统计假设检验和区间估计1ppt课件

1、统计假设检验概要统计假设检验概要单正态总体的统计检验单正态总体的统计检验两正态总体的统计检验两正态总体的统计检验需求阐明的问题需求阐明的问题正态总体的区间估计正态总体的区间估计(1)(1)小概率原理小概率原理( (实践推断原理实践推断原理) )以为概率很小的事件在一以为概率很小的事件在一次实验中实践上不会出现次实验中实践上不会出现, ,并且小概率事件在一次实验中并且小概率事件在一次实验中出现了出现了, ,就被以为是不合理的就被以为是不合理的. .(2)(2)根本思想根本思想 先对总体的参数或分布函数的表达式做出某先对总体的参数或分布函数的表达式做出某种假设种假设, ,然后找出一个在假设成立条件

2、下出现能够性甚小然后找出一个在假设成立条件下出现能够性甚小的的( (条件条件) )小概率事件小概率事件. .假设实验或抽样的结果使该小概率假设实验或抽样的结果使该小概率事件出现了事件出现了, , 阐明原来的假设有问题阐明原来的假设有问题, ,应予以否认应予以否认, ,即回绝即回绝这个假设这个假设. .假设该小概率事件在一次实验或抽样中并未出假设该小概率事件在一次实验或抽样中并未出现现, ,就没有理由否认这个假设就没有理由否认这个假设, , 可以接受原来的假设可以接受原来的假设. .1.1.统计检验的根本思想统计检验的根本思想统计检验概要统计检验概要利用样本检验统计假设真伪的过程叫做统计检验(假

3、设检验)小概率原理中,关于“小概率的值通常根据实践问题的要求而定,如取=0.1,0.05,0.01等, 为检验的显著性程度(检验程度).(3) (3) 显著性程度与否认域显著性程度与否认域 /2 /2X(x)接受域接受域P(|Z|z1-/2)= 否认域的大小,依赖于显著性程度的取值,普通说来,显著性程度越高,即越小,否认域也越小,这时原假设就越难否认.留意留意:否认域否认域否认域否认域 z1-/2 - z1-/2 (1) 提出待检验的原假设 和备那么假设 ;0H1H(2) 选择检验统计量选择检验统计量,并找出在假设并找出在假设 成立条件下成立条件下,该统计量所服从的分布该统计量所服从的分布;0

4、H(3) 根据所要求的显著性程度根据所要求的显著性程度 和所选取的统计量和所选取的统计量,确定一确定一个合理的回绝个合理的回绝H0的条件的条件; (4) 由样本察看值计算出统计检验量的值,假设该值落入否认域,那么回绝原假设 ,否那么接受原假设0H.0H注注 假设假设H1位于位于H0的两侧的两侧,称之为双侧检验称之为双侧检验; 假设假设H1位于位于H0的一侧的一侧,称之为单侧检验称之为单侧检验.2.2.统计检验的实施程序统计检验的实施程序另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论,呵斥犯“取伪的错误,称为第二类错误,就是犯第一类错误的概率的最大允许值.普通用 表示犯第二类错误的概率.根据

5、小概率原理否认原假设,有能够把本来客观上正确的假设否认了,呵斥犯“弃真的错误,称为第一类错误,弃真弃真取伪取伪当样本容量 一定时, 小, 就大,反之, 小, 就大.n另外,普通 13.3.两类错误两类错误 增大样本容量n时,可以使和同时减小.留意留意: 2) 确定检验统计量:成立0|/0HnXZ)1 ,0(N设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1) 总体方差总体方差2知时知时12()1.2Z H0:=0(知知); H1:01) 提出原假设和备择假设: H0:=0; H1:0,3) 对给定,由原假设成立时P(|Z| z1-/2)=得 回绝条件为|Z| z1-/2,其中,1.期望

