大一轮复习配套(备考基础查清+热点命题悟通)：第七章立体几何

1、第七章立 体 几 何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1多面体的结构特征(1)棱柱(2)棱锥(3)棱台棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分2旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45°(或135°)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线

2、段长度在直观图中变为原来的一半4三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线1台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点2空间几何体不同放置时其三视图不一定相同3对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法试一试1沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()解析：选B给几何体的各顶点标上字母

3、，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B(而不是A)图1图22用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长为_ cm.解析：抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为116，设半径分别为r,4r.设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r、4r.根据相似三角形的性质得，解得l9.所以，圆台的母线长为9 cm.答案：91由三视图还原几何体的方法 2斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”3按照斜二测画

4、法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系S直观图S原图形，S原图形2S直观图4转化与化归思想利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想练一练1如图是两个全等的正三角形，给定下列三个命题：存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；存在圆锥，其正视图、侧视图如图其中真命题的个数是()A3B2C1 D0解析：选A对于，存在斜高与底边长相等的正四棱锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形对于，存在如图所示的

5、三棱锥S ­ABC，底面为等腰三角形，其底边AB的中点为D，BC的中点为E，侧面SAB上的斜高为SD，且CBABSDSE，顶点S在底面上的射影为AC的中点，则此三棱锥的正视图与侧视图是全等的正三角形对于，存在底面直径与母线长相等的圆锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形所以选A.2已知正三角形ABC的边长为2，那么ABC的直观图ABC的面积为_解析：如图，图、图所示的分别是实际图形和直观图从图可知，ABAB2，OCOC，CDOCsin 45°×.所以SABCAB·CD×2×.答案：考点一空间几何体的结构特征1用任意一个平面截一个几何体，

6、各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A圆柱B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体选C.2下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选DA错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若ABC不是直角三角形，或ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥

7、；C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾 图1图23设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的答案： 类题通法解决此类题目需准确理解定义，把握几何体的结构特征，并学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出反例否定

8、即可考点二几何体的三视图典例(2013·四川高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是() 解析由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.答案 D类题通法根据几何体画三视图，要严格按以下几点执行(1)三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左右两边，俯视图在正视图的下边(2)注意实虚线的区别针对训练1(2014·山西模拟)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为()A4 B2C2 D.解析：选B依题意得，该几何体的侧视图是边长分别为2和的矩形，因此其侧视图的面积为2，

9、选B.2(2014·吉林质检)已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中ABAC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是_(把你认为正确的图的序号都填上)解析：直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为；直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为；直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为；直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为.答案：考点三几何体的直观图典例如图所示，ABC是ABC的直观图，且ABC是边长为a的正三角形，求ABC的面积解建立如图所示的坐标系xOy

10、，ABC的顶点C在y轴上，边AB在x轴上，把y轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC2OC，A，B点即为A，B点，长度不变已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得，所以OCaa，所以原三角形ABC的高OCa，所以SABC×a×aa2.本例若改为“已知ABC是边长为a的正三角形，求其直观图ABC的面积”应如何求？解：由斜二测画法规则可知，直观图ABC一底边上的高为a××aSABC×a×aa2.类题通法对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S之间的关系SS，能更快捷地进行相关问题的计算

11、针对训练等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_解析：OE 1，OE，EF，直观图ABCD的面积为S×(13)×.答案：第二节空间几何体的表面积与体积1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31求组合体的表面积时：组合体的

12、衔接部分的面积问题易出错2由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误3易混侧面积与表面积的概念试一试1若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A(2)(cm2)B4(2)(cm2)C6(2)(cm2) D8(2)(cm2)解析：选C由三视图可知原几何体是一个半圆锥，其表面积S××22××2××4×36(2)(cm2)2.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为()A. B1C. D.解析：选A根据三视图可知该几何体是

13、一个高为的三棱锥，所以该几何体的体积V××.3若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S3×4×22×2×24×2×24×6×(26)×2×27216.答案：72161求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化

14、为可计算体积的几何体2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，正方体的外接球，则2Ra；正方体的内切球，则2Ra；球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.3旋转体侧面积问题中的转化思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法练一练1(2014·皖南八校联考)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，则这个几何体的体积是(

15、)A8B7C2 D.解析：选D依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积V×1.2(2013·福建高考)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R2，所以该几何体的表面积为4R24()212.答案：12考点一几何体的表面积1(2013·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A180B200C220 D240解析：选D由三视图可知，此几何体是一个横放的直四棱柱

