第六章常微分方程PPT课件

1、第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 第六章第六章 常微分方程常微分方程 第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第四节第四节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构 第五节第五节 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 第五节：二阶常系数线性微分方程第五节：二阶常系数线性微分方程 一一. .二阶常系数齐次线性微分方程

2、二阶常系数齐次线性微分方程二二. .二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程本节主要内容本节主要内容: :第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 0.ypyqy二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式:( ).yp yq yf x二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式:第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程解法一、二阶常系数齐次线性微分方程解法-解法解法:特征方程法特

3、征方程法,rxye 将其代入上方程将其代入上方程, 得得0,rxe QQ故有故有特征方程特征方程特征根特征根设设2()0rxrprq e0 (1)ypyqy 20 (2)rprq 21,24,2ppqr 第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 1. 有两个不相等的实根有两个不相等的实根11r xye, 22r xye, 两个线性无关的特解为两个线性无关的特解为故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为特征根为特征根为(0) 1212r xr xyC eC e;224,2ppqr 214,2ppqr 第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五

4、节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 2. 有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为02( ),r xyu x e 特征根为特征根为将将代入原方程代入原方程,并化简得并化简得:设另一特解为设另一特解为则则 (0)prr, 12201r xye, yyy222，200020u( rp)u(rprq )u,u 0,知知u xx ( ),取取02r xyx e, 012;()r xyCC x e第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 3.有一对共轭复根有一对共轭复根ri1,ri2,ixx

5、ixyee()()1ixx ixyee()()2重新组合重新组合yyy1121()2cos,xex yyyi2121()2sin,xex 故得齐次方程的通解为故得齐次方程的通解为特征根为特征根为iecosi sin QQ(欧拉公式欧拉公式,第九章介绍第九章介绍)xexix (cossin),xexix (cossin),() 0 xyeCxCx 12(cossin).第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法解的方法称为特征方

6、程法.解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1560.yyy 求求方方程程的的通通解解rr,2560r,r 1223xxyC eC e.2312第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 250.yyy求求方方程程的的通通解解解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2rr,2250ri , 1 212，xye(C cos xC sin x ). 1222第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 综上所述，求解二阶常系数齐次线性微分方程的综上所述，求

7、解二阶常系数齐次线性微分方程的步骤如下：步骤如下：（一）写出微分方程（一）写出微分方程（1）的特征方程）的特征方程特征方程（特征方程（2 2）的两个根）的两个根微分方程（微分方程（1 1）的通解）的通解两个不相等的实根两个不相等的实根两个相等的实根两个相等的实根一对共轭复根一对共轭复根r xyCC x e 12()xyeCx Cx 12(cossin)r ,ri12（二）求出特征方程（二）求出特征方程（2）的两个根）的两个根（三）根据根的不同情况，写出微分方程（三）根据根的不同情况，写出微分方程（1）的通解）的通解:rp rq;20r ,r ;12r ,r12rrr12r xrxyC eC e

8、1212第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 特征方程特征方程 例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解 2212360d xdxxdtdt解解 22123660rrr有两个相等的实根有两个相等的实根126,rr 故方程的通解为故方程的通解为612()txCC t e 第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 00,xy 01xy 的特解的特解先求通解，特征方程先求通解，特征方程 解解2210rr有两个相等的实根有两个相等的实根 121,rr 故方程的通解为故方程的通解为 12()

9、xyCC x e 代入初始条件代入初始条件 00,xy 01,xy 求得求得所以方程满足初始条件的特解为所以方程满足初始条件的特解为 xyxe 例例4 求微分方程求微分方程 2 0yyy满足初始条件满足初始条件120,1CC第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 由题意微分方程的特征根为由题意微分方程的特征根为解解1,213ri故特征方程为故特征方程为 213132100ririrr 所以微分方程为所以微分方程为2100yyy微分方程的解，求此微分方程微分方程的解，求此微分方程例例5：设设2cos3xyex 是一个二阶常系数齐次线性是一个

10、二阶常系数齐次线性第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程( )( )xnf xP x e 以下只讨论当自由项以下只讨论当自由项 时非齐次方时非齐次方程的特解的求法程的特解的求法. . 这种解法叫做待定系数法这种解法叫做待定系数法. .设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy )(* 代入原方程得代入原方程得2( )(2)( )() ( )( )nQ xp Q xpq Q xP x( )xnypyqyP x e ,要要使使这这个个恒恒等等式式成成立立 必必须须要要使使恒恒等

11、等式式左左端端的的次次数数( ).nPx与与的的次次数数相相同同且且同同次次项项的的系系数数也也相相等等第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 (1) 若若 不不是是特特征征方方程程的的根根，, 02 qp 是是特特征征方方程程的的单单根根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ;)(*xnexQy ( ),( ).nQ xP x这这时时左左端端的的次次数数就就是是的的次次数数 应应和和的的次次数数相相同同( ),( ).nQ xP x 这这时时左左端端的的次次数数就就是是的的次次数数 应应和和的的次次数数相相同同;)(*xnexxQ

12、y 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p .)(2*xnexQxy ( ),( ).nQxP x 这这时时左左端端的的次次数数就就是是的的次次数数 应应和和的的次次数数相相同同第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 综上讨论综上讨论, )(*xQexynxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 210k特别地，方程为特别地，方程为xypyqyAe 2222xxxAe,pqAxepAx ey* 不不是是特特征征方方程程的的根根; ;是是特特征征方方程程的的单单根根; ;是是特特征征方方程程的的

13、重重根根, ,时，特解形式为：时，特解形式为：第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 .232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解特征方程, 0232 rr特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是是单单根根，2 Q代入方程代入方程, , 得得xABAx 22,121 BAxexxy2*)121( 于是于是原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例6： * y设设xeBAxx2)( 第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 例例7 7：，cbxaxy 2*cba,2*baxy ay2* 23)( 5)2(422 xxcbxaxbaxa23)54()52(522 xxcbaxbaax 25433215cbabaa51 a2513 b12517 c125172513512 xxy*解其中是待定系数. , 代入原方程得 或 比较系数得联立方程解得所以方程的特解为，而相应的齐次方程的特征根不为0，0 中的中的xe令方程的特解为则22532yyyxx 求求 的一特解的一特解.第六章第六章 常微分方程常微分方程 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 三、内容小结三、内容小结求二阶常系数齐次