【2019西城一模】北京市西城区2019届高三一模试卷数学理

1、-1 北京市西城区 2019 年高三一模试卷 数 学（理科） 第I卷（选择题共 4040 分） 2019.42019.4 、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，共 4040 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1 1 .设全集 U = R，集合 A = x |0 ： x 2, (A A) (-：,2 ( B B) (-：,1 2.2. 已知平面向量 a= (2, -1), b= (1,1), 1 (A A) 2 ( B B)- 2 , , n 3.3. 在极坐标系中，过点 (2,于) (A) p = 2= 2 ( B B) B 二x|x ：1，则集合 eu

2、(AU B)=() (C C) (2, ：) (D D) 2, c二（-5,1）. .若（a kb）/c，则实数k的值为（ ） (C(C) 11 4 (D) 11 且与极轴平行的直线方程是（ ） 4 4执行如图所示的程序框图，如果输入 (A) 4 (B) 16 (C) 256 (D) log316 2 （ C） W 2 （ D） =2 a =2,b =2，那么输出的 a a 值为（ ） 5 5下列函数中，对于任意 R，同时满足条件 （） f（X）二 f（ -X）和 f（X - n = f（X）的函数是 (A) f (x)二sin x (B) f (x)二 sin xcosx -2 (D) f

3、(x)二 cos X - Sn x 2 2 x y 6 6. “ m ：8 ”是“方程 1表示双曲线”的（ ） m -10 m -8 （A A）充分而不必要条件 （B B）必要而不充分条件 （C C）充分必要条件 （D D）既不充分也不必要条件 7 7某企业为节能减排，用 9 9 万元购进一台新设备用于生产 第一年需运营费用 2 2 万元，从第 二年起，每年运营费用均比上一年增加 2 2 万元，该设备每年生产的收入均为 1111 万元. .设该设 备使用了 n（n N J年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本） ，则 n n 等于 （ ） （A A） 3 （ B B） 4 （ C

4、 C） 5 5 （ D D） 6 6 8.8.如图，设 P P 为正四面体 A A- -BCDBCD 表面（含棱）上与顶点不重合 的一点，由点 P P 到四个顶点的距离组成的集合记为 M M，如果集合 M M 中有且只有 2 2 个元素，那么符合条件的点 P P 有（ ）(A(A) 4 4 个 (B(B) 6 6 个 (C(C) 10 10 个 ( (D D) 14 14 个 (C) f (x) = -3 A A B B 第n卷 （非选择题共no分） 二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题 5 5 分，共 3030 分. 1 -i 9 9设复数 x yi，其中x, y R，则x 汁 _ 2

5、 +i 10.10.若抛物线C: y2 =2px的焦点在直线x + 2y4=0上，贝U p= _ ； C的准线方程为 _ 11 11 已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2,2,它的俯视图是一个边长为 2 2 的正三角形，那么它的侧（左） 视图面积的最小值是 _ . . 三个结论: 2 2 飞（0,二），都有f（1）=1成立； 3 3 （0, V），函数f （x）的最大值都等于 4.4. 1212.若不等式组 表示的平面区域是一个四边形，则实数 2x y 6, x ya,x a, 已知函数 f(x)=f(x)= 2 其中 a a0 0 . x 2x x 2x - -3, x3, x 3)项并按原

6、顺序组成的新数列记为 n 1111 bn，并称bn为数列an的k项子列. .例如数列一,，-为an的一个 4 4 项子列. . 2 3 5 8 (I)试写出数列耳的一个 3 3 项子列，并使其为等差数列； (n)如果bn为数列an的一个 5 5 项子列，且bn为等差数列，证明：bn的公差d满足 -:d ： 0 ； 8 (川)如果Cn为数列an的 一个m(m 3)项子列，且cn为等比数列，证明： C1 C2 cl Cm 2 m -4 -8 北京市西城区 2019 年高三一模试卷参考答案及评分标准 一、 选择题：本大题共 I.I. C C 5 5. D D 二、 填空题：本大题共 2 9 9. 5

7、 II.II. 23 1313. 48 5 5 分，共 4040 分. . 3 3. D D 7 7. A A 5 5 分，共 3030 分. . 1010. 8 1212. (3,5) 注：第 1010 题第一问 2 2 分，第二问 3 3 分. .第 1414 题若有错选、多选不得分 三、解答题：本大题共 6 6小题，共 8080 分. .其他正确解答过程，请参照评分标准给分 15.15. (本小题满分 1313 分) (I)解：因为 b2 c2 = a2 bc , 高三数学(理科) 2019.42019.4 8 8 小题，每小题 2 2. B B 6 6. A A 6 6 小题，每小题