16、，底面梯形的面积为20，侧面面积为2×102×5×108×10200，故四棱柱的表面积为2×20200240.2(2013·陕西高考改编)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_.解析：此几何体是一个半球，所以表面积为球的表面积的一半加上底面的面积，球半径为1，故所求表面积为S23.答案：33(2014·江西八校联考)若一个圆台的正视图如图所示，则其表面积等于_解析：由图知圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，母线长为l，则圆台表面积为(rr)l(r2r2)53.答案：53类题通法以三视图为载体的几何体的表面积问题的求法(1

17、)恰当分析给出的三视图(2)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系(3)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理考点二几何体的体积典例(1)如图所示，已知三棱柱ABC ­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1 ­ABC1的体积为()A.B.C. D.(2)(2013·新课标)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88C1616 D816解析(1)三棱锥B1 ­ABC1的体积等于三棱锥A ­B1BC1的体积，三棱锥A ­B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××.(2)根

18、据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4×22×4168.答案(1)A(2)A 类题通法求解几何体体积的策略及注意问题(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征针对训练(2014·绍兴模拟)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面

19、截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_解析：根据三视图，我们先画出其几何直观图，几何体由正方体切割而成，即正方体截去一个棱台如图1所示，把棱台补成锥体如图2，V棱台2×2××4×1×1××2×，故所求几何体的体积V23.答案：考点三与球有关的切、接问题与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点.命题角度多变.归纳起来常见的命题角度有：(1)直三棱柱的外接球；(2)正(长)方体的外接球；(3)正四面体的内切球；(4)四棱锥的外接球；(5)正三棱柱的内切球.角度一直三棱柱的外接球1(2

20、013·辽宁高考)已知直三棱柱ABC ­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A.B2C. D3解析：选C如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .角度二正方体的外接球2(2013·合肥模拟)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；2R2(R为球的半径)，R，球的体积VR34.答

21、案：4角度三正四面体的内切球3(2014·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14··a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即r·aa，因此内切球表面积为S24r2，则.答案：角度四四棱锥的外接球4四棱锥P­ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为()A9 B3C2 D12解析：选D该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.

22、由直线EF被球面所截得的线段长为2，可知正方形ABCD对角线AC的长为2，可得a2，在PAC中PC 2，球的半径R ，S表4R24×()212.角度五正三棱柱的内切球5(2013·南昌模拟)点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则·的取值范围是()A0,2 B0,3C0,4 D2,2解析：选C由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则·()·()2·()·|21，且1|OP|，·0,4类题通法解决与球有关的切、接问题的方法(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问

23、题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系(2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题第三节空间点、直线、平面之间的位置关系1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内作用：可用来证明点、直线在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面作用：可用来确定一个平面；证明点线共面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线作用：可用来确定两个平面的交线；判断或证明多点共线；判断或证明多线共点公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行作用：

24、判断空间两条直线平行的依据2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：(2)异面直线所成的角：定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个1异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直线与平面的位置关系在判

25、断时最易忽视“线在面内”试一试1下列说法正确的是()A若a，b，则a与b是异面直线B若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C若a，b不同在平面内，则a与b异面D若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：选D由异面直线的定义可知选D.2若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()AbBbCb或b Db与相交或b或b解析：选Db与相交或b或b都可以1求异面直线所成角的方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法(2)补形法：即采用补形法作出平面角2证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线

26、(或点)在此平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合3证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上4证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点练一练1如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选DA，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面2.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为_解析：如图连接BA1.BA1CD1，A1BE为所求在A1BE中，

27、设AB1，则AA12，A1B，A1E1，BE.cosA1BE.答案：考点一平面的基本性质及应用1(2013·安徽高考)在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析：选A选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的2下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合其

28、中正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选C对于，未强调三点不共线，故错误；正确；对于，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故正确；对于，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故错误3(2013·南京模拟)如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：EF，HG，DC三线共点证明：连接C1B，HE，GF，如图所示由题意知HC1綊EB，四边形HC1BE是平行四边形，HEC1B.又C1GGC，CFBF，故GF綊C1B，GFHE，且GFHE，HG与EF相交，设交点为K，则KHG.又HG平面D1C

