非线性电阻电路的分析方法

1、第第5章章 非线性电阻电路非线性电阻电路5.1 非线性电阻的伏安特性非线性电阻的伏安特性5.2 非线性电阻的串联、并联电路非线性电阻的串联、并联电路5.3 非线性电阻电路的方程非线性电阻电路的方程5.4 小信号分析方法小信号分析方法5.5 非线性电阻电路解答的存在与唯一性非线性电阻电路解答的存在与唯一性5.7 用友网络模型求解非线性电阻电路用友网络模型求解非线性电阻电路5.6 非线性电阻电路方程的数值求解方法非线性电阻电路方程的数值求解方法 牛顿牛顿拉夫逊法拉夫逊法5.1 非线性电阻的伏安特性非线性电阻的伏安特性一、线性电阻元件一、线性电阻元件电阻值大小与电阻值大小与u、i 无关（无关（R为常

2、数），其伏安特性为常数），其伏安特性为一过原点的直线。线性电阻的为一过原点的直线。线性电阻的u、i 关系与方向关系与方向无关。无关。u、i 关系符合欧姆定律。关系符合欧姆定律。consttg iuRiuPui uiR二、非线性电阻元件二、非线性电阻元件非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定律，而非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定律，而遵循某种特定的非线性函数关系。其阻值大小与遵循某种特定的非线性函数关系。其阻值大小与u、i 有关，伏安特性不是过原点的直线。有关，伏安特性不是过原点的直线。 u = f ( i ) i = g ( u )非线性电阻元件的图形符号与伏安函数关系非线性电阻元件的图形符

3、号与伏安函数关系:流控电阻流控电阻压控电阻压控电阻单调型电阻单调型电阻+ui非线性电阻元件分类非线性电阻元件分类1 流控电阻流控电阻：电阻两端电压是其电流的单值函数。：电阻两端电压是其电流的单值函数。ui0对每一电流值有唯一的电压与对每一电流值有唯一的电压与 之对应，对任一电压值则可能之对应，对任一电压值则可能有多个电流与之对应有多个电流与之对应(不唯一不唯一)。某些充气二极管具有类似伏安特某些充气二极管具有类似伏安特性。性。流控电阻的伏安特性呈流控电阻的伏安特性呈“S”型。型。2 压控电阻压控电阻：电阻两端电流是其电压的单值函数。：电阻两端电流是其电压的单值函数。对每一电压值有唯一的电流与对

4、每一电压值有唯一的电流与 之对应，对任一电流值则可能之对应，对任一电流值则可能有多个电压与之对应有多个电压与之对应(不唯一不唯一)。隧道二极管隧道二极管( 单极晶体管单极晶体管 )具有具有此伏安特性。此伏安特性。压控电阻的伏安特性呈压控电阻的伏安特性呈“N”型。型。ui0“S”型和型和“N”型电阻的伏安特性均有一段下倾段，型电阻的伏安特性均有一段下倾段，在此段内电流随电压增大而减小。在此段内电流随电压增大而减小。ui0ui03 单调型电阻单调型电阻：伏安特性单调增长或单调下降。：伏安特性单调增长或单调下降。u、i 一一对应，既一一对应，既是压控又是流控。是压控又是流控。P N结二极管具有结二极

5、管具有此特性。此特性。u、i 关系具有方向性。关系具有方向性。u+i0uiuiP 其伏安特性可用下式表示：其伏安特性可用下式表示：)1e(s kTquIi其中：其中： Is 反向饱和电流反向饱和电流 ( 常数常数 ) q 电子电荷，电子电荷，1.6 10 19C k 玻尔兹曼常数，玻尔兹曼常数，1.38 10 23 J/K T 热力学温度（绝对温度）热力学温度（绝对温度）（）（则则（时，即摄氏时，即摄氏室温下室温下当当1ln 1 ) J ( V40)C/J40 C27 )K(300S40S11 IiqkTueIiVItkTqTuu 可以用可以用 i 表示表示i 可以用可以用 u 表示表示一一一

