6 179980.7 所以 a 0.9255577, b 0.0501025 1 21、（ 15 分）用 n 项估计其误差。用 值。 e xdx 8 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算0 时，试用余 n 8 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似 解:RTf 22、（ 1

23、5 分）方程 b a 12 h2f () 1 1 1 e0 768 0.001302 0在 x 1.5 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式 （1） 3 *-； X 1 Xn 1 1 - Xn 1 ； （2） x 对应迭代格式 Xn ； （ 3） X； 1。判断迭代格式在X。1.5的收敛性，选一种收敛格 式计算 x 1.5 附近的根，精确到小数点后第三位。 1 （X）3（x 1） 1 11 X （1.5） x Vx 1对应迭代格式人 3 X X 1对应迭代格式Xn 1 解: (1) (X) 2x2 （1.5）0.18 1，故收敛; (1.5) 0.17 1，故收敛; 2 3 1.5 1，故发

24、散。 1.3309 3x2 X0 1.5 x1 1.3572 x2 1.32476 x6 1.32472 25、数值积分公式形如 1 oxf(x)dx S(x) Af (0) Bf(1) Cf (0) Df （3） 选择 (X) (1): X5 X6 4 度尽量高；（2）设f（x）C 0,1，推导余项公式 2 3 A 解：将f（x） Ixx ,x分布代入公式得： 构造 Hermite 插值多项式H/x）满足 1 则有：0 xH3（x）dx S（x）， 27、（ 10 分）已知数值积分公式为: f(x) h h 2 0f(x)dx 2f(0) f(h) hf(0) X3 1.3259 x4 1.

25、3249 ? ? ? （1）试确定参数A,B,C,D使公式代数精 1 R（x） 0 xf（x）dx S(x) 1 30,D 3 7 ,B ,B 20 20 H3W) f(xj H3&) f (xj i 0,1 其中 x。 2(X 1)2 4! H3(X) 并估计误差。 丄 20 OX 1 f（h） ，试确定积分公式中的参数 ，使其 代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：f （x） 1显然精确成立； h xdx f （x） X 时，0 h2 h 2 0 h h 1 1 2 2 7 1 28、（ 8 分）已知求a（a ）的迭代公式为: 其代数精度是多少? x 2 x 1 解：是

26、。因为f（x）在基点 1、2 处的插值多项式为P（x）C f芦 2） 31、（12 分）以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 115的近似值，并利用余项估 h 2 . f(x) 2 x2dx x时， 0 3 h 3 h4 f(x) 3 x dx x时， 0 4 5 h 4 , h f(x) 4 x时， x dx 0 5 所以，其代数精确度为 3 h s 20 h2 h20 h3 2h 2 h 2 20 h3 1 h20 3h2 2 12 h 5 4 1 小h5 -0 h h 0 4h 2 12 6 12 ； 7 敛性。 Xn Xn 1 1 cos xn （6 分） 4 ，n=0

27、,1,2, 1 1 d X 4 sin x -1 4 对任意的初值X0 0,1,迭代公式都30、（6 分）写出求方程4x cosx 证明：对一切k 1,2, Xk 9，且序列Xk是单调递减的, Xk 1 1(Xk 亘） 1 2 a Xk 一 证明： 2 Xk 2 VXk 故对一切 k 1,2, ,Xk 一 a 0 Xk 1 又 Xk 2d x? A 1) 1 所以Xk 1 Xk，即序列Xk是单调递减有下界，从而 29、（ 9 分）数值求积公式 3 3 f(x)dx 尹(1) f（2）是否为插值型求积公式？为什么? p(x)dx 訓 f(2) 其代数精度为 1。 1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收 从而迭代过程收敛 迭代过程收敛 、a k 1 用 Newton 插值方法：差分表: 100 121 10 11 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 I 32、