用函数观点看方程与不等式

1、用函数观点看方程与不等式知识梳理1一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a0）的解，所对应的坐标（，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a0）的解 2坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；函数关系式y

2、=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示3一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系4两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 （1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1k2 （2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1直线y=k2x+b2 k1=k2，b1b2 （3）二元一次方程组有无

3、数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b25、二次函数与一元二次方程组的关系（1）如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。（3）在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。【解题方法指导】例1如图1所示，直线y=kx+b经过A（2，1）和B（3，0）两点，则不等式组x<kx+b&l

4、t;0的解集为_3<x<2 _ 图1 图2 图3例2如图2，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y27x2y1的值等于_20_例3如图3所示，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图像并回答下列问题： （1）乙出发时，与甲相距_10_km； （2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_1_h； （3）乙从出发起，经过_3_h与甲相遇； （4）甲行走的路程s与时间t之间的函数关系式_s=10+t _； （5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过_1.2_h与甲相遇

5、，相遇处离乙的出发点_18_km并在图中标出其相遇点例4 已知二次函数，且，则一定有（ ） A. B. C. D. 分析：由，可知抛物线开口向下，又当时，所以抛物线有在x轴上方的图象，必与x轴有两个交点，则方程有两个不等实根，故选（A）。 解：中， 抛物线的开口向下 又当时， 抛物线有在第二象限的点。 它的示意图如图。 抛物线与x轴有两个交点。 令，得 方程有两个不相等的实数根 故选A。 评析：此题由二次函数问题转化为二次方程，关键是确定二次函数的图象与x轴有无交点，有几个交点。由加以确定抛物线的开口方向及图象的位置，其中当时，这里要会找到的值为多少时，得到。例5. 已知二次函数，其中为常数，

6、且满足。试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方，还是在x轴下方。 分析：欲确定抛物线的开口方向，要看，还是，由，可知，得知抛物线开口向下；又，得知抛物线与y轴交点在x轴上方；再由，得知抛物线与x轴有两个交点。 解： 抛物线开口向下； 又， 抛物线与y轴的交点在x轴上方； 令，得 抛物线与x轴有两个不同的交点。 评析：此题的难点是给出了m的范围，即，要确定与2的大小关系，及m与的大小关系。必要时，可画出示意图判断。例6. 关于二次函数的图象有下列命题： 当时，函数的图象经过原点 当，且函数图象开口向下时，方程必有两个不相等的实数根 函数图象的最高点的纵坐标是 当时，函数

7、的图象关于y轴对称。 其中正确命题的个数是（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 分析：4个命题要一一加以判断，正确；正确；正确；但无最高点，是错误的，故选（C）。 解：对于，当时，得，若，得， 抛物线必过原点，正确； 对于，当，且图象开口向下时，抛物线与x轴必有两个交点， 方程必有两个不相等的实数根，正确； 对于，当时，抛物线开口向上，无最高点，不正确； 对于，当时，得，关于y轴对称，正确。 一共有3个正确， 选（C）评析：对于，很容易误解成是正确的命题，由于不知道，还是，因此举出一个反例即可。例7、我市某乡A，B两村盛产柑橘，A村有柑橘200t，B村有柑橘300t现将这些柑橘运到

8、C，D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240t，D仓库可储存260t；从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt，A，B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元和yB元（1）请填写下表，并求出yB，yA与x之间的函数关系式；CD总计Axt200tB300t总计240t260t500t （2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少； （3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过480元在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值 【分析】（1）根据运输的吨数及运费单价可写出

9、y，y与x之间的函数关系 （2）欲比较yA与yB的大小，应先讨论yA=yB的大小，应先讨论yA=yB或yA>yB或yA<yB时求出x的取值范围 （3）根据已知条件求出x的取值范围根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值 【解答】（1）CD总计Axt（200x）t200tB（240x）t（60+x）t300t总计240t260t500t yA=5x+5000（0x200），yB=3x+4680（0x200） （2）当yA=yB时，5x+5000=3x+4680，x=40； 当yA>yB时，5x+5000>3x+4680，x<40

