数值计算方法(宋岱才版)课后答案

1、第一章绪论一 本章的学习要求（ 1）会求有效数字。（ 2）会求函数的误差及误差限。（ 3）能根据要求进行误差分析。二 本章应掌握的重点公式（ 1）绝对误差：设x 为精确值，x 为 x 的一个近似值，称exx 为 x 的绝对误差。（ 2）相对误差： ere。x（ 3）绝对误差限：exx 。（ 4）相对误差限：rxx 。xx（ 5）一元函数的绝对误差限：设一元函数fx0, 则dfx 。fdx（ 6）一元函数的相对误差限：rf1dfx。fdx（ 7）二元函数的绝对误差限：设一元函数则f。fx, y0,fyy（ 8）二元函数的相对误差限：f1fxf。rfxyy三 本章习题解析1. 下列各数都是经过四舍

2、五入得到的近似值， （ 1）试指出它们有几位有效数字， （ 2）分别估计 A1X1 X2X3 及A2X2的相对误差限。X4x1 1.1021, x20.031, x3385.6, x456.430解：（ 1） x1有 5 位有效数字， x2有 2 位有效数字， x3有 4 位有效数字，x4 有 5 位有效数字。（2） A1x1x2 x3, A1x2 x3 ,A1x1 x3, A1x1 x2 ,由题可知： A1为 A1 的近似值，x1x2x3x1 , x2 , x3分别为 x1, x2 , x3 近似值。所以A1r A1A11A1x1A1x2A1x3A1X 1X 2X 31x2x3110 4x1

3、 x3110 3x1 x2110 10.215x1 x2 x3222A2X2 ,则有 A21, A2x22, 同理有 A2为 A2 的近似值， x2， x4为 x2 ，X 4x2x4x4x4x4 的近似值，代入相对误差限公式：A2rA2A21A2X 2A2X 4A2X 2X 4X 4113X 211035102210X 2X2X442. 正方形的边长大约为 100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过1cm 2 ?解：设正方形的边长为x ，则面积为 Sx2 ， ds2x ，在这里设 x 为边长的近似值，S 为dx面积的近似值：由题可知：sdsx1dx即： 2xx1推出：x10.005cm 。20

4、03. 测得某房间长约L =4.32m，宽约为 d =3.12m，且长与宽的误差限均为0.01m，试问房间面积 S=Ld 的误差限和相对误差限分别为多少？解：设 s ld则有：sd ，sl 。在这里 l ，d ，S分别为 l ， d ， s 的近似值：ldsslsd d ll d3.12 0.014.32 0.01 0.0744cm2ldS0.0744相对误差限为： r S0.0055。S4.32 3.124. 下列公式如何计算才比较准确：e2 x1(1) 当 x 的绝对值充分小时，计算2；（ 2）当 N的绝对值充分大时，计算N11N1x2 dx ；（ 3）当 x 的绝对值充分大时，计算x1x

5、 1。xx2 x2 x2 x4 xx3 xxe1e1e1= e ee解：（ 1）当 x0时， e1=2 xx2xxxxx2 e 12e e e2e e e3xxx2x2 x=eexe eexxexe2e2 eN 11N1（2）当 N时，2 dx = argtgx= argtgN1 argtgNN 1XN= arg tg11 NN1x1x11111xxxx(3) 当 x时，x=xxxx11xxxxx=2。22xxx115.列 yn满足递推关系yn =10 yn 1-1 ， n=1,2, ，若 y 0 =21.41，计算到 y10 时误差有多大？这个计算数值稳定吗？解：已知准确值y02，近似值 y

6、01.41，设他们的误差为0y0y0 ，则有：1y1y110y01 10 y01 =10 y0y010 02y2y210 y1110 y11 =100 y0y01000y10y1010y9110y91=10y0y010以此类推所以1010 0101010212218=1021.411010106.计算 f6，取21.4 ，直接计算和用1来计算，哪一个最好？2 -13322解：依题意构造函数fxx1，则 f Ix6x5，由绝对误差公式1ffxx=61.4 1521.460.0124110 1 =0.00307227.求二次方程 x2 -16x+1=0 的较小正根，要求有3 位有效数字。解：由求根

