三角形培优训练100题集锦(学生用)

1、三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线

2、，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识

3、解答。ECABD1、已知，如图中，求中线AD的取值范围。分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD到E，使，连接BE又， (三角形三边关系定理)即2、如图，中，E、F分别在AB、AC上，D是中点，试比较与EF的大小。证明：延长FD到点G，使，连接BG、EG，GFECABD在中，3、如图，中，E是DC的中点，求证：AD平分.证明方法一：利用相似论证。证明：ECABDE是DC中点，即AD平分MECABD证明方法二：利用全等论证。证明：延长AE到M，使，连结DM易证，又，又，即AD平分4、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分

4、别是BC、DE的中点。探究：AM与DE的位置关系及数量关系。（1）如图1 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图1中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。图 1MNCABDNECABDM图 2解：（1），；证明：延长AM到G，使，连BG，则ABGC是平行四边形GCHABDMNE，又再证：，延长MN交DE于H（2）结论仍然成立证明：如图，延长CA至F，使，FA交DE于点P，并连接BF，FCPABDMNE在和中（SAS），又，且，5、如图，中，AD平分，且，求证：证明：过D作，垂足为MMC

5、ABD又，AD平分在和中，即: 6、如图，EA，EB分别平分，CD过点E，求证：证明：在AB上截取，连接EF在和中FEDABC即在和中（ASA）7、如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：证明：延长AB到D，使，连接PD则AP，BQ分别是，的角平分线，45232DQPCAB1又在与中，（AAS）即 8、如图，在四边形ABCD中，BD平分.求证： 解：过点D作于E，过点D作交BA的延长线于FBD平分EFDCAB，在和中（HL）9、如图，在中，P为AD上任意一点。求证：EDAPCB证明：如图，在AB上截取AE，使，连接PE在和中（SAS）在中，即10、在四

6、边形ABCD中，点E是AB上一个动点，若，且，判断与的关系并证明你的结论。分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。DEACB解：有连接AC，过E作并AC于F点则可证为等边三角形即，DEACBF又，又在与中，点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。FNMDEACB11、如图D为的角平分线，直线于A.E为MN上一点，周长记为，周长记为.求证：.证明：延长BA到F，使,连接EFAD为的角平分线，BC+BE+CE>AB+AC+BC的周长小于的周长，即12、已知：

7、ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ； （2）将图1中的ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 解：（1）BM=DM且BMDM 2分（2）成立 3分 理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD9 易证EMDCMF4分 ED=CF，DEM=1AB=BC，AD=DE，且ADE=ABC=90°， 2=3=45°, 4=5=45° BAD=2+4+6=90&#

8、176;+68=360°-5-7-1，7=180°-6-9，8=360°-45°-（180°-6-9）-（3+9）=360°-45°-180°+6+9- 45°-9 =90°+6 8=BAD 又AD=CF ABDCBF BD=BF，ABD=CBF DBF=ABC=90°MF=MD， BM=DM且BMDM13、如图，已知在中，的角平分线AD，CE相交于点O.求证：FODEACB证明：在AC上取点F，使，连接OFAD是的平分线 ，CE是的平分线 ，即：14、如图，中，AD平分，且平分BC，

9、于E，于F. （1）说明的理由；（2）如果，求AE、BE的长。（1）证明:连接DB，DCGFDEACB且平分BC，AD平分（2）解: ，即，15、如图，OP是的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在中，是直角，AD、CE分别是、的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。OPAMNEBCDFACEFBD图图图解：（1）FE与FD之间的数量关系为（2

10、）答：（1）中的结论仍然成立。证法一：如图1，在AC上截取，连结FG ，AF为公共边， FBEACD图 12143G，AD、CE分别是、的平分线及FC为公共边证法二：如图2，过点F分别作于点G，于点H FBEACD图 22143HG，AD、CE分别是、的平分线可得，F是的内心，又 可证 16、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，求的度数。GFDEACB解：将绕点A顺时针旋转，至又，又17、D为等腰斜边AB的中点，DM，DN分别交BC，CA于点E，F。（1）当绕点D转动时，求证：；（2）若，求四边形DECF的面积。分析：（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分，则，由