10、； 当yA<yB时，5x+5000<3x+4680，x>40 当x=40时，yA=yB即两村运费相等；当0x<40时，yA>yB即B村运费较少；当40<x200时，yA<yB即A村费用较少 （3）由yB4830得 3x+45804830 x50 设两村运费之和为y，y=yA+yB， 即：y=2x+9680 又0x50时，y随x增大而减小， 当x=50时，y有最小值，y最小值=9580（元） 答：当A村调往C仓库的柑橘重为50t，调运D仓库为150t，B村调往C仓库为190t，调往D仓库110t的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元例8 已知抛

11、物线y=x2mx+与抛物线y=x2+mxm2在平面直角坐标系中的位置如图2621,其中一条与x轴交于A、B两点图2621（1）试判断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由（2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足，求经过A、B两点的抛物线的关系式解析：(1)经过A、B两点的抛物线的：（2）可根据一元二次方程根与系数关系来解.解法一：（1）y=x2mx+,中1=m22m2=m2抛物线不过原点，m0.m2<0.1<0抛物线y=x2mx+与x轴无交点y=x2+mx m2经过A、B两点（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x10，x20，OA=x1，OB=x2又,，即3（x1+x2）

12、=2x1x2又x1、x2是方程x2+mxm2=0的两根，x1+x2=m，x1x2=m23m= m2m1=0（不符合题意，舍去），m2=2经过A、B两点的抛物线为y=x2+2x3解法二：（1）两条抛物线都不过原点，m0抛物线y=x2mx+与y轴交于(0，)>0，抛物线y=x2mx+不经过A、B点抛物线yx2+mxm2与y轴交于（0，m2），m2<0，抛物线y=x2+mxm2经过A、B两点（2）同解法一中的（2）例9 已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中

13、点，且点P的横坐标为，试用含a的代数式表示点P的纵坐标；(3)设A,B两点的距离d=·x1x2,试用含a的代数式表示d.解：（1）将y=ax+5代入y=2x2,消去y得2x2ax5=0,=(a)24×2×(5)=a2+40>0，方程有两个不相等的实数根不论a取何值，抛物线与直线一定有两个不同的交点（2）x1、x2是方程2x2ax5=0的两个根,x1+x2=,x1x2=点P的纵坐标为(x1+x2)+5=·+5=+5（3）x1+x2=,x1x2=x1x2=.d=.例10 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间

14、，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式;(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q收购总额)？解：(1)由题意知：p=30+x,(

15、2)由题意知活蟹的销售额为(100010x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x元.Q=(100010x)(30+x)+200x=10x2+900x+30000.(3)设总利润为L=Q30000400x=10x2+500x=10(x250x) =10(x25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元.例11图中a是棱长为a的小正方体，图b、图c由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层，第n层，第n层的小正方形的个数记为S，解答下列问题： (1)按照要求填表：n1234S136(2)写出当n=10时，S=_;(3)根据上表中的数据，把S

16、作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点;(4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式；若不在，说明理由.(1)10 (2)55 (3)(略).(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上.设函数的解析式为S=an2+bn+c.由题意知 S=例12 如图，设直线y-xb（b0）与开口向上的抛物线yax2相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），与x轴相交于C（x3，0），与y轴相交手点D（1）求证：+=，y1y2b2；（2）当B为DC的中点时，求ab的值；（3）取a1，当 ADDB21时，求b的值解 （1）证明：A、B是直线y=

17、-x+b与抛物线的交点，（x1，y1），（x2，y2）是方程组的解，故x1，x2是方程ax2+x-b0的两根，由根与系数的关系得：x1+x2= -, x1·x2= -,又直线y-xb与x轴交于点C（x3，0）， x3b，+= -/-=；y1y2=ax12·ax22=a2·(x1·x2)2=a2·(-)2=b2.（2）作BEx轴于E，DB=BC, OD=BE,OE=OC，D(0,b),C(b,0)B(b, b). 又点B在抛物线yax2上，ba·（b）2ab2（3）过A点作AFx轴于F，ADDB2：1，OFOE21 x1x2-21，又x