6、一对应对应三、非线性电阻的静态电阻三、非线性电阻的静态电阻 Rs 和动态电阻和动态电阻 Rd静态电阻静态电阻动态电阻动态电阻s , tgGiuRs iuPdd , tgddGiuR 说明说明：(1)静态电阻与动态电阻不同，它们都与工作点静态电阻与动态电阻不同，它们都与工作点有关。当有关。当P点位置不同时，点位置不同时，Rs 与与 Rd 均变化。均变化。(2) Rs反映了某一点时反映了某一点时 u 与与 i 的关系，而的关系，而 Rd 反映了在反映了在 某一点某一点 u 的变化与的变化与 i 的变化的关系，即的变化的关系，即 u 对对i 的变的变 化率。化率。(3) 对对“S”型、型、“N”型非

7、线性电阻，下倾段型非线性电阻，下倾段 Rd 为负，为负， 因此，动态电阻具有因此，动态电阻具有“负电阻负电阻”性质。性质。例例：一非线性电阻：一非线性电阻3100ii)i (fu (1) 分别求分别求 i1 = 2A， i2 = 2Sin314t A， i3 = 10A时时 对应电压对应电压 u1，u2，u3；(2) 设设 u12 = f (i1 + i2 )，问是否有问是否有u12= u1 + u2？(3) 若忽略高次项，当若忽略高次项，当 i = 10mA时，由此产生多大时，由此产生多大误差？误差？例例：一非线性电阻：一非线性电阻3100ii)i (fu (1) 分别求分别求 i1 = 2

8、A， i2 = 2Sin314t A， i3 = 10A时时 对应电压对应电压 u1，u2，u3；V208100 3111 iiu倍倍频频中中出出现现了了3 V 942sin2314sin206 942sin2314sin6314sin200 )sin4sin33sin( 314sin8314sin200 100 2333222utttttttiiu V2000100 3333 iiu)(3100100 )()(100 (2)21213231213212112iiiiiiiiiiiiu （线线性性化化）误误差差此此时时，仅仅引引起起忽忽略略高高次次项项， V10 V101. 0100 V101

9、01. 001. 0100100 (3)6633 uiiu例例：一非线性电阻：一非线性电阻3100ii)i (fu (2) 设设 u12 = f (i1 + i2 )，问是否有问是否有u12= u1 + u2？(3) 若忽略高次项，当若忽略高次项，当 i = 10mA时，由此产生多大时，由此产生多大误差？误差？32231121100100 iiiiuu 性性非非线线性性电电路路不不满满足足叠叠加加 2112uuu 5.2 非线性电阻的串联、并联电路非线性电阻的串联、并联电路一、非线性电阻的串联一、非线性电阻的串联2121uuuiii )(iuu1u在每一个在每一个 i 下，图解法求下，图解法求

10、 u ，将一系列将一系列 u、i 值连成值连成曲线即得串联等效电阻曲线即得串联等效电阻 (仍为非线性仍为非线性)。i+ + + u)(2iu)(1iuiuo)(1iu)(2iu1uu2i二、非线性电阻的并联二、非线性电阻的并联同一电压下将电流同一电压下将电流相加。相加。iuo)(ui1i2iii1u)(1ui)(2ui2121uuuiii i+ + + ui1i2u1u2三、含有一个非线性电阻元件电路的求解三、含有一个非线性电阻元件电路的求解ab 以左部分为线性电路，化为戴维以左部分为线性电路，化为戴维南等效电路，其南等效电路，其u、i关系为关系为 RiUus ab 右边为非线性电阻，其伏安特

11、右边为非线性电阻，其伏安特性为性为 i = f (u)，i(u)曲线如图。曲线如图。两曲线交点坐标两曲线交点坐标 即即为所求解答。为所求解答。)i ,u(00线性线性含源含源电阻电阻网络网络i+ uabuiUs0u0iisRU) , (00iuQi (u)o其特性为一直线。其特性为一直线。ai+ ubRi+Us 5.3 非线性电阻电路的方程非线性电阻电路的方程列写方程的依据：列写方程的依据：KCL、KVL、元件伏安特性。元件伏安特性。一、节点电压方程的列写一、节点电压方程的列写 (非线性电阻为压控电阻非线性电阻为压控电阻)G1、G2为线性电导，为线性电导，非线性电阻为压控电非线性电阻为压控电阻