8、-9 因为 b2 c2 = a2 bc ,所以 2 -a 2bc 又因为A -(o, n, n 所以A=-. . 3 (n)解：因为cosB B (0, n , 所以 sin B -、1 - cos2 B - 3 由正弦定理 a b sin A sin B bsin A sin B 3 3 分 5 5 分 7 7 分 9 9 分 1010 分 1212 分 10 所以 c2 -2c-5 =0, 解得c =仁6 , 因为c .0 , 所以 c = -、6 1. . 16.16. (本小题满分 1313 分) (I)解：a =0.15 , b =30. . . 2 2 分 (H)解：由表可知：灯泡

9、样品中优等品有 5050 个，正品有 100100 个，次品有 5050 个， 所以优等品、正品和次品的比例为 50:100:50 =1:2:1. . 4 4 分 所以按分层抽样法，购买灯泡数 n = k 2k k = 4k(kN ), 所以n的最小值为4 . . 6分 (川)解：X的所有取值为0,1,2,3. . . 7 7 分 由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为 0.1 0.15 =0.25 , . 8 8 分 从本批次灯泡中购买 3个，可看成3次独立重复试验， 所以 P(X =0)二 C0 (1-1)3 =27 , 4 64 P(X =1) 1 (1 一丄)2 二27 , 4

10、 4 64 2 1 2 1 1 9 P(X=2)=C： (-)2(-)1 -, 4 4 64 3 1 3 1 P(X =3) =C3 ()3 . . . 11 11 分 4 64 所以随机变量 X的分布列为： X 0 0 1 1 2 2 3 3 P 27 27 _9_ 丄 64 64 64 64 1111 分 1 故厶 ABCABC 的面积S bcsin A = 2 3J2 3 2 1313 分 x x -11 （出 27 27 9 1 3 所以X的数学期望E（X0 27 1 27 2 3 - 3 . 64 64 64 64 4 . 1313 分 （注：写出 XLB（3）,P（X =k） =c

11、k）k（1丄）3,k=0,1,2,3 请酌情给分） 4 4 4 17.17. (本小题满分 1414 分) (I)证明：因为底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形, 所以 BC _ CD , BC _ CC1 , 又因为CDnCC,=C, 所以BC _平面DCC1D1 , . 2分 因为D1E 平面DCC1D1 , 所以BC _ D,E. . . 4 4 分 （n）证明：因为 BB1/DD1, BB = DD1 , 所以四边形 D1 DBB1是平行四边形. . 连接DB1交D1B于点F ,连接EF，则F为DB,的中点. . 在 B1CD 中，因为 DE -CE , DF , 所以 又因为 所以

12、解：由 又因为 所以DjE _平面ABCD. . 9 9 分 -12 解得a =1. . 18.18.(本小题满分 1313 分) (I)解：由题意，得 f (x) = (x In x) = In x 1，其中 x 0 , 所以 f(1)=1 , 又因为f (1) = 0,设G为AB的中点，以E为原点，EG, EC, ED1所在直线分别为 x x 轴，y y 轴，z z 轴 如图建设 DjE =a，贝V E(0,0,0), B(1,1,0), Di(O,O, a), C(0,1,0), Bi(1,2, a), G(1,0,0). . 设平面BED1法向量为n = (x, y, z), 因为 E

13、B =(1,1,0), EDgOQa), 由“巴“，得x * , n ED1 =0, z = 0. 令 x = 1，得 n = (1, -1,0). . 1111 分 设平面BCGB1法向量为m=(捲，,乙), T T 因为 CB = (1,0,0), CR=(1,1,a), m CB = 0, % 二 0, 由 得 m CB1 =0, * % 口 =0. 令 w =1，得 m = (0, -a,1). . 1212 分 , n 由平面BCGE与平面BED1所成的锐二面角的大小为 - 3 n 一 二 cos m n 2 aL1 3， 得 |cos b b2 b3 b4 b5 0, 若 D =1

14、 , 1 由bn为an的一个 5 5 项子列，得b2 2 1 1 所以 d =b2 - bw _1 = _. 2 2 因为 b5 二 b 4d , b5 0, 1 所以 4d = b5二 b51 -1，即 d . . 4 、 1 这与d w 矛盾. . 2 所以b, =1. . 1 所以 bwbw- -, , . 6 6 分 2 因为 bs 4d , b5 0 , 1313 分 所以存在直线l，使得C, D是线段MN 的两个三等分点，此时直线- -的方程 S* 1 1 1 所以4d=b5-biS，即 d d ， 2 2 8 13 1 -19 =1时, 1 K m m4 市是an中的项，且K,L互质, a L q C2 C3 III Cm （1 q q2 |1） qm） 1 1 1 1 1 丄（一1+1+1+HI +） m 1 m -2 m3,2 m4 八 M K K L K L L 因为 综上，得 d ；： 0 . . 8 (川)证明：由题意，设cn的公比为q , 则 q 9 C3 III Cm =q（1 q q2 III qmJl）. . 因为Cn为an的一个m项子列, 所以 1 q为正有理数，且q ：