18、1+x2= -= -1. x1= -2,x2=1, b=-x1·x2=2。【解题技巧点拨】此类问题常见的形式和解题方法是：用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出特定系数的值；将函数图象与坐标轴交点坐标与方程的根对应起来；利用函数研究方程的根与系数之间的关系；利用函数图象交点的坐标与方程组的解之间的关系及根与系数关系解题。 、课堂练习1、如图4所示，已知函数y=x+b和y=ax+3的图像交点为P，则不等式x+b>ax+3的解集为_x>1_ 图4 图5 图62函数y1=x+1与y2=ax+b（a0）的图像如图5所示，这两个函数图像的交点在y轴

19、上，那么使y1，y2的值都大于零的x的取值范围是（ D ） Ax>1 Bx<2 C1<x<2 D1<x<23如图6，一次函数y=kx+b的图像经过A，B两点，则kx+b>0的解集是（C ） Ax>0 Bx>2 Cx>3 D3<x<24小亮用作图像的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图像L1，L2如图所示，他解的这个方程组是（ D ）A BC D5已知一次函数y=x+m和y=x+n的图像都经过点A（2，0），且与x轴交于A，B两点，那么ABC的面积是（ C）A2 B3 C4 D66. 在反比

20、例函数中，当时，随的增大而增大，则二次函数的图象大致是（ D ）解：中，当时，y随x的增大而增大， 图象一支在第四象限 则的图象，开口向下，排除（A）、（B） 选（D）7. 已知二次函数 （1）证明m为任何实数时，它的图象必与x轴相交于两点； （2）m为何值时，它的图象过原点； （3）m为何值时，它的图象的对称轴是y轴。 分析：（1）将二次函数转化为一元二次方程，由进行判断。 （2）由，求m （3）由，即去解。 解：（1）令，得 不论m为任何实数，都有， 方程有两个不相等的实数根， 它的图象必与x轴相交于两点。 （2）当时，二次函数的图象过原点， 即当时，它的图象过原点。 （3）当时，二次函数

21、的对称轴是y轴。 即当时，它的图象的对称轴为y轴。8、已知抛物线与x轴交于A（，0），B（，0）（）。 （1）求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧； （2）若抛物线与y轴交于点C，且，求a的值。 分析：（1）将二次函数转化为一元二次方程，由，求出的范围；由，得出同号；再由，得出两点在原点左侧。 （2）由，得出，再由，求出a的解。 解：（1）抛物线与x轴交于两点，且， 令，得 的取值范围是，且。 又 同为负数。 点都在原点左侧。 （2）同为负数， 由， 得 评析：此题较为复杂，要完成一元二次方程和二次函数间的转化，同时，还要熟悉一元二次方程根与系数的关系等关系，体现了综合考查知识的能力

22、。9. 已知：抛物线。 （1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点； （2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C。 试问：是否存在实数，使与相似？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由。 分析：（1）只要证即可；（2）设法判定与的形状，求出点A、B、C的坐标，再判定当两个三角形相似时，求出的值。 解：（1）令，得 抛物线与x轴只有一个公共点， 当时，抛物线与x轴只有一个公共点。 （2）抛物线与y轴负半轴交于点C， 当时， 点C的坐标为（0，），。 当时，得 点A在点B的左边， A、B两点的坐标分别是 是等腰直角三角形。 要使与相似，只需 这

23、样的值存在，且。 评析：欲求两个三角形相似时的值，要注意线段的长为正值，的值可能为负值。10. 某商店如果将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销售100件。为了增加利润，该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1元，销售量要减少10件。问当售价定为多少时，才能使每天的利润最大？并求最大利润。 分析：若每件商品提高x元，那么每件利润为元，每天销售量为件，每天所得利润为y元，可列出函数解析式 解：设每件提高x元（） 每件获得利润为元。 每天可销售件， 设每天获利润y元， 则 当时，y的值最大即当定价为每件14元时，获得利润最大，每天最大利润为360元 11、已知：二次函数的图像经过 A