12、阻5155314433315105uiuiui +2i3i4i1i5i2G3u4usU1G5usI1nU2nU3nU00024543321 sIiiiiiiii5125313243213312211115105nnnnnnnsnUi)UU(i)UU(i)UU(Gi)UU(Gi 则节点方程为则节点方程为010015105053123132512313232132131211 snnnnnnnnnnnnnsnI)UU(G)UU(U)UU()UU()UU()UU(G)UU(G+2i3i4i1i5i2G3u4usU1G5usI1nU2nU3nU5155314433315105uiuiui 二、回路电流

13、方程的列写二、回路电流方程的列写 (非线性电阻为流控电阻非线性电阻为流控电阻 )非线性电阻特性非线性电阻特性:313320iu 03221 uuUuus3123212211120)(lllliuiiRuiRu 020)()(31221221211 lllsllliiiRUiiRiR即为所求回路电流方程即为所求回路电流方程+ 3usUR1u1i1R2u2 i2i3il1il25.4 小信号分析方法小信号分析方法小信号分析方法是工程上分析非线性电路的一个小信号分析方法是工程上分析非线性电路的一个极其重要的方法，即极其重要的方法，即“工作点处线性化工作点处线性化”sU为直流电源为直流电源(建立静建立

14、静态工作点态工作点)(tus为交流小信号电源为交流小信号电源)t (uUsssR为线性电阻为线性电阻非线性电阻非线性电阻 i = g(u) +iuRSuS(t)US 列列 KVL 方程：方程： )(uiRtuUsss uiUs0U0IisRUi(u)Po我们所关心的是我们所关心的是 作用作用下引起的电压、电流的交变下引起的电压、电流的交变分量分量 。由于电路中有非线性。由于电路中有非线性元件，不能使用叠加定理，元件，不能使用叠加定理，因此采用工作点处线性化的因此采用工作点处线性化的近似计算近似计算小信号分析。小信号分析。)t (us KVL 方程：方程： (1) )(uiRtuUsss 首先考

15、虑直流电源单独作用，令首先考虑直流电源单独作用，令 = 0)(tus此时，此时，KVL方程为：方程为：uiRUss 其中，其中，u、i 为为 US 作用产生作用产生.非线性电阻的伏安特性非线性电阻的伏安特性 i = g(u) 如上图。作图法可求如上图。作图法可求出其解答：出其解答：(U0, I0)+iuRSUSP点点 称为上述电路的称为上述电路的静态工作点静态工作点。)I ,U(00即：即： (3) (2) 0000)U(gIUIRUss 当考虑信号电源当考虑信号电源 存在时存在时( 仍作用仍作用)，此时，此时解答可视为在工作点解答可视为在工作点 P 处产生了电压、处产生了电压、电流的扰动电流

16、的扰动(或称变化量或称变化量) ，此时电路，此时电路解答可表示为：解答可表示为：)t (ussU)I ,U(00)t (i),t (u11(5) (4) 1010)t (iIi)t (uUu 注意：注意： 是由于是由于 作用产生的，但并作用产生的，但并不是由其不是由其单独单独作用产生的。作用产生的。)t (i),t (u11)t (us0101 I)t (iU)t (uU)t (uss因此，因此， 作用使得作用使得u、i 在工在工作点作点 处产生小扰动。处产生小扰动。)t (us)I ,U(00此时，非线性电阻特性此时，非线性电阻特性 i = g(u) 可写为可写为 )()(1010tuUgt

17、iI )t(ududg)U(g)t(iIU)t(uU1010010 将上式右边按台劳级数展开将上式右边按台劳级数展开 ( 取线性部取线性部分，忽略高次项分，忽略高次项 )(6) )(dd)(110tuugtiU 由前面由前面(3)式式 ，上式可简化为，上式可简化为)U(gI00 dUGdudg 0为非线性电阻在为非线性电阻在 处的动态电导处的动态电导0U则上式可写为：则上式可写为：ddddGR)t(iR)t(u)t(uG)t(i1 1111 或或： (3) )(2) 0000UgIUIRUss 则在工作点则在工作点(U0, I0)处，处，u1(t)与与i1(t) 近似为线性关系，非近似为线性关

