同步—必修五简单线性规划性质与基本应用

1、 一、同步知识梳理知识点1：二元一次不等式表示的平面区域。（1） 二元一次方程表示的图像是一条直线，直线将平面分成三部分。一是直线上的点，一是直线的上方表示的平面区域，一是直线的下方表示的平面区域。（2） 判定区域的方法：如果一个点的坐标满足二元一次方程则这个点在直线上。反之我们取一个特殊的点判定它是否满足不等式，如果满足则该点所在的平面区域就表示这个二元一次不等式表示的平面区域。一般对于不过原点的直线我们可以取（0,0）进行判定，如果直线过原点。我们一般取（1,0）或者（0,1）判定。（3） 如果两点分别在直线的两侧，就表示该两点代入而与一次表达式中的符号相反，即代入的表达式的乘积小于零。知

2、识点2：二元一次不等式组表示的平面区域。 （1）二元一次不等式组表示的平面区域就是每一个二元一次不等式的平面区域的公共部分。（2）如果二元一次不等式中的含等号则表示的平面区域中包含边界线。知识点3：简单的线性规划。 （1） 求线性目标函数的取值范围（2） 求可行域的面积（3） 求可行域中整点个数（4） 求线性目标函数中参数的取值范围（5） 求非线性目标函数的最值（6） 求约束条件中参数的取值范围（7） 比值问题二、同步题型分析题型一：二元一次不等式（组）的基本应用。1、下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（）答案：2、已知点，则在表示的平面区域内的点是（），答案：题型二

3、:求线性目标函数的取值范围例1、 若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）xyO22x=2y =2x + y =2BAA、2,6B、2,5C、3,6D、（3,5解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A题型三、求可行域的面积2x + y 6= 0 = 5xy 3 = 0OyxABCMy =2例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B题型四、求可行域中整点个数例3、满足|x|

4、y|2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|y|2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D题型五、求线性目标函数中参数的取值围x + y = 5x y + 5 = 0Oyxx=3例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、3B、3C、1D、1xyO解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y5重合，故a=1，选D题型六、求非线性目标函数

5、的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）2x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxAA、13，1 B、13，2C、13， D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2xy2=0的距离的平方，即为，选C题型七、求约束条件中参数的取值范围O2x y = 0y2x y + 3 = 0例6、已知|2xym|3表示的平面区域包含点（0,0）和（1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0

6、,3）D、（-3,3）解：|2xym|3等价于由右图可知 ,故0m3，选C题型八·比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。例 已知变量x，y满足约束条件则 的取值范围是（ ）.（A），6 （B）（，6，）（C）（，36，） （D）3，6解析 是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6. 答案A题型九、线性规划在实际应用问题中的应用例、有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表方式效果种类

7、轮船运输量飞机运输量粮食石油现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？答案：解：设需安排艘轮船和架飞机，则即目标函数为作出可行域，如图所示作出在一组平行直线（为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线和的交点，直线方程为：由于不是整数，而最优解中必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是，即为最优解则至少要安排艘轮船和架飞机三、课堂达标检测1、. 若则目标函数的取值范围是（）答案：2、设是正数，则同时满足下列条件：；的不等式组表示的平面区域是一个凸边形答案：六3、 原点与

8、点集所表示的平面区域的位置关系是，点与集合的位置关系是答案：在区域外，在区域内 4、点到直线的距离等于，且在不等式表示的平面区域内，则点坐标是答案：5、 给出下面的线性规划问题：求的最大值和最小值，使，满足约束条件要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是答案：求的最大值和最小值，使式中的，满足约束条件答案：解：已知不等式组为在同一直角坐标系中，作直线，和，再根据不等式组确定可行域（如图）由解得点所以；因为原点到直线的距离为，所以6、 预算用元购买单价为元的桌子和元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的倍问：桌、

9、椅各买多少才合适？ 答案：解：设桌椅分别买，张，由题意得由解得点的坐标为由解得点的坐标为以上不等式所表示的区域如图所示，即以，为顶点的及其内部对内的点，设，即为斜率为，轴上截距为的平行直线系只有点与重合，即取，时，取最大值，买桌子张，椅子张时，是最优选择7、. 画出不等式组表示的平面区域，并求出此不等式组的整数解答案：解：不等式组表示的区域如图所示，其整数解为一、专题精讲 1、设x，y满足约束条件 ，若目标函数 的值是最大值为12，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4选A；【解析】如图，阴影部分为约束条件表示的平面区域，其中，显然，当直线过点时，目标函数取得最大值12，即，=，选A.