6、的检验期望的检验单正态总体的统计检验单正态总体的统计检验 /2 /2X(x)接受域接受域P(|Z|z1-/2)=否认域否认域否认域否认域 z1-/2 - z1-/2双侧统计检验双侧统计检验Z检验检验例例:用准确方法丈量某化工厂排放的气体中有害气体含量用准确方法丈量某化工厂排放的气体中有害气体含量服从正态分布服从正态分布N(23,22),现用一简便方法丈量现用一简便方法丈量6次得一组数据次得一组数据23,21,19,24,18,18(单位单位:十万分之一十万分之一),假设用简便方法测得有害气体含假设用简便方法测得有害气体含量的方差不变量的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值能否有系统偏向问

7、用该方法测得有害气体含量的均值能否有系统偏向?分析分析 用简便方法测得有害气体含量用简便方法测得有害气体含量XN(,22),假设H0成立,那么) 1 , 0(/0NnXZ假设取=0.05,那么 P|Z|z1-/2=a, 即: P|Z|1.96=0.05,在假设成立的条件下,|Z|1.96为概率很小事件,普通以为:小概率事件在一次实验中是不会发生的,将样本观测值代入Z得,06. 3/223 nXZ|Z|1.96,根本检验根本检验H0: =0=23; 备择检验备择检验H1: 0= 23; 小概率事件在一次实验中发生了小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理故假设不合情理, 即即:否认原假设否认

8、原假设,简便方法测得均值有系统偏向简便方法测得均值有系统偏向. 2) 选择检验统计量：1) 提出原假设和备择假设: H0:=0; H1:0,3) 对给定,回绝条件为 |T| t1-/2(n-1)成立0|/0HnSXT)1n( t1 /2( 1 )tn Xf(x)/2/2接受域接受域否认域否认域否认域否认域(T(T检验检验(2) 2未知未知,的检验的检验例：从公司每月长途的帐单中例：从公司每月长途的帐单中, 随机抽取随机抽取37张张, 计算平均费计算平均费用为用为33.15元元, 规范差为规范差为21.21元元. 假定费用服从正态分假定费用服从正态分布布 , 未知未知, 要检验假设要检验假设 ,

9、),(N2230:H030:H1n/SXT)1n( t解:取检验统计量依样本计算检验统计量的值为90338. 03015.33T3721.210阐明样本支持原假设,故要接受原假设.0.0522011(1)(371)2.03,2.03tntT 接受域接受域 2) 选择检验统计量:1) 提出原假设和备择假设:3) 给定,取 H0: 2 = 02; H1: 2 02成立0|) 1(2022HSn)1n(22122212(1)(1)nn Xf(x)/2/212否认域否认域否认域否认域设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1) 2的检验的检验 未知未知)(2检验有P(1 2)=1-2所以

10、,回绝条件为2222212(1)(1)nn 或或2. 方差方差2的检验的检验例：在正常的消费条件下例：在正常的消费条件下, 某产品的测试目的某产品的测试目的总体总体XN(0,02),其中其中0=0.23.后来改动消费工艺后来改动消费工艺,出了新出了新产品产品,假设新产品的测试目的总体仍为假设新产品的测试目的总体仍为X,且且XN(,2). 重重新产品中随机地抽取新产品中随机地抽取10件件, 测得样本值为测得样本值为x1,x2,x10,计算计算得到样本规范差得到样本规范差S=0.33. 试在检验程度试在检验程度=0.05的情况下检的情况下检验验: 方差方差2有没有显著变化有没有显著变化? 解解建立

11、假设,23. 0:22020H2021:H新产品目的的方差与正常情况下产品目的的方差比较没有显著变化 .2122212(1)2.7(1)19.023nn 53.1823. 033. 0) 110() 1(222022 Sn2.718.53z1-)Z原假设确实定普通应遵照以下原那么原假设确实定普通应遵照以下原那么 要把等号放在原假设里要把等号放在原假设里. . 2) 对统计量:设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，1()1.z 1) 提出原假设和备择假设: H0:0; H1:0,3) 故 回绝条件为Z z1-,其中,nXZ/0对给定的有在H0下有,/0nXnX011/XXzznn