29、1CD，K平面D1C1CD.KEF，EF平面ABCD，K平面ABCD.平面D1C1CD平面ABCDDC，KDC，EF，HG，DC三线共点类题通法1证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明2证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件要完善考点二空间两直线的位置关系典例(1)(2013·江西省七校联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析依据题意，b，c分别为a在，内的射影，可判断b，c相

30、交、平行或异面均可答案D(2)已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点求证：BC与AD是异面直线；求证：EG与FH相交证明假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为，则B，C，A，D.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾所以BC与AD是异面直线如图，连接AC，BD，则EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，则EFGH为平行四边形又EG，FH是EFGH的对角线，所以EG与HF相交类题通法1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从

31、而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线针对训练若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交解析：选B如图，设lA，内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l异面考点三异面直线所成的角典例(2013·福州模拟)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析连接BC1

32、，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，设AB1，则AA12，A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.答案D在本例条件下，若点P在平面A1C1内且不在对角线B1D1上，过点P在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成角，且.这样的直线可作几条？解：在平面A1C1内作m，使m与B1D1相交成角BDB1D1，直线m与BD也成角即m为所求且m与BD是异面直线，当时，m只有一条，当时，这样的直线有两条类题通法用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角

33、形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角针对训练如图所示，点A是平面BCD外一点，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF，则异面直线AD和BC所成的角为_解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，故EGBC且EGBC1，FGAD，且FGAD1.即EGF为所求，又EF，由勾股定理逆定理可得EGF90°.答案：90°第四节直线、平面平行的判定与性质1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此

34、平面平行(线线平行线面平行)la，a，l，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l，l，b，lb2平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，b，ab1直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行

35、，实质上也可以相交试一试1下列说法中正确的是()一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；如果直线l和平面平行，那么过平面内一点和直线l平行的直线在内ABC D解析：选D由线面平行的性质定理知正确；由直线与平面平行的定义知正确；错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面2设l，m，n表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：若ml，且m，则l；若ml，且m，则l；若l，m，n，则lmn；若m，l，n，且n，则lm.其中正确命题的个数

36、是()A1 B2C3 D4解析：选B易知正确；错误，l与的具体关系不能确定；错误，以墙角为例即可说明；正确，可以以三棱柱为例说明故选B.1转化与化归思想平行问题中的转化关系2判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面练一练1a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，现给出四个命题 a a其中正确的命题是()A BC D解析：选C正确错在与可能相交错在a可能在内2如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1

37、D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.解析：由平面HNF平面B1BDD1知，当M点满足在线段FH上有MN平面B1BDD1.答案：M线段FH考点一线面平行、面面平行的基本问题1有互不相同的直线m，n，l和平面，给出下列四个命题：若m，lA，Am，则l与m不共面；若m，l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若m，n是相交直线，m，m，n，n，则；若l，m，则lm.其中真命题有()A4个B3个C2个 D1个解析：选B由异面直线的判定定理，易知是真命题；由线面平行的性质知，存在

38、直线l，m，使得ll，mm，m，l是异面直线，l与m是相交直线，又nl，nm，nl，nm，故n，是真命题；由线面平行的性质和判定知是真命题；满足条件l，m，的直线m，l或相交或平行或异面，故是假命题，于是选B.2(2013·济宁模拟)过三棱柱ABC ­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1 平行的直线共有_条解析：过三棱柱ABC ­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条答案：6类题

39、通法解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意事项(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确考点二直线与平面平行的判定与性质典例(2013·新课标)如图，直三棱柱ABC ­A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB2，求三棱锥C ­A1DE的体积解(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面

40、A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)因为ABC ­A1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2得ACB90°，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VC ­A1DE××××1.在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得DM平面A1ACC1？解：存在当M为BC1的中点时成立证明如下：连接DM，在ABC1中，D，M分别为AB，BC1的中点DM綊AC1，又DM平面A1ACC1AC1

41、平面A1ACC1，DM平面A1ACC1.类题通法证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；(2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可针对训练(2014·长春三校调研)如图，已知四棱锥P ­ABCD的底面为直角梯形，ABCD，DAB90°，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中点(1)求证：AMCM；(2)若N是PC的中点，求证：DN平面AMC.证明：(1)在直角梯

42、形ABCD中，ADDCAB1，AC，BC，BCAC，又PA平面ABCD，BC平面ABCD，BCPA，又PAACA，BC平面PAC，BCPC.在RtPAB中，M为PB的中点，则AMPB，在RtPBC中，M为PB的中点，则CMPB，AMCM.(2)如