第2章 晶格热振动ppt课件

1、编辑ppt第二章 晶格热振动 Thermal Vibration of Lattice2.0 引言n一维晶格热振动，色散关系，周期性边界条件n三维晶格热振动的特点和一般规律n晶格热振动的量子化，声子n声子统计分布函数，晶格热振动能n晶格比热的Einstein模型n晶格比热的Debye模型n晶格热传导一、基本内容二、学习要点n掌握格波的概念和色散关系n正确理解声子的概念及其统计分布n掌握态密度的求法n熟练掌握固体比热的计算方法n掌握声子的碰撞过程及其对固体热导的影响2.1 一维晶格（原子链）的热振动unun+1un-1一、一维简单晶格的热振动一维简单晶格位移示意图 un: -第n个原子 偏离平衡

2、位置的位移 m: -原子质量am2.1 一维晶格（原子链）的热振动22200( )1( )( )(0)2( )0 xxdV xd V xV xVxxdxdxdV xdx221( )2d V xdx一、一维简单晶格的热振动V(r)r抛物线近似选择合适的势能零点，有21( )2( )( )V xxdV xf xxdx 令：简谐近似一、一维简单晶格的热振动第个n原子受力:)2()()(1111nnnnnnnnuuuuuuuF2.1 一维晶格（原子链）的热振动)2(1122nnnnuuudtudm)(nqatinAeu牛顿方程：试探解：nu将特解代入牛顿方程得：)cos1 (22qam2.1 一维晶格

3、（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动（1） q的物理意义， 2/q 讨论格波的概念 色散关系：22(1 cos)sin22sin2qaqammqamq-/a/aq 的取值限定在第一布里渊区内2.1 一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动ppqqvqvqvvg相速度：d群速度：=d当：,0q 类似于连续介质中的弹性波称之为：振动2.1 一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动Nnnuu周期性边界条件)(nqatineu1iqNae2qNal , 2, 1, 0llNaNalq22qaa:22NNl N个q， 独立振动的模式数与自由度相等2.1 一维晶格（原子链）的热振

4、动二、一维复式晶格的热振动unvnvn-1amun+1un-1M un-第n个m原子 偏离平衡位置的位移 vn-第n个M原子 偏离平衡位置的位移 m: -原子质量 M:-原子质量 a:-晶胞常数 2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动212(2)nnnnd uMuuvdt)2(122nnnnuvvdtudm)(nqatinAeu)(nqatinBev牛顿方程试探解2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动0) 1()2(2BeAmiqa0)2() 1(2BmAeiqa将试探解代入牛顿方程可以得到：关于A,B齐次方程组无穷多解,有非零A,B解条件是方程组系数行

5、列式为零，可以得到一个关于2的一元二次方程，解得：1212222222(2cos) (2cos) mMmMmMqamMmMmMmMqamM2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动-/a/a+-光学支声学支q2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动Nnnuu11NuuNnnvv11Nvv 周期边界条件1iqNae2qNal , 2, 1, 0llNaNalq22qaa:22NNl N个q， 2N个独立振动的模式数与自由度相等光学支N个振动模式光学支N个振动模式2.2 三维晶格的热振动二、一维复式晶格的热振动0qAmBM 02)1 (2meBAiqa1AB单胞质

6、心不动， 异类原子相向运动，离子晶体可以同光波发生强烈相互作用，故称为光学振动， 光学模频率高,用激光可激发该振动所代表的振动所代表的振动单胞内异类原子同向运动，频率与波矢成线性关系，与连续介质中的弹性波类似，故称为声学振动，声学波可以用声波激发其振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律周期性边界条件同样实用于三维晶体可以找到一组坐标变换，可以将三维晶格振动处理成独立的简谐振动所以可以得出，q的取值与一维情况是相近的，而且，波矢同样要限制在第一布里渊区以内。2.2 三维晶格的热振动1 1223 311112222333320, 1,2, 320, 1,2, 320, 1,2, 3qqqlqlN

