含绝对值的导数题

1、1.已知函数（1）求函数的极值；（2）求函数的单调区间；解：（1）g （x）lnxx1，g（x）1，当0x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0，可得g （x）在（0,1）上单调递增，在（1，）上单调递减，故g （x）有极大值为g （1）0，无极小值 （2）h（x）lnx|xa|当a0时，h（x）lnxxa，h（x）10恒成立，此时h（x）在（0，）上单调递增；当a0时，h（x） 当xa时，h（x）lnxxa，h（x）10恒成立，此时h（x）在（a，）上单调递增； 当0xa时，h（x）lnxxa，h（x）1 当0a1时，h（x）0恒成立，此时h（x）在（0，a）上单调递增； 当a1时，当0x1

2、时h（x）0，当1xa时h（x）0，所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减 综上，当a1时，h（x）的增区间为（0，），无减区间； 当a1时，h（x）增区间为（0，1），（a，）；减区间为（1，a）设，函数.(1) 当时,求曲线在处的切线方程;(2) 当时,求函数的最小值.解（1）当时，令 得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线在处的切线方程为：。（2）当时， ，恒成立。 在上增函数。故当时， 当时，（）（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，且此时(ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数故当时，且此时(i

3、ii)当；即 时，在时为负数，所以在区间1,e上为减函数，故当时，。综上所述，当时，在时和时的最小值都是。所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为。当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为所以函数的最小值为 已知函数.( I )若, 求+在2，3上的最小值；( II)若时, , 求的取值范围；(III)求函数在1，6上的最小值. 解:(1)因为,且2，3,所以,当且仅当x=2时取等号,所以在2，3上的最小值为(2)由题意知,当时,即恒成立所以,即对恒成立,则由,得所求a的取值范围是(3) 记,则的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上的

4、V型线,且射线的斜率均为.当,即时,易知在1，6上的最小值为当a<1时,可知2a1<a,所以()当,得,即时,在1，6上的最小值为()当,得,即时,在1，6上的最小值为当时,因为2a1>a,可知,()当,得,即时,在1，6上的最小值为()当且时,即,在1，6上的最小值为 ()当时,因为,所以在1，6上的最小值为综上所述, 函数在1，6上的最小值为 南京三模）14.若不等式|1对任意都成立，则实数取值范围是 解答：显然时，有。令当时，对任意，在上递减，此时，|的最小值为0，不适合题意。当时，对任意，|的最小值为1，解得：。故所求6.已知函数其中e为自然对数的底.（1）当时，求曲

5、线y=f(x)在x=1处的切线方程；（2）若函数y=f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围；（3）当b>0时，判断函数y=f(x)在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及 相应实数b的取值范围.解：（1）记g(x)exbx当b1时，g¢(x)ex1当x0时，g¢(x)0，所以g(x)在(0，)上为增函数又g(0)10，所以当x(0，)时，g(x)0所以当x(0，)时，f(x)g(x)g(x)，所以f¢(1)g¢(1)e1所以曲线yf(x)在点(1，e1)处的切线方程为：y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x 4分（没有说明“

6、在x1附近，f(x)exbx”的扣1分)（2）解法一 f(x)0同解于g(x)0，因此，只需g(x)0有且只有一个解即方程exbx0有且只有一个解 因为x0不满足方程，所以方程同解于b 6分令h(x)，由h¢(x)0得x1当x(1，)时，h¢(x)0，h(x)单调递增，h(x)(e，)；当x(0，1)时，h¢(x)0，h(x)单调递减，h(x)(e，)；所以当x(0，)时，方程b有且只有一解等价于be 8分当x(，0)时，h(x)单调递减，且h(x)(，0)，从而方程b有且只有一解等价于b(，0) 综上所述，b的取值范围为(，0)e 10分解法二 f(x)0同解于

7、g(x)0，因此，只需g(x)0有且只有一个解即方程exbx0有且只有一个解，即exbx有且只有一解也即曲线yex与直线ybx有且只有一个公共点 6分1xyO1yexybx（图1）1xyO1yexybx（图2）如图1，当b0时，直线ybx与yex总是有且只有一个公共点，满足要求 8分如图2，当b0时，直线ybx与yex有且只有一个公共点，当且仅当直线ybx与曲线yex相切设切点为(x0，e)，根据曲线yex在xx0处的切线方程为：yee(xx0)把原点(0，0)代入得x01，所以bee 综上所述，b的取值范围为(，0)e 10分（3）由g¢(x)exb0，得xlnb当x(，lnb)时

8、，g¢(x)0，g(x)单调递减当x(lnb，)时，g¢(x)0，g(x)单调递增所以在xlnb时，g(x)取极小值g(lnb)bblnbb(1lnb)当0be时， g(lnb)bblnbb(1lnb)0，从而当xR时，g(x)0所以f(x)g(x)g(x)在(，)上无极大值因此，在x(0，2)上也无极大值 12分当be时，g(lnb)0因为g(0)10，g(2lnb)b22blnbb(b2lnb)0，（令k(x)x2lnx由k¢(x)10得x2，从而当x(2，)时，k(x)单调递增，又k(e)e20，所以当be时，b2lnb0）所以存在x1(0，lnb)，x2(