12、所以011()()/XXPzPznn H0:0(知知); H1:0 2) 选择统计量:1()1.z 1) 提出原假设和备择假设: H0:0; H1:0,3) 对给定, 否认域为Z- z1-, 其中nXZ/0 H0:0(知知); H1:00|/HXTSn 成成立立)1n( t1 /2( 1 )tnXf(x)/2/2接受域接受域否认域否认域否认域否认域(T(T检验检验(2) 2未知未知,的检验的检验12(1)tn类似可得:2未知未知,期望的单侧统计检验期望的单侧统计检验 H0:0; H1:0的回绝条件为的回绝条件为统计检验 H0:0; H1:0的回绝条件为的回绝条件为统计检验1(1)Ttn1(1)

13、Ttn 接受域接受域 2) 选择检验统计量:1) 提出原假设和备择假设:3) 给定,取 H0: 2 = 02; H1: 2 02成立0|) 1(2022HSn)1n(22122212(1)(1)nnXf(x)/2/212否认域否认域否认域否认域设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1) 2的检验的检验 未知未知)(2检验有P(1 0222220(1)(1)nSnS )1n(22) 选择统计量2220(1)nS 那么在H0下对给定的,有即3) 所以,回绝条件为221(1)n222211220(1)(1)(1)(1) nSnSnn 222211220(1)(1)(1)(1)nSnS

14、PnPn总体期望总体期望未知时，未知时，2的单侧假设检验的单侧假设检验接受域接受域Xf(x)否认域否认域221(1)Pn21(1)n单侧假设检验 H0: 2 02; H1: 2 16.919,回绝2202023. 0: H 例 某地域高考担任人从某年来自A市中学考生和来自B市中学考生中抽样获得如下资料: 50,545,1711SXn55,495,1522SYn知两地考生成果服从正态分布，方差大致一样,由以上资料能不能说某年来自A市中学考生的平均成果比来自B市中学考生的平均成果高.设A市考生成果XN(1,12), B市考生成果Y N(2,22),21假设检验A市中学考生:B市中学考生:两个正态总

15、体的统计检验两个正态总体的统计检验设总体XN(1,12),总体Y N(2,22),从中分别取相互独立的容量为n1,n2的两组样本X1, 和Y1, , 样本均值和样本方差分别记为.,;,2221SYSX1nX2nY(1) 12, 22知知 选择检验统计量选择检验统计量:1212221122() ()|(0,1)/X YZNnn H0:1=2的回绝条件为|Z| z1-/2 :1 2的回绝条件为Z z1-0H :1 2的回绝条件为Z20H 接接受受12=22=2, 2未知未知22221122121110 1655310 16118339210 10 2()()() .() .pnsnsSnn 解解:

16、 建立假设建立假设H0:1-20; H1:1-2 0 设总体XN(1,12),总体Y N(2,22),从中取相互独立的容量分别为n1,n2的样本X1, 和Y1, , 样本均值和样本方差分别记为.,;,2221SYSX1nX2nY均未知21,) 1 ( 选择检验统计量:) 1, 1(|2122210nnFSSFH 成立 H0:12=22; H1: 12 22 对于给定的显著性程度:1212122(1,1)(1,1)1P F nnFFnn 所以回绝条件为1212122(1,1)(1,1)FF nnFFnn 或或3. 两总体方差比的检验两总体方差比的检验类似可得22012:H 的回绝条件为112(1

17、,1)FFnn 22012:H 的回绝条件为12(1,1)FF nn 例例 假定分别抽选男生与女生各假定分别抽选男生与女生各14名进展英语检验名进展英语检验(成果如下成果如下), 假定男生与女生的英语检验成果分别服从假定男生与女生的英语检验成果分别服从正态分布正态分布 和和 , 试以试以0.05的显的显著性程度检验著性程度检验),(NX211),(NY222,:H,:H2221122210 选择检验统计量:2212227 36341 027 2899.SFS H0:12=22; H1: 12 22 对于给定的显著性程度=0.05:12121221(1,1)1.02(1,1)3.123.12 F