24、（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图像与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；（3）若二次函数的图像截直线y -x+1所得线段的长为 2，确定m的值(1)y=x2-x+m (2)m±1 (3)m=或m= -5 课后作业1、已知满足方程组则的值为（ D ）。 2、如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x122x11，x222x21，那么x1·x2等于（ B ）。2 B1 1 23、不等式(m-2)x>2-m的解集为x<-1，则m的取值范围是_m24、当m为何值时，抛物线与x轴有两个

25、交点，有一个交点，无交点。 解：令，得 当时，抛物线与x轴有两个交点； 当时，抛物线与x轴有一个交点； 当时，抛物线与x轴无交点。5、 已知二次函数与x轴有两个交点，求m的取值范围。 解：令，得 抛物线与x轴有两个交点， 又 的取值范围为，且。6、 已知二次函数（）的图象经过O（0，0），A（1，），B（，14）和C（2，m）四点，求这个函数的解析式及m的值。 解：函数图象经过O（0，0），A（1，），B（，14）三点， 解得 它的解析式为 又图象过C（2，m）点， 7、已知二次函数 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B，且

26、A点坐标为（1，0）。求B点坐标。（1）略；（2） 解：（1）， 对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点。 （2）把（1，0）代入，得 ， 当时， 点坐标为（2，0） 当时，点坐标为（）8、已知抛物线。 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴。 （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长。 解：（1） 顶点（1，3），对称轴 （2）令，得 设它的两个根为 则 9、近阶段国际石油迅速猛涨，中国也受期影响，为了降低运行成本，部分出租车进行了改装，改装后的出租车可以用液化气来代替汽油假设一辆出租车日平均行程为300km （1）使用汽油的出租车，假设每升汽油能行驶12km，当前的汽

27、油价格为4.6元/L，当行驶时间为t天时，所耗的汽油费用为p元，试写出p关于t的函数关系式； （2）使用液化气的出租车，假设每千克液化气能行驶1516km，当前的液化气价格为4.95元/kg，当行驶时间为t天时，所耗的液化气费用为w元，试求w的取值范围（用t表示）； （3）若出租车要改装为使用液化气，每辆需配置成本为8000元的设备，根据近阶段汽油和液化气的价位，请在（1）（2）的基础上，计算出最多几天就能收回改装设备的成本？并利用你所学的知识简单说明使用哪种燃料的出租车对城市的健康发展更有益（用20字左右谈谈感想）1）p=300×，即p=115t （2）300×w300&

28、#215; 即w99t （3）115t99t8000，t500 即最多500元能收回改装设备的成本 液化气燃料的出租车对城市健康发展更有益（感想略）10、已知关于x的二次函数y=x2mx+与y=x2mx，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点 （1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点； （2）若点A坐标为（1，0），试求点B坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？（1）对于二次函数y=x2mx+ =（m）24×1×=m22<0 此函数图像与x轴没有交点 对于二次函数y=x2mx =（m）

29、2+4×1×=3m2+4>0 此函数图像与x轴有两个不同的交点 故图像经过A，B两点的二次函数为 y=x2mx （2）B（3，0） （3）将A（1，0）代入y=x2mx得m22m=0，m=0或m=2 若m=0，则当x<0时，y随x增大而减小； 若m=2，则当x<1时，y随x增大而减小11、学校书法举小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低

30、0.6元，其余部分仍按零售价销售 （1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？ （2）为了促销，该文具店的A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价即（1）中所求得的A型毛笔的零售价的90%出售现要购买A型毛笔a支（a>40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选哪种方法购买花钱较少？并说说理由（1）设这家文具店A型毛笔的零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，则根据题意得： 解之得： 答：这家文具A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元 （2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元，则m=20×2+（a20）×（20.4）=1.6a+8；如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元，则n=a×2×90%=1.8a，于是nm=1.8a（1.6