11、得，根据等角的余角相等得到，根据全等三角形的判定易得，即可得到结论；（2）由，则，于是四边形DECF的面积，由而可得，根据三角形的面积公式易求得，从而得到四边形DECF的面积。解：（1）连CD，如图，D为等腰斜边AB的中点CD平分，NMFDEACB在和中（2）四边形DECF的面积而四边形DECF的面积点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。18、 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，

12、求的周长。解：是等腰三角形，且MANMDCB是边长为3的等边三角形顺时针旋转使DB与DC重合在和中 的周长为619、已知四边形ABCD中，绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F（1）当绕B点旋转到时（如图1），易证图 1ABCDEFMNABCDEFMN图 2FEANMDCB图 3（2）当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。解：（1），（SAS）；，为等边三角形，（2）图2成立，图3不成立。证明图2，延长DC至点K，使，连接BKKABCDEFMN图 2则

13、， 即图3不成立，AE、CF、EF的关系是20、已知: ，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。（1）如图，当时，求AB及PD的长；（2）当变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应的大小。分析：（1）作辅助线，过点A作于点E，在中，已知，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将绕点A顺时针旋转得到，可得，求PD长即为求的长，在中，可将的值求出，在中，根据勾股定理可将的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的长

14、，进而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将绕点A顺时针旋转，得到，PD的最大值即为的最大值，故当、P、B三点共线时，取得最大值，根据可求的最大值，此时EPADCB解：（1）如图，作于点E中， 在中，PPACBDE解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将绕点A顺时针旋转得到，可得，；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于GGFPACBDE在中，可得，在中，可得，在中，可得（2）如图所示，将绕点A顺时针旋转,得到，PD的最大值，即为的最大值中，且P、D两点落在直线AB的两侧当、P、B三点共线时，取得最大值（如

15、图）PPACBDPPACBD此时，即的最大值为6 此时21、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系。图 1NMADCB图 2NMADCB图 3NMADCB（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时； （2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若，则（用、L表示）分析：（1）如果，因为，那么，也就有，直

16、角三角形MBD、NCD中，因为，根据HL定理，两三角形全等。那么，三角形NCD中，在三角形DNM中，因此三角形DMN是个等边三角形，因此，三角形AMN的周长，三角形ABC的周长，因此（2）如果，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使，连接DE（1）中我们已经得出，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，因此两三角形全等，那么，三角形MDN和EDN中，有，有一条公共边，因此两三角形全等，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为，因此Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的。（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作，三角形BDM和C

17、DH中，由（1）中已经得出的，我们做的角，因此两三角形全等（ASA）那么，三角形MDN和NDH中，已知的条件有，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道，因为，因此，因为，那么，因此，这样就构成了两三角形全等的条件三角形MDN和DNH就全等了那么，三角形AMN的周长因为，因此三角形AMN的周长解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系：；此时图 1NMADCB（2）猜想：结论仍然成立证明：如图2，延长AC至E，使，连接DE，且E图 2NMADCB又是等边三角形在与中H图 3NMADCB（SAS），在与中（SAS） 故的周长而等边的周长 （3）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线

18、上时，若，则（用x、L表示）点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。22、如图2-7-1，ABC和DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。求证： AE=BD; CF=CG.思路 证明ACEBCD。证明 ABC和DCE都是等边三角形， CB=CA， CD=CE，BCA=ECD=， BCD=ACE=， BCDACE， AE=BD。思路 证明FCDGCE。证明 由BCDDCE都是等边三角形可知 CD=CE，BCA=ECD= AC

19、D=-BCA-ECD= FCDGCE， CF=CG说明证明两条线段相等的重要方法之一就是证明它们所在的两个三角形全等。23、如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MNMD，BN平分CBE。求证：MD=MN。思路：取AD的中点P，连结PM，证明DMPMNB。证明：取AD的中点P，连结PM，则有DP=MB。 DMMN， DMA+BMN=，又由正方形ABCD 知A=， DMA+MDA=， BMN=MDA又 BN平分CBE， MBN=又由P、M分别为AD、AB的中点，ABCD是正方形，得PAM是等腰直角三角形，故DPM=。 DPM=MBN， DPMMBN， DM=MN。说明：本题中DM和