18、 nnFFnn2212: 0 0接接受受H H) 1, 1(|2122210nnFSSFH 成立 例例:任选任选19名工人分成两组名工人分成两组,让他们每人做同样的让他们每人做同样的任务任务,测得他们完工时间测得他们完工时间(单位单位:分钟分钟)如下如下:1221211(10 1,9 1)4.36,(10 1,9 1)0.244(9 1,101)4.10 FFF饮酒者30, 46, 51, 34, 48, 45, 39, 61, 58, 67未饮酒者28, 22, 55, 45, 39, 35, 42, 38, 20 问饮酒对任务才干能否有显著响问饮酒对任务才干能否有显著响?(显著程度显著程度

19、 )0 05. 2212SSm m = =1 10 0, ,= =1 13 39 9. . 2 21 11 1，n n= =9 9, ,= =1 12 26 6. . 0 00 00 0, ,21221 105.SFS 012112:,:. 解解：HH0120.2441.1054.36,:. 所所以以接接受受FH 0 01 12 20 01 12 2解解：H H : : = =, , H H : :12()2.24581/1/pX YTSnn 22112212111153232()().pnsnsSnn 回绝H0:1=2 , 故饮酒对任务才干有影响.2120.97510.05,(2)(17)2

20、.1098 tnnt| 2.24582.1098 T221247 936 0. ,. ,SS 1 12 2n n = =1 10 0, , X X= =1 13 39 9. . 2 21 11 1，n n = =9 9, , Y Y= =1 12 26 6. . 0 00 00 0设总体分布中含有未知参数 ,根据来自该总体的s.r.s ,假设可以找到两个统计量 ,使得随机区间 包含 到达一定的把握,那么,便称该随机区间为未知参数的区间估计.即 当 成立时, 称概率 为置信度或置信程度; 称区间 是 的置信度为 的置信区间; 分别称为置信下限和置信上限.21,),(21,121P) 10 (1)

21、,(21121,区间估计的定义区间估计的定义 选择包含的分布知函数: 构造Z的一个1- a区间：1122()1/XPzzn nXZ/)1 ,0(N 的1-置信区间:1122(,)XzXznn 设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1) 2知知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间12 ()12z 1122()1P XzXznn 即1.单正态总体数学期望的区间估计单正态总体数学期望的区间估计 /2 /2X(x)1-Z1-/2P(|Z|)=1-1-/2例例:设正态总体的方差为设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容量为根据取自该总体的容量为100的样本计算得到样本均值为的

22、样本计算得到样本均值为5, 求总体均值的置信求总体均值的置信度为度为0.95的置信区间的置信区间.解解 知知2=1, =0.05,求求 的的1-置信区间：置信区间：1122(,)XzXznn )196. 5 ,804. 4()100196. 15 ,100196. 15( 设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(2)2未知未知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间 从点估计着手构造变量: 构造T的 一个1-区间: 的1-置信区间:nSXT/)1n( t1 /2( 1 )tn Xf(x)/2/21)1(|(|2/ntTP1/21/2(1)(1)1SP XtnnSXtnn 1

23、/21/2(1),(1)SSXtnXtnnn1-例例:某种零件的分量服从正态分布某种零件的分量服从正态分布. 现从中抽取容量现从中抽取容量为为16的样本的样本, 其观测到的分量其观测到的分量(单位单位: 千克千克)分别为分别为4.8, 4.7, 5.0, 5.2, 4.7, 4.9, 5.0, 5.0, 4.6, 4.7, 5.0, 5.1, 4.7,4.5, 4.9, 4.9. 需求估计零件平均分量需求估计零件平均分量, 求平均分量的区间求平均分量的区间估计估计, 置信系数是置信系数是0.95.解解 未知未知2, =0.05,求求 的的1-置信区间置信区间:运用t分布,需求计算SX和1/21

24、/2(1),(1)SSXtnXtnnn)161931. 0131. 285625. 4 ,161931. 0131. 285625. 4( Xf(x) 构造枢轴变量: 构造Q的 一个1-区间: 解不等式得到2的1-置信区间:22) 1(SnQ)1n(2121QP/2/21-121-/2212(1)n 22(1)n 2222212(1)(1)(1)1nSPnn 2222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn (3)2的置信度为的置信度为1-置信区间置信区间例：投资的回收利用率经常用来衡量投资的风险例：投资的回收利用率经常用来衡量投资的风险. 随机随机地调查了地调查了26个年回收利润率个