7、公式：x161624 。所以。 x1863 ， x2863 对比可知：2较小的根为 x2863 ，由相近数相减原理则有：x2 86386386310.06278638638. 如果利用四位函数表计算 1 cos20 ，试用不同方法计算并比较结果的误差。解： 1cos2010.9940.0061cos201sin 2 200.0349 26.092 10 4cos201.9949. 设 x 的相对误差限为，求 x100 的相对误差限。解：由题意可知： 设 f xx100 ，则有 f Ix 100X 99 在这里设 x 为 X 的近似值， f为 f的近似值，由已知x 的相对误差限为。99所以：ff

8、f Ixx100xx100x100ffx100xx10. 已知三角形面积S= 1 absinc,其中 c为弧度，满足0<c<，且 a,b,c,的误差分别为22a ,b ，c 。证明面积误差s满足sa +b +c 。sabc解：由误差定义：ssasbscs1s1abc，又因为：b sin c ，a sin ca2b2s1 ab cosc ，代入上式可得：s1 b sin c a1 a sin cb1 ab cosc cc22221b sin c1asin c1s22ab coscab2c ，两边同除以 s 可得： s111absin cab sin cabsin c222约分可得：s

9、abc则有： tgc >c>0. ，sab， 因为： 0<c<tgc2所以命题sabcsab成立。c第二章插值法一 本章的学习要求（ 1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。（ 2）会应用插值余项求节点数。（ 3）会应用均差的性质。二 本章应掌握的重点公式（ 1）线性插值： L1 xl 0xy0l1x y1 。（ 2）抛物插值： L1xl0xy0l1xy1l2xy2 。（ 3） n 次插值： Lnnxlkxyk 。k0（ 4）拉格朗日插值余项：RnxfxLnxf n 11 x。nn1!（ 5）牛顿插值公式：N Xf x0f x0 , x1x x0f x0 , x

10、1xnx x0x x1x xn 1 。nfxj（ 6） f x0 , x1 , xn。x x0x x1x xj 1 x xj 1j 1x xn（ 7） f x0 , x1 , xnfn。n!（ 8）牛顿插值余项：RnxfxNnxfx0 , x1xnn 1x 。三 本章习题解析1. 给定 x, f x的一系列离散点（1，0），（ 2， 5），（ 3，6），（ 4，3），试求 Lagrange插值多项试。解：设所求插值多项式为p xL 3Xl 0 xy0 l 1 xy1l 2 x y2，且已知：x0 1， y00， x12，y15， x23，y26， x34， y33 ，代入插值基函数公式：可得：

11、 l 0xx1xx2xx3=xx1x0x2x0x3x0l 1xx0xx 2x x3=xx0x1x2x1x3x1l 2xx0xx1xx3=xx0x2x1x2x3x2x2x3x4123x1x3x4112x1x2x4211化简代入 p x 得 :p xx34x232. 若 f x2x63x5x31，求 f 30,31 L 36， f 30 ,31 L 37。解:由 f 6x2 6!，所以 :f62 6 ! ，f 7xf 70. 由均差的性质 ( 三)f62 6!2 ， f 30 ,3137f70可知 :f 30 ,31 L 36L06!7!6!7!3. 给定函数表xi012345fx i-7-452

12、665128（1）试用 Lagrange 插值法求一个三次插值多项式L3X，并由此求f0.5的近似值。（2）试用 Newton 插值公式求一个三次插值多项式N3X，并由此求f0.5的近似值。解： (1)n3 ，取 0.5 附近的 4 个点为宜。故取，x00， y07， x11， y14， x22, y25 ， x33，y3 26 。则L 3X l 0 xy0l 1 x y1l 2 xy2，按照习题1 求出插值基函数。代入 L3 X 。可得：3 X2x 7 ，所以：f 0.5137 5.8752 1Lx322（ 2）设牛顿插值多项式为N 3 xf x0f x0, x1x x0f x0, x1,

13、x2x x0x x1f x0, x1, x2, x3x x0 x x1x x2，列差商表：xiyi一阶插商二阶插商三阶插商0-71-4325933262161所以： N3X73 x03 x0x1x0x1 x2x32x7 =-5.875nkk, n 其中 l j4.设 xj 为互异节点 （ j=0,1,2,n ）求证： j 0x jl jxx，k =0,1,2,x为 n 次插值基函数。证明：根据题意：设ky jkfxx，所以有fx jx j，nknny j结合上式所以有：j 0x j l jxj0fx j l jxj 0l jx= L n x j，由余项定理可知：fx jL nx jRnx j，