20、MN所在的三角形不全等，这时就要考虑作出它们所在的新三角形，证明这两个新三角形全等。24、如图2-7-3，ABC中，ABC=2C，BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC思路1：延长AB到E，使BD，证明AEDACD。证法1：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则E=BDE。 ABD=E+BDE=2CE又 ABC=2C， C=E AD平分BAC， 1=2，又 AD=AD， ADEADC， AC=AE。即 AC=AB+BE=AB+BD。思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，证明AEDABD。证法2：在AC上取点E，使AE=AB，连结CD。由AD平分BAC 得1=2又 AD=AD，AD

21、BADE， AED=ABC，DE=DB，又 ABC=2C， AED=2C又 AED=EDC+C， EDC=C， ED=EC， EC=BD， AB+BD=AE+EC+AC。说明：要证明AB+BD=AC，一般来说有两种方法，一种方法是作出一条线段，使其长度为AB+BD，如证法1就采用此法；另一种方法是把AC分成两部分，使其分别等于AB、BD，如证法2就采用此法。25、 如图2-7-4，ABC中，AC>AB，AD平分BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：PC-PB<AC-AB。思路： 通过构造全等三角形，把PC、PB、AC、AB集中在同一三角形中，利用三角形两边之差小于第三边这

22、一性质来证明本题结论。证明：在AC上取点E，使AE=AB，连结PE，由AD平分ABC得1=2。又 AE=AB， AP=AP，APEAPB， PE=PB，在 EPC中，PC-PE<EC， 即PC-PB<AC-AE。 PC-PB<AC-AB。说明：当要证明式子的线段比较分散时，常通过构造全等三角形，把相关线段集中起来，这样便于利用三角形的三边不等关系。26、如图2-7-5，从等腰RtABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。求证：CDF=ADE。思路1：作BCA的平分线交BD于G，证明CDGADE。 证法1：作BCA的平分线交BD于G， BC=AC，B

23、CG=A=， CBG=-CDF=ACE， BCGCAE， CE=AE，CDG和ADE中， CD=AD，DCE=A=，CE=AE， CDGADE， CDF=ADE，思路2：过A作ANAC，交CE延长线于N，证明 ADEANE。证法2：过A作ANAC，交CE延长线于N。 ACN=CBD，AC=CB， RtACNRtCBD， CDF=ANE，CD=AN=AD，又 CAE=EAN=，AE=AE， ADEANE， ADE=ANE， CDF=ADE。27、在ABC中，ACB90°，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E. （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADC

24、CEB；DEADBE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DEADBE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。 分析：（1）ADMN BEMN ADCCEB90° DACDCA90° 又ACB90° DCAECB90° DACECBACBC ADCCEB DCBE ADCE DEDCCE BEAD （2）与（1）同理 ADCCEB CDBE ADCE DECECD ADBE （3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时 与（1）（2）同理可知 CEAD，BECD DEC

25、DCE BEAD28、已知：ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边和ACM的平分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时（6分） 1) 猜想AE与EF满足的数量关系是 。（分） 2) 连结点E与边得中点，猜想和满足的数量关系是（分）3) 请证明你的上述猜想（分）（）如图（）当点在边得任意位置时：（分）此时和有怎样的数量关系，并说明你的理由？E29、已知AC平分MAN，MAN=120º，（1）在图（1）中，若ABC=ADC=90º，求证：AB+AD=AC

26、 。(4分)（2）在图（2）中，若MAN=120º，ABC+ADC=180º，则（1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？（4分）30、如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，若点在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接（1）延长交于点（如图2），求证：；求证：；（2）若直线绕点旋转到图3的位置时，点在直线的同侧，其它条件不变.此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断还成立吗？不必说明理由.题图1题图2题图3分析（1）证明：如图2.直线于点，直线于点，又为边中点，又 在中，

27、 （2）成立.如图3. 证明：延长与的延长线相交于点.直线于点，直线于点，又为中点， 又 则在中， （3）成立. 31、如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. .解：（1）答：（1分）证明：延长交于点在正方形与正方形中，（3分）（5分）（2）答：成立.（6分）证明：延长和相交于点在正方形与正方形中，8分又又（10分）99、已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作

28、垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，试判断AE与BF的位置关系，QE与QF的数量关系；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明考点：全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线分析：（1）证BFQAEQ即可；（2）证FBQDAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；（3）证AEQBDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可解答：解：（1）AEBF，QE=QF，理由是：如图

