等比数列的前n项和PPT课件

1、1等比数列的前n项和武穴中学 程善祥2复习数列的有关概念叫做数列叫做数列 的前的前n项和项和。 nannnaaaaaS1321)2() 1(11nSSnSannn 数列的第n项 与前n项和 之间的关系nanS3复习等比数列的有关概念 定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与项的比等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列无关的数），这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母通常用字母q表示。表示。等比数列等比数列 的通项公式为的通项公式为 na)0

2、(111qaqaann)0(qaqaammnmn用数学语言表示为用数学语言表示为10nnaqqa 4引入新课 我们一起回顾一下，在我们学习数列第一节的时候，我们一起回顾一下，在我们学习数列第一节的时候，我给大家讲了一个关于国际象棋的故事。当时的国王觉我给大家讲了一个关于国际象棋的故事。当时的国王觉得国际象棋特别好玩，就想奖励象棋的发明者，于是就得国际象棋特别好玩，就想奖励象棋的发明者，于是就问象棋的发明者有什么要求，发明者说：问象棋的发明者有什么要求，发明者说：“请在象棋的请在象棋的第一个格子里放第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三颗麦粒，第三个格子放个格子放

3、4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来实现上述要是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来实现上述要求求”。国王不假思索就欣然答应了他的要求。国王不假思索就欣然答应了他的要求。 我们看国王能不能满足他的要求，由于每个格子里我们看国王能不能满足他的要求，由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，共有倍，共有64个个格子，各个格子里的麦粒数依次是：格子，各个格子里的麦粒数依次是： 5 引入新课12223242这一格放这一格放的麦粒可的麦粒可一对成一一对成一座山座山!6326326

4、引入新课它是以为首项公比是的等比数列，它是以为首项公比是的等比数列，64S23631 2222 .分析：分析：由于每格的麦粒数都是前一格的倍，共有由于每格的麦粒数都是前一格的倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为麦粒的总数为:23631,2,2 ,2 ,2 .7引入新课64S23631 2222 .(1)请同学们考虑如何求出这个和？请同学们考虑如何求出这个和？642S23632(1 2222 ).642S即23636422222 .(2)64642SS23463(122222 )2346364(222222 )230 - 1 = 1073741823646

5、421S 这种求和的方法,就是错位相减法!191.84 1018446744073709551615 如果如果1000粒麦粒重为粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质克，那么这些麦粒的总质量就是量就是7300多亿吨。根据多亿吨。根据统计资料显示，全世界小统计资料显示，全世界小麦的年产量约为麦的年产量约为6亿吨，就亿吨，就是说全世界都要是说全世界都要1000多年多年才能生产这么多小麦，国才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发王无论如何是不能实现发明者的要求的。明者的要求的。 8等比数列的前n项和公式的推导1nnnaaaaaS1321,1a,2a,3a,na由等比数列由等比数列的前的前n项和项

6、和得11212111nnnqaqaqaqaaS)(11212111nnnnqaqaqaqaaqSS)(11131211nnqaqaqaqaqa)1 (111nnqaqaa)1 ()1 (1nnqaSq即当当q1时，时，qqaSnn1)1 (1当q=1时，等比数列的前n项和是什么？1naSn这种求和的方法,就是错位相减法!23111111nna qa qa qa qa qnqS 9等比数列的前n项和公式的推导23241231aaaanqaaaanqaaaaaaaann1321432,1a,2a,3a,na由等比数列由等比数列的定义：的定义：qaSaSnnn1qqaaSnn11当当q1时时，qaa

7、Sqnn1)1 (当当q=1时时?10等比数列的前n项和公式的推导3nnnaaaaaS1321)(1211naaaqa)(1nnaSqaqaaSqnn1)1 (当当q=1时时?qqaaSnn11当当q1时时，13211nqaqaqaqaa1naSn11等比数列的前n项和两种公式的关系1q 当时qqaSnn1)1 (1qqaaSnn111naSn当q=1时，111nnnaqaqqa q12等比数列的前n项公式111111nnnaqSaqqq 综上综上或或11111nnnaqSaa qqq 13等比数列的前n项和例题1解解: 例例1 求等比数列求等比数列 的前的前8项的和项的和.,81,41,21

8、8,21,211nqa2112112188S.256255qqaSnn1)1 (114 例2求和分析：上面各个括号内的式子均由两项组成。其中各括号内的前一分析：上面各个括号内的式子均由两项组成。其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。就能得到所求式子的和。等比数列的前n项和例题222111nnxxxyyy0,1,1xxy0,1,1xxy当时22111nnxxxyyy22111nnxxxyyy1111111nnxxyyxy1111nnnnxxyxyy15现在我们把该题推广一下当x=0,

9、y=1时n和22111nnxxxyyy 22111nnx xxy yy 1,1xy当时2n和1,1xy当时11nnnynyy和1,1xy当时11nxxnx和0,1xy当时11nnnyyy和16等比数列的前n项和例题3 例例3 某制糖厂今年制糖某制糖厂今年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上万吨，如果平均每年的产量比上一年增加一年增加10%，那么从今年起，几年内可以使总产量达到，那么从今年起，几年内可以使总产量达到30万吨（保留到个位）万吨（保留到个位）.解：解：由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万吨）组成一个等比数列，吨）组成一个等比数

10、列， 记为记为 na30, 1 . 1%101, 51nSqa.301 .11)1 .11 (5n答：答：5年内可以使总产量达到年内可以使总产量达到30万吨万吨.于是得到于是得到整理后，得整理后，得6 . 11 . 1n50414.02041.01.1lg6.1lgn6 . 1lg1 . 1lg6 . 1lg1 . 1lgnn第一年为第一年为5万吨，万吨，第二年为第二年为5+510%=5（1+10%）qqaSnn1)1 (117等比数列的前n项和练习11. 根据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的 : na;6,2,3)1(1nqa;5,21,8)3(1nqa.189

11、21)21(366 S5518123 1.2112S2. 求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和. nS18等比数列的前n项和练习2-311,2,aq解法二：51016,512,aa2. 求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和. 11,2,aq解 法 一 ：.1521)21 (144S.102321)21 (11010S.1008151023410SS从第从第5项到第项到第10项的和项的和: 把第把第5项作为新等比数列项作为新等比数列的首项的首项,第第10项作为末项项作为末项.从第从第1项到第项到第6项的和项的和:616512 21