18、系，非线性电阻近似为线性电阻。上述近似的条件是线性电阻近似为线性电阻。上述近似的条件是u1(t)与与i1(t) 均很小，即扰动不能偏离工作点太远。均很小，即扰动不能偏离工作点太远。 )t (iR)t (u)t (i )RR()t (u)t (iR)t (u)t (u)t (iR)t (uUIRU)t (u)t (iRUIR)t (uU)t (iIR)t (uUuiR)t (uUddssdssssssssssss11111110011001010 (2) (1) 而而式式得得由方程由方程上式即为上式即为 uS(t)作用产生的扰动电压、电流作用产生的扰动电压、电流 u1(t), i1(t) 的计算

19、公式，由此可得其等效电路：的计算公式，由此可得其等效电路： 此电路称为非线性电此电路称为非线性电阻在工作点阻在工作点P(U0, I0) 处的小信号等效电路。处的小信号等效电路。 上述分析方法上述分析方法 称为小称为小信号分析方法。信号分析方法。+i1(t)u1(t)RdRSuS(t)0U0IPi(u)uiUsisRUo解解:)V 5( A4V 2 310 0)( 00020000舍去舍去即即则则令令 UIUUUIRUItisss(2) 求出工作点处的小信号等效电路求出工作点处的小信号等效电路工作点处动态电导工作点处动态电导S 42dd00 UuiGUd411 dd GR则则小信号等效电路如下图

20、：小信号等效电路如下图：(1) 求静态工作点求静态工作点 P (U0, I0)ui+ISiS(t)RSi=g(u)例：例：已知：已知： 0 00 )(, Asin5 . 0)(,31 ,A102SSSuuuugittiRI计算小信号电压、电流。计算小信号电压、电流。V sin0714. 0sin75 . 0)()(dss1ttGGtitu 或：或： Asin286. 0)(74)()(SdSS1ttiRRRtitiS 1iiS(t)RS+u1(t)Rd Asin286. 04sin0714. 0)()(d11ttGtuti V sin0715. 0sin286. 041)()(1d1tttiR

21、tu 5.5 非线性电阻电路解答的存在与唯一性非线性电阻电路解答的存在与唯一性非线性电阻电路有唯一解的非线性电阻电路有唯一解的一个定理一个定理：任何一个由二端电阻和独立电源构成的非线性电任何一个由二端电阻和独立电源构成的非线性电阻电路有唯一解，当电路满足如下条件：阻电路有唯一解，当电路满足如下条件：(1) 此电路中的每一电阻的伏安特性都是严格递增的；此电路中的每一电阻的伏安特性都是严格递增的；(2) 此电路中不存在仅由独立电压源构成的回路和仅此电路中不存在仅由独立电压源构成的回路和仅 由独立电流源构成的割集。由独立电流源构成的割集。5.6 非线性电阻电路方程的数值求解方法非线性电阻电路方程的数

22、值求解方法 牛顿牛顿拉夫逊法拉夫逊法一、具有一个未知量的非线性代数方程求解一、具有一个未知量的非线性代数方程求解oxf(x) x设方程设方程 f(x) = 0 解为解为x*，x*为为 f(x) 与与 x 轴轴交点。交点。利用牛顿利用牛顿拉夫逊法求拉夫逊法求x* 步骤如下：步骤如下： (1) 选取一个合理值选取一个合理值x0，称为称为 f(x) = 0 的初估值。此时的初估值。此时x0 一般与一般与 x* 不等不等.0 0 )x(f(2) 取取x1 =x0+ x0 作为第一次修正值，作为第一次修正值， x0 充分小。将充分小。将 f(x0+ x0)在在 x0 附近展开成台劳级数：附近展开成台劳级

