高等数学 同济六版 上册 1-2数列的极限 课件

1、1 )(xfy ),(0 xu 00 xxxx0 xxx )(0 xu ).,(00 xx o0(, )u x ),(),(0000 xxxx 00 xxx 23123,.,.nx x xx11 1 11:, .,.22 4 82nn如nx数列也可看做自变量为正整数n的函数:( ),.nxf n nn.nx简记为数列4,nx.axn nnx,limaxnn . a n;01n.01lim nnnxnx n5当当n无限增大时无限增大时, , xn无限接近于无限接近于a 当当n无限增大时无限增大时, , 如果数列如果数列xn的一般项的一般项xn无限接近无限接近因此因此, 如果如果 n 增大到一定程

2、度以后增大到一定程度以后, 于常数于常数a, 则数列则数列xn收敛收敛a.当当n无限增大时无限增大时, |xn-a|无限接近于无限接近于0 .当当n无限增大时无限增大时, |xn-a|可以任意小可以任意小, 当当n增大到一定程度以后增大到一定程度以后, 任意小的正数任意小的正数.的任意小的正数的任意小的正数, 要多小就要多小就能能有多小有多小.|xn-a|能能小于事先给定的小于事先给定的则当则当n无限增大时无限增大时, xn无限无限接近于常数接近于常数a.|xn-a|能小于能小于事先给定事先给定6 axn;10010 nx 01n01lim nn,1001,10011 n100 n,10001

3、1000 n;100010 nx,10000110000 n;1000010 nx, 0 )1( nn0 nx n 01nn1,1001 ,10001 ,100001 7 n axn,limaxnn axn, nnn nxnxnx”定定义义“n axnn lim, 0 ，0 nnn axn: : 8”定定义义“n axnn lim, 0 ，0 nnn axn: : ),( aunxxx,21),( au,21nnnxxx nx),( aax 21x2x3x a aa2 nx1 nx91 、关关于于 的的任任意意性性和和固固定定性性：(1) 、一一方方面面: : 是是任任意意给给出出的的，只只有

4、有这这样样, ,另另一一方方面面: :即即一一旦旦给给出出, ,它它具具有有相相对对的的任任意意性性，.nxa才才能能保保证证的的无无限限性性 又又具具有有相相对对的的固固定定性性，nn我我们们便便可可算算出出，证证实实了了的的存存在在。(2) 、 是是任任意意的的正正数数, ,2 ,. 则则也也是是任任意意给给定定的的正正数数10limnnnxaxan证明的：任意给关键定正数 ，都能由找到2n、关关于于：nnnnn nxann 与与 有有关关. .是是 无无限限增增大大过过程程中中达达到到的的某某一一临临界界值值，时时才才能能保保证证成成立立, ,的的存存在在也也说说明明数数列列是是否否收收

5、敛敛只只与与该该数数列列的的 充充分分大大后后的的各各项项有有关关系系。11cxn cc 0 .limcxnn , 0 .limcxnn cxn c12. 1)1(lim1 nnnn1nx 1( 1)1nnn 1,n,1 n 1) 1(1nnn, 0 ,1 nx,1 n,1 n. 1)1(lim1 nnnn13, 1 q证明等比数列证明等比数列, 112 nqqq的极限为的极限为0.证：证：, 0 (设设),1 100nnxq ,1 nq两边取自然对数得两边取自然对数得,lnln) 1( qn, 1 q, 0ln q.lnln1qn 取取,lnln1 qn 则当则当nn 时，时，有有 01nq

6、成立，成立，即即.0lim1 n-nq1nq , 2( 1)(n 1)nnnxx证明数列的极限为0，14, 0 axn15定理定理1如果数列如果数列 nx收敛，收敛，证：证：用反证法用反证法假设同时有假设同时有,lim,limbxaxnnnn 且且, ba ,2ab ,21nn 、 使得当使得当1nn 时，时， 恒有恒有,2abaxn 2nn 时，时， 恒有恒有,2abbxn 取取, ,max21nnn 则则,223baxban ,232abxban nn 时，时，16则则,223baxban ,232abxban 即即,2baxn ，nxba 2这是不可能的，这是不可能的， 故收敛数列极限唯

7、一故收敛数列极限唯一.对数列对数列 ，nx若存在正数若存在正数m，使得一切使得一切,nx都满足不等式都满足不等式，mxn 则称数列则称数列 nx有界有界.否则称它无界否则称它无界. 有界性定义：有界性定义：nn 时，时，17定理定理2如果数列如果数列 nx收敛，收敛，则该数列一定有界则该数列一定有界 .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axnnnn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxmn记记,mxnn 皆皆有有则则对对一一切切自自然然数数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.

8、推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .注意：注意：有界数列不一定收敛，但收敛必有界有界数列不一定收敛，但收敛必有界.18证明数列证明数列), 3 , 2 , 1() 1(1 nxnn是发散的是发散的.设设,limaxnn 由定义得由定义得证：证：若它收敛，则极限唯一若它收敛，则极限唯一.1,2 ，n 成立，成立，21 axn有有当当nn 时，时，即即,2121 axan这是不可能的，这是不可能的，所以该数列发散所以该数列发散.因为因为 n时，时，nx无休止的一再重复取得无休止的一再重复取得1和和-1这两个数，这两个数，而这两个数不可能属于长度为而这两个数不可能属于长度为1的开区间的开

9、区间)21,21( aa内，内，193、收敛数列的保号性、收敛数列的保号性定理定理3 3).0(0, 0),0(0,lim nnnnxxnnnaaax或或都都有有时时当当则则或或且且若若证证, 0 a设设由定义由定义,2a 取取,2,aaxnnnn 时时恒恒有有使使得得当当则则 0,22naaxa从从而而实际是保号性定理的逆否命题实际是保号性定理的逆否命题.同理可证同理可证0 a的情况的情况.推论推论 若数列若数列 nx从某项起有从某项起有0 nx(或或),0 nx且且,limaxnn 则则0 a(或或).0 a204.收敛数列与子数列的关系收敛数列与子数列的关系,21nixxxx,21knn

10、nxxx注意：注意：例如，例如，子数列定义：子数列定义：在数列在数列 nx中任意抽取无限多项并保持中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列这些项在原数列 nx中的先后次序，中的先后次序，这样得到的一个数这样得到的一个数列称为原数列列称为原数列 nx的子数列的子数列 (或子列或子列).在子数列在子数列 knx中，中， 一般项一般项knx是第是第k项，项， 而而knx在原数列在原数列 nx中却是第中却是第kn项，项，显然，显然，. knk 21定理定理4 4 收敛数列的任一子数列收敛，且极限相同收敛数列的任一子数列收敛，且极限相同证证 的任一子数列的任一子数列是数列是数列设数列设数列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axnnnn恒有恒有时时使使,nk 取取,时时则当则当kk .kknnnnn . axkn.limaxknk 证毕证毕说明说明数数列列发发散散有有一一个个子子数数列列发发散散 . 1 n)1(. . 2 如如则则数数列列发发散散个个不不同同的的极极限限值值，若若有有两两个个子子列列收收敛敛于于两两. . 3的的子子列列发发散散数数列列也也可可