25、年回收利润率(%), 规范差规范差S=1(%). 设回设回收利润率为正态分布收利润率为正态分布, 求它的方差的区间估计求它的方差的区间估计(置信系置信系数为数为0.95).解解 总体均值总体均值 未知未知,=0.05,方差的区间估计方差的区间估计.2222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn )120.13)126(,647.40)126( (1) 12, 22知知, 1- 2的的1-置信区间置信区间) 1 , 0 (/)()(22212121NnnYXZ 相对相对1- 2，构造枢轴变量，构造枢轴变量: 构造Z的 一个1-区间: 概率恒等变形，得到概率恒等变形，得到1- 2的的1-

26、置信区间置信区间:1122()1PzZz 2222121211121222(), ()X YzX Yznnnn 12()12z 设XN(1,12),Y N(2,22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为2.2.两个正态总体均值差的区间估计两个正态总体均值差的区间估计2221,;,SYSX(2) 12=22=2, 2未知未知,1- 2的的1-置信区间置信区间) 2(/ 1/ 1)()(212121nntnnSYXTP 对于1- 2，构造变量: 构造T的 一个1-区间: 变形得到1- 2的1-置信区间:12112212112211( ()(2),11()

27、(2)PPX YtnnSnnX YtnnSnn 1212(|(2)1P Ttnn 2) 1() 1(21222211 nnsnsnSp例：某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱例：某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本分别从两条流水线上抽取随机样本: 和和 , 计算出计算出 (克克), (克克), . 假设这两条流水线上罐装番茄酱假设这两条流水线上罐装番茄酱的分量都服从正态分布的分量都服从正态分布, 其总体均值分别为其总体均值分别为 , 且有一样的总体方差且有一样的总体方差. 试求总体均值差试求总体均值差 的的区间估计区间估计, 置信系数为置信系数为0.95. 1

28、221,XXX1721,YYY6 .10X5 . 9Y7 . 4, 4 . 22221SS21,21 解解 12=22=2, 2未知未知,1- 2的的0.95置信区间置信区间:1,212112211()(2)PTX YtnnSnn ( 0.4006,2.6006) (1)对于12/22 ，构造枢轴变量:(2)构造F的 一个1-区间: (3)解不等式得12/22 的1-置信区间:) 1, 1(/2122222121nnFSSF122(1,1)F nn Xf(x)/2/21212(1,1)Fnn 121-P(1F z1-/21.期望的检验期望的检验单正态总体的统计检验单正态总体的统计检验X(x)接

29、受域接受域否认域否认域 z1- 1)2) 回绝条件为Z z1-nXZ/0 H0:0(知知); H1:0)1 ,0(NX(x)接受域接受域否认域否认域 -z1- 2)3) 否认域为Z- z1-, nXZ/0 H0:0(知知); H1:00|/HXTSn 成成立立)1n( t1 /2( 1 )tnXf(x)/2/2接受域接受域否认域否认域否认域否认域(T(T检验检验(2) 2未知未知,的检验的检验12(1)tn1( 1 )t nXf(x)接受域接受域否认域否认域2未知未知,期望的单侧统计检验期望的单侧统计检验 H0:0; H1:0的回绝条件为的回绝条件为统计检验 H0:0; H1:0的回绝条件为的回绝条件为统计检验1(1)Ttn1(1)Ttn 接受域接受域 2) 选择检验统计量:1) 提出原假设和备择假设:3) 给定,取 H0: 2 = 02; H1: 2 02成立0|) 1(2022HSn)1n(22122212(1)(1)nnXf(x)/2/212否认域否认域否认域否认域设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1) 2的检验的检验 未知未知)(2检验有P(1 2)=1-2所以,回绝条件为2222212(1)(1)nn或2. 方差方差2的检验的检验接受域接受域Xf(x)1否认域否认域总体期望总