23、数：.xdxfd!xdxdf)x(f)xx(fxx 202200000021取线性部分，将取线性部分，将 f(x) 在在 x0 处线性化，并使之为零，得：处线性化，并使之为零，得：)x(f)x(f)x(fdxdfxxdxdf)x(fxx0000000010 由上式即可确定由上式即可确定 x0 的取值，由此可得第一次修正值的取值，由此可得第一次修正值001xxx )x(f)x(fxxxx111112 如此迭代下去，直至如此迭代下去，直至 为止。为止。(一般应给定一误一般应给定一误差要求差要求) xxk其一般迭代式推导如下：其一般迭代式推导如下：若第若第 k 次修正值为次修正值为 xk ，则第则第

24、 k+1 次修正值为次修正值为)x(f)x(fxxxxkkkkkk 1利用上述公式，一次次迭代下去，直至利用上述公式，一次次迭代下去，直至 为为止。通常满足止。通常满足 即可，即可， 为所给的误差指为所给的误差指标，如标，如 等。等。 xxk xxk 410 则进行第二次修正。则进行第二次修正。若若 , 0)(1 xf；，则，则若若110)(xxxf , 0)( 1 xfx 代入方程代入方程将将1x2x)x(f1)x(f0oxf(x) x)x(f20 x001xxx )()(000 xfxfx )()( 111112xfxfxxxx 二、具有多个未知量的非线性方程组的求解二、具有多个未知量的非

25、线性方程组的求解设设 n 个未知量个未知量nxx,x . . 210 . . . . 0 . . 0 . . 21212211 )xx,x(f)xx,x(f)xx,x(fnnnn一般表示为一般表示为n,j)xx,x(fnj . . 21 0 . . 21 对对x1, x2, , xn先选一组初估值先选一组初估值 进进行第一次计算，然后不断修正，进行迭代运算。行第一次计算，然后不断修正，进行迭代运算。) . . ,(0n0201xxx设第设第 k 次迭代时，次迭代时，n,j)xx,x(ffknkkjkj . . 21 . . 21 若若 ，则则 即为所求的一组解答；即为所求的一组解答；0 kjf

26、knkkxx,x . . 21下面分析每次修正值下面分析每次修正值 xj ( j=1,2,n)的计算的计算:若若 ，则进行修正，则进行修正，寻找寻找0 kjf11211 . . knkkxx,x)xxxx,xx(ffxxxxxx,xxxknknkkkkjkjknknknkkkkkk . . . . 22111122121111展开，取线性部分，并令其等于零，得展开，取线性部分，并令其等于零，得kjnikikijnikikijkjknknjkkjkkjkjkjfxxfxxffxxfxxfxxfff 1122111 0 . . 写成矩阵形式为：写成矩阵形式为： knkkknkkknnnnnnfff

27、xxxxfxfxfxfxfxfxfxfxf . . 2121212221212111简记为：简记为： J 称为称为雅可比矩阵雅可比矩阵由第由第 k 次的值次的值 及各偏导数值及各偏导数值 即可求出第即可求出第 k+1 的修正值的修正值 ，进而得到，进而得到 的值。由此迭代下去，的值。由此迭代下去，直至直至 或小于某一误差要求为止。或小于某一误差要求为止。 kFkJkX 1 kX0 kX 1kkkkkkFJXFXJ 例例1. 2)( 3 ,A2 n3233321sUuuufiRi求求已知：已知： 解：列节点方程解：列节点方程nnsnUUiiiRU223132 02372 nnUU237 2 nn

28、nUU)U(f令令+iS1Uni3u3R2 3722372237 372221 knknknknknknknknknknknknknknknknUnnknUUUUUU)U(f)U(fUUUU)U(f)U(fUUdU)U(df)U(fkn取取 ，迭代结果如下表：，迭代结果如下表：00 nUknUk)U(fkn012340 20.857140.734690.675630.032950.666690.000090.666670.00001四次迭代后：四次迭代后：0000010000020 666670 .)U(f.U.Unnn注意：初估值选择不好会产生振荡注意：初估值选择不好会产生振荡 (迭代不收敛

29、迭代不收敛)237)( 2 nnnUUUf 372221 knknknUUU列节点方程：列节点方程：26102123331 bbaauuuuU解法一：以解法一：以ua, ub为变量为变量026102012333 bbaabauuuuuu0021 )u,u(f)u,u(fbaba牛顿牛顿拉夫逊法线性化为迭代方程为拉夫逊法线性化为迭代方程为( 第第 k 次次) kkkbkakffuuDCBA21 1 61121 kbakaufBuufA其中：其中：方程化为方程化为ai 1bu+1U1A+aubi26A2U例例2.43310 ;, 10 , 2 bbaabbbaaiuiuuuiui计算：计算：261