14、且由定理二可知，当0jn 时， Rnxj0所以就有 fx jLnx jx j k。nkk在这里令变量 x jx，所以命题：j 0x jl jxx ，成立。5.设 f xc 2 a,b且 fafb0 ，求证： max fx1ba2max f IIx。ax b8a xb证明：由题可知：x 0a, y00 ， x1b, y10 ，故可构造线性插值多项式即为下式：L1 Xl 0xfx0l 1xf x1，记为（ 1）式，因为 fxL1XR1 x ，记为（ 2）式，其中R1xf IIxaxb，记为（ 3）2!式，将（ 1）（ 3）代入（ 2）整理：IIL1 XR1 xxbxaff xa b f ab a

15、f bR12!x a x bIIII所以： fxfxax bf这里取 xabmax xaxb代2!2!2a xbII2fba1再放缩得 max fxba2max f IIx入，可推出： fx2!4ax b8ax b6. 若 f xanxnan 1xn 1a1x a0 有 n 个 不 同 实 零 点 x1, x2 ,Lxn , 证 明 ：k0,0kn2nxj11 f Ix jann1j, k证明：由题可知：fx有 n 个不同实零点，故fx 还可以表示成根形式的多项式，即：f xan x x1x x2 L x xn ；Ifxfx由导数的定义可知：jfx jlimxx jxx jfxlim an x

16、x1x x2x jx j 1x xnlimx jx1xx x j xxx j= anx jx1xjx2x jx j 1x jx j 1x jxn在此设：xxk ；k1x jnx jnIaxxxxxxxxj1nj1j1jj 1jj 1jnfx jn11x1, x2,xn1，记为（ 1）式anann1 !当 kn 1时，n 1xn1 ! ，则（ 1）变为1 ；ax当 0kn2 ，则（ 1）式变为 0，综上所述：k0,0kn2x jnIa1n1j 1n, kfx7. 给定函数表xi-2-10123fx j-5111725已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。解：用牛顿

17、法：NXfx0fx0 , x1 xx0f x0 , x1 ,x2 ,xx0xx1+f x0 , x1, x2 , x3 , x4 , x5x x0x x1x x2x x3x x4 ，列插商表：xifxi一阶插商二阶插商三阶插商四阶插商五阶插商-2-5-116010-311001276310325186100NX56(x2)3(x2)( x1)( x2)(x1)(x0)x3x 1，为三次。8.对函数 fx， gx及任意常数 a,b, 证明：af xbg xx0 , x1 , xnaf x0 , x1 , xnbg x0 , x1 , xn 。证明：由高等数学的知识，我们构造函数FXafxbg x

18、，于是就有下式成立：af x bg xx0 , x1, xnF x x0 , x1 , xnnFx jj 0x jx0x jx1x jx j 1x jx j 1x jxnnafx jbgx jj 0x jx0x jx1x jx j 1x jx j 1x jxn由分式法则：nfxjngxjax x x xx x x xx xbx x x xx x x xx xj 0j 0j0j1jj 1jj 1jnj0j1jj 1jj 1jn= afx0 , x1xnbgx0 , x1 ,xn ，所以命题成立。10.给定函数表0.00.20.40.60.8xi1.000001.221401.491821.822

19、122.22554f xi试分别用 Newton 前插值公式和Newton 后插值公式计算f 0.05 的近似值。分析： 基于本题容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同 学 可 自 行 解 答 ， 分 别 代 入 Newton前插值公式和Newton 后 插 值 公 式 可 得f0.05 =1.05126.11.若要给出 f xcosx ， x0,的一按等距步长h 分布的函数表，并按线性插值计算2任何 x 0,的 cos x 的值。问当 h 取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过14 。2210分析： 基于本题容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出h 0.02 。12. 设 f x c2n 2 a, b ，采用 Lagrange 插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项R xf x H 2 n 1 xf 2 n222n2 !n 1 x 。分析： 基于本题容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，将定理2 代入余项公式即可求得，在此不做说明。13. 求不超过3 次的多项式 Hx ，使其满足 H19，H I115，H 11，H I11 。分析： 基于本题容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习