9、lnb，2lnb)，使得g(x1)g(x2)0 此时f(x)g(x)所以f(x)在(，x1)单调递减，在(x1，lnb)上单调递增，在(lnb，x2)单调递减，在(x2，)上单调递增 14分所以在xlnb时，f(x)有极大值因为x(0，2)所以，当lnb2，即ebe2时，f(x)在(0，2)上有极大值； 当lnb2，即be2 时，f(x)在(0，2)上不存在极大值 综上所述，在区间(0，2)上，当0be或be2时，函数yf(x)不存在极大值；当ebe2时，函数yf(x)，在xlnb时取极大值f(lnb)b(lnb1)7.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求证：

10、解：（1）由题意，函数的定义域为，当时， ，函数的单调递增区间为，3分当时， , 5分若，此时函数单调递增，若，此时函数单调递减，综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为；单调递增区间为 7分（2）由（1）知，当时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意； 8分则必有，此时函数的单调递减区间为；单调递增区间为，由题意，必须，解得， 10分由，得, 12分而，下面证明：时，设，则，所以在时递增，则，所以，又，所以,综上， 16分20(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试) (本小题满分16分)已知函数（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；（2）若当时，不等

11、式恒成立，求实数的取值范围；（3）求函数在区间上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）20【解析】本小题主要考查函数的概念、性质及图象等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解， 结合图形得. 4分（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，当时，（*）显然成立，此时； 当时，（*）可变形为，令因为当时，当时，所以，故此时. 综合，得所求实数的取值范围是. 8分（3）因为=10分当时，结合图形可知在上递减，在

12、上递增，且，经比较，此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，经比较，知此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，经比较，知此时 在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且, ，经比较，知此时 在上的最大值为.当时，结合图形可知在上递减，在上递增，故此时 在上的最大值为.综上所述，当时，在上的最大值为；当时， 在上的最大值为；当时， 在上的最大值为0.16分20(江苏省盐城市2011届高三年级第一次调研) (本小题满分16分) 已知函数,.（）当时,求函数在区间上的最大值；（）若恒成立,求的取值范围；（）对任意,总存在惟一的,使

13、得成立, 求的取值范围.20解：（）当,时,所以在 递增,所以 4分（）当时，恒成立, 在上增函数,故当时， 5分当时，当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数,故当时，且此时 7分(ii)当,即时，在时为负数，在间 时为正数,所以在区间上为减函数，在上为增函数,故当时，且此时 8分(iii)当,即 时，在时为负数，所以在区间1,e上为减函数，故当时， 9分综上所述，函数的最小值为 10分所以当时,得；当()时,无解；当 （）时,得不成立. 综上,所求的取值范围是11分（）当时,在单调递增,由,得 12分 当时，在先减后增,由,得, 设,yax所以单调递增且，所以恒成立得 14分当时,在递增，

14、在递减，在递增,所以由,得,设,则,所以递增，且,所以恒成立，无解. 当时，在递增，在递减，在递增,所以由得无解.综上,所求的取值范围是16分22已知函数f (x)lnx(x0) (1)求函数g (x)f (x)x1的极值； *(2)求函数h(x)f (x)|xa|(a为实常数)的单调区间； *(3)若不等式(x21)f (x)k(x1)2对一切正实数x恒成立，求实数k的取值范围解：(1)g (x)lnxx1，g(x)1，当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，可得g (x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，故g (x)有极大值为g (1)0，无极小值 (2)h(x)lnx|

15、xa|当a0时，h(x)lnxxa，h(x)10恒成立，此时h(x)在(0，)上单调递增；当a0时，h(x) 当xa时，h(x)lnxxa，h(x)10恒成立，此时h(x)在(a，)上单调递增； 当0xa时，h(x)lnxxa，h(x)1 当0a1时，h(x)0恒成立，此时h(x)在(0，a)上单调递增； 当a1时，当0x1时h(x)0，当1xa时h(x)0，所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，a)上单调递减 综上，当a1时，h(x)的增区间为(0，)，无减区间； 当a1时，h(x)增区间为(0，1)，(a，)；减区间为(1，a) (3)不等式(x21)f (x)k(x1)2对一切正实

16、数x恒成立，即(x21)lnxk(x1)2对一切正实数x恒成立当0x1时，x210；lnx0，则(x21)lnx0；当x1时，x210；lnx0，则(x21)lnx0因此当x0时，(x21)lnx0恒成立又当k0时，k(x1)20，故当k0时，(x21)lnxk(x1)2恒成立下面讨论k0的情形当x0且x1时，(x21)lnxk(x1)2(x21)lnx设h(x)lnx( x0且x1)，h(x)记4(1k)244(k22k)当0，即0k2时，h(x)0恒成立，故h(x)在(0，1)及(1，)上单调递增于是当0x1时，h(x)h(1)0，又x210，故(x21) h(x)0，即(x21)lnxk(x1)2当x1时，h(x)h(1)0，又x210，故(x21) h(x)0，即(x21)lnxk(x1)2又当x1时，(x21)lnxk(x1)2因此当0k2时，(x21)lnxk(x1)2对一切正实数x恒成立当0，即k2时，设x22(1k)x10的两个不等实根分别为x1，x2(x1x2)函数(x)x22(1k)x1图像的对称轴为xk11，又(1