29、1，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ，在BFQ和AEQ中 BFQAEQ（AAS），QE=QF，故答案为：AEBF，QE=QF（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，AEBF，QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中 FBQDAQ（ASA），QF=QD，AECP，EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，QE=QF=QD，即QE=QF（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，AEBF，1=D，在AQE和BQD中，AQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP，FQ是斜边DE上的中线， QE=QF100、 (1) 如图(1)，已知：在AB

30、C中，BAC90°，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m, CE直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为BAC平分线上的一点,且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状.ABCEDm（图1）（

31、图2）（图3）mABCDEADEBFCm分析：（1）因为DE=DA+AE，故通过证，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD.（3）由得BD=AE，与均等边三角形，得，FB=FA，所以，即，所以，所以FD=FE，再根据，得，即，故是等边三角形.ABCEDm（图1）证明：(1)BD直线m,CE直线m BDACEA=90°BAC90° BAD+CAE=90°BAD+ABD=90° CAE=ABD又AB=AC ADBCEA AE=BD，AD=CEDE=AE+AD

32、= BD+CE 3分（图2）mABCDE(2)BDA =BAC=，DBA+BAD=BAD +CAE=180°DBA=CAEBDA=AEC=，AB=ACADBCEA AE=BD，AD=CE ADEBFCOm（图3）DE=AE+AD=BD+CE6分（3）由（2）知，ADBCEA， BD=AE，DBA =CAEABF和ACF均为等边三角形 ABF=CAF=60°DBA+ABF=CAE+CAF DBF=FAEBF=AF DBFEAF DF=EF，BFD=AFEDFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60° DEF为等边三角形.点拨：利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线

33、段相等的重要方法.三角形培优训练专题【三角形辅助线作法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一

34、点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目

35、。7、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出现一对全等三角形。8、 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的角相等，构造二个角之间的边相等1、已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围.2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.4、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等

36、腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，探究：AM与DE的位置关系和数量关系；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由5、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC6、如图，ADBC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC。 7、如图，已知在ABC内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP8、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD

37、，BD平分，求证： 9、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC10、11、 AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证.12、已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ； （2）将图1中的ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 13、如图，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于

38、点O，求证：OE=OD14、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.15、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请

39、证明；若不成立，请说明理由。OPAMNEBCDFACEFBD图图图16、 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 17、D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。_N_M_E_F_D_C_B_A（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。18、 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长。19、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到

40、时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）20、已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.21、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当

41、点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示）22、如图2-7-1，ABC和DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。求证： AE=BD; CF=CG.23、如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MNMD，BN平分CBE。求证：MD=MN。24、如图2-7-3，ABC中，ABC=2C，BAC的平分线交BC

42、于D。求证：AB+BD=AC25、如图2-7-4，ABC中，AC>AB，AD平分BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：PC-PBAC-AB。26、如图2-7-5，从等腰RtABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。求证：CDF=ADE。27、在ABC中，ACB90°，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E. （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADCCEB；DEADBE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DEADBE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等

43、量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。28、已知：ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与B、C重合），斜边和ACM的平分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边中点位置时 1) 猜想AE与EF满足的数量关系是 。 2) 连结点E与边得中点，猜想和满足的数量关系是3) 请证明你的上述猜想（）如图（）当点在边得任意位置时：此时和有怎样的数量关系，并说明你的理由？E29、已知AC平分MAN，MAN=120º，（1）在图（1）中，若ABC=ADC=90º，求证：AB+AD=AC 。（2）在

44、图（2）中，若MAN=120º，ABC+ADC=180º，则（1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？30、如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，若点在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接（1）延长交于点（如图2），求证：；求证：；（2）若直线绕点旋转到图3的位置时，点在直线的同侧，其它条件不变.此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断还成立吗？不必说明理由.题图1题图2题图331、如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论

45、.（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 32、已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h。 “若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0,可得结论h1+h2+h3h”请直接应用上述信息解决下列问题： AEDCAMPBMAFEDPCBPDMCBFE当点P在ABC内（如图2）、点P在ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证33、在RtABC中，A90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FGBC交AB于G，求证：AEBGABCDEFG34、如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC（1）求AEB的大小；CBODAEBAODCE（2）若OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O