10、针对练习、（2010年高考·安徽卷 理13）设满足约束条件，若目标函数 的最大值为8，则的最小值为_.【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，由图易知，目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立.所以的最小值为4.注意：1、这里在目标函数中出现了两个参数，一般在证明或者运算的时候要考虑两个参数对整个目标函数的影响，首先是对目标函数的斜率的影响，其次是对其表示的平面区域的影响。所以分类讨论的时候一般是以零为分界点。2、本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并根据图形建立关于参数的等式；求的最小值时，常先用乘积进

11、行等价变形，进而用基本不等式解答.2、设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )A. B.4 C. D.210、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。针对练习.( 2012年高考·北京卷 理2) 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一

12、个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A B C D 选D；【解析】题目中表示的区域为正方形，如图所示，而动点M可 以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此 ，故选D.注意：在线性约束条件下，求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题，通常转化为求其中一点(x，y)到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点是求距离最值的关键点.二、专题过关1、在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A. 5 B. 1 C. 2 D. 3 选D；【解析】 作出不等式组所围成的平面区域. 如图所示，由题意可知，公

13、共区域的面积为2；|AC|=4，点C的坐标为（1，4）代入得a=3，故选D. 注：该题在作可行域时，若能抓住直线方程中含有参数a这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确可变形为的形式，则此直线必过定点(0，1)；此时可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解. 2、若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）A B1 C D2选B；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像. 解答：可行域如图：所以，若直线上存在点满足约束条件，则，即。注、题设不等式组对应的平面区域随参数m的变化而变化，先局部后整体是突破的关键.

14、3、设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（ ）A1，3 B2， C2，9 D，9选C；【解析】区域是三条直线相交构成的三角形（如图）,其中，使函数的图象过区域,由图易知，只须区域M的顶点不位于函数图象的同侧，即不等式(a0，a1)恒成立，即4、设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是 A (1，3 B 2，3 C (1，2 D 3， 5、设为实数，若，则的取值范围是_.选A；【解析】这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图象，联系指数函数的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2，9）时，a可以取到最大

15、值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点. 23、答案；【解析】 如图10，直线，由题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线应位于直线与轴之间（包括直线及轴），即，所以的取值范围是.注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解决本题的第一突破口；另外，在直线的旋转变化中，确定关键的两个特殊位置、轴是解决本题第二突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.6、 若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（ ）A B C 1 D 2选C；【思路点拨】画出平面区域，利用的最大值为9，确定区域的边界【规范解答】选C令，则，z表示斜率为-1的直线在y轴上

16、的截距当z最大值为9时， 过点A，因此过点A，所以三、学法提炼1、如果目标函数式直线型一般在求最优解的时候都是考察截距的取值范围。如果涉及最优解有无数个的问题，往往考察目标函数的斜率与表示可性域的某一直线的斜率相等。2、如果目标函数是一次分式往往考察几何意义中的斜率式，就是可性域内任意一点到某个定点的连线的斜率的取值范围。这里如果连线中的直线倾斜角包含了90°，则范围中一定包含正负无穷的两个开区间。3、目标函数式根号下二次或者是二次式的时候通常是考察距离问题。在距离问题中有两点要引起格外的重视，一是最后的结果是到直线的距离还是两点的距离。二是不能忽略是距离还是距离的平方。 一、 能力培养综合题型一、给出平面区域如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则的值为（）答案：2、已知正数满足：则的取值范围是 答案；【解析】条件可化为：. 设，则题目转化为：已知满足，求的取值范围.作出（）所在平面区域（如图），求出的切线的斜率，设过切点的切线为， 则，要使它最小，须.的最小值在处，为. 此时，点在上之间. 当（）对应点时， ，的最大值在处，最大值为7. 的取值范围为， 即的取值范围是 学法升华一、 知识收获1、 理解线性规划的基本概念2、 掌握线性规划中的基本解题技巧3、 几种常见的形式的线性规划的处理技巧4、 线性规划和实际问题的联系二、