30、02 12 103 633213112222 kbkbkakkbkbkbkakbkakkakakabkbakauuufuuuuuufuuuuufDuufC BCADAfCfuBCADBfDfuuuuuuuffACBDBCADuukkkbkkkakbkakakakakakkkkbka21211121 1取初值取初值 ，根据上式进行迭代计，根据上式进行迭代计算，直至算，直至 为止。为止。2100 bau,u kbkau,u 解法二：以解法二：以 U1, U2 为变量，为变量，节点方程由前面得到为节点方程由前面得到为0261020122323213211 UU)UU()UU(U02610366201

31、26622322212213132221221311 UUUUUUUUUUUUUU00212211 )U,U(f)U,U(f迭代方程为迭代方程为 kkkkkffUUDCBA2121 109126612661266126122212122222121122221212122212111 UUUUUfDUUUUUfCUUUUUfBUUUUUfAkkkk 2610212232321232111 kkkkkkkkkUU)UU(f)UU(UfkkkkkkUUUUUU21221111 BCADAfCfUBCADBfDfUUUUUUUffACBDBCADUUkkkkkkkkkkkkkkkkk21221121

32、2112112121 1根据上式进行迭代计算，直至根据上式进行迭代计算，直至 为止。为止。 kkU,U21 由求得的由求得的 ，即可求得，即可求得21U,UbbbbaaauuiUuuiUUu10 2 32321 解毕！解毕！5.7 用友网络模型求解非线性电阻电路用友网络模型求解非线性电阻电路 非线性电路用牛顿非线性电路用牛顿拉夫逊法求解时，采用迭代法，主要拉夫逊法求解时，采用迭代法，主要思想是在思想是在 xk 处处将非线性方程线性化将非线性方程线性化。而友网络模型则是在。而友网络模型则是在 xk 处处对每一非线性电阻元件线性化对每一非线性电阻元件线性化，每次迭代时用一线性电阻等，每次迭代时用一

33、线性电阻等效非线性电阻，并不断修改模型，直至计算出要求的结果。效非线性电阻，并不断修改模型，直至计算出要求的结果。其其中心思想就是在中心思想就是在xk 处对每一非线性电阻元件线性化处对每一非线性电阻元件线性化。下面推导非线性电阻的友网络模型：下面推导非线性电阻的友网络模型：i = f ( u )令令 xk, xk+1 分别为第分别为第 k 次和第次和第 k+1 次的电压估值，次的电压估值，其对应的电流分别为其对应的电流分别为)( ),(11 kkkkufiufi+ui把把 在在 处展开成台劳级数处展开成台劳级数，得，得)u(fikk11 ku . .21 22211 kukukkkkkuduf

34、d!ududf)u(f)uu(f)u(fikk取线性部分，即将非线性电阻在取线性部分，即将非线性电阻在 处线性化处线性化，得，得kukkdkkdkuukdkkkdkkukkuGuGidudidudfG)uu(G)u(fududf)u(fikkk 111 为非线性电阻在为非线性电阻在 点的动态电导。点的动态电导。)i ,u(kk在进行第在进行第 k+1 次迭代时，次迭代时， 是已知的，是已知的，上述关系可用如下等效电路来描述上述关系可用如下等效电路来描述：kdkkkG,u),u(fi 1 kikkdkuGi kdG+1 ku此电路模型为非线性此电路模型为非线性电阻在第电阻在第 k+1 次迭代次迭代时的时的“线性化线性化”模型。模型。将电路中所有非线性电阻分别用各自的线性化模型代将电路中所有非线性电阻分别用各自的线性化模型代替，就可得到和原电路对应的替，就可得到和原电路对应的“友网络模型友网络模型”。逐次。逐次迭代计算，即可得到所要求的解。迭代计算，即可得到所要求的解。例例1. 画出下图电路的友网络模型画出下图电路的友网络模型+sUsR+ui）热