7、alqlN alqlN aqbbb三、三维复式晶格的热振动的一般规律123NN N N2.2 三维晶格的热振动若三维晶体每个单胞中含有n个原子，共有N个单胞总的的独立晶格振动模式数：3nN个由于声学格波在长波极限下代表单胞的整体运动，所以声学振动的模式数为：3N个；声学支的色散关系共有3个；光学振动的独立模式数为：3nN-3N = 3(n-1)N个三、三维复式晶格的热振动的一般规律2.2 三维晶格的热振动),(iiiiiizyxzyxQQ),(iiiiiizyxzyxQQ正则坐标：所有原子坐标的线性组合正则动量：所有动量的线性组合三、三维复式晶格的热振动的一般规律引入：11331133.nNn

8、NnNnNQxQxQxQxM2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律在上述正则变换下：体系的总能量可以表达为：2211()22iiiEQQ量子化以后，可以看成是3nN个独立的线性谐振子，其哈密顿量没有势能的交叉项：nNiiHH31总2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律）（21n上述3nN个独立的线性谐振子的薛定谔方程可以分离变量求解，其能量本证值为：晶格振动的能量量子声子声子是晶格集体振动的一种元激发类比：光波和光子 声波和声子2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律晶格振动的能量量子为声子, 声子能量：声子动量：q12n （）一个格波

9、能量激发n个声子，能量减少，意味声子湮灭电子声子碰撞:能量,动量都守恒声子声子碰撞:能量,动量都守恒声子数不守恒： 玻色子2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律11Bk Tne声子的统计分布晶格振动的总能量（E0零点振动能）01expETkEB2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律2.2 三维晶格的热振动dgTkEB)(1expmax0两个相邻的频率或波矢相差很小，晶格热振动总能量可以用积分表示2.3晶格比热的实验研究结果BVNkC33 TCV当温度很高时，实验发现所有固体的晶格比热均趋于相同的常数离子固体：T0，n杜隆-柏替（Dulung-Petit）

10、定律2.4 晶格比热的爱因斯坦模型3exp1aBENk T爱因斯坦温度2.4 晶格比热的爱因斯坦模型爱因斯坦模型实验结果TCv通过色散关系加以讨论-/a/a+-光学支声学支q温度较高高频声子激发为主高频下，频率近似为常数爱因斯坦模型更适合较高温度的情形2.4 晶格比热的爱因斯坦模型2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型-/a/a+-光学支声学支qq的线性区域一、模型n考虑到爱因斯坦模型在低温下与实验不符，德拜主要考虑低温下的情况;n通过分析色散关系中低频声学支特点可以发现，当频率较低时，频率同波矢近于线性关系；n在温度较低时，激发的声子主要是低频声子，所以可以假定频率与波矢成正比；n在物理上

11、，实质上是将晶格振动看成是连续介质中的弹性波，因为低频下，波长远大于晶格常数，所以晶体可以看成是连续介质。2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型一、模型态密度2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型二、态密度在倒空间中q的取值是均匀分布的l1, l2, l3, 整数b2b1b32.5 晶格比热的德拜（Debye）模型二、态密度倒空间每个q所代表的点形成的“点阵”在倒空间，每个q所占的体积为：33123121233()(2 )()(2 )qcbbbbbbVNNNNNVVV=NVc 是晶体的体积2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型二、态密度b1b2b3q倒易空间q的密度为：223224d4d

12、( )d(2 ) /d2qqqqqqqVVVqq2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型二、态密度( )( )gdq dq( )( )dqgqd 由于和q是一一对应的， 所以有2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型三、晶格比热2.6 晶体的热膨胀V(r)r抛物线近似( )/( )/BBV xk TV xk Txedxxedx温度为T时，一维晶体中原子的平均距离为： 若势函数时是对称的，上式为零，晶体表现为零膨胀特性2.6 晶体的热膨胀rV(r)由晶体势函数的形状分析晶体热膨胀行为讨论：正膨胀？负膨胀？2.7 晶格导热一、声子膨胀的正常过程（N过程）第一布里渊区q1q2q3三声子过程：满足动量守恒定律123qqq一、声子膨胀的倒逆过程（U过程）第一布里渊区q1q2q3三声子过程：满足动量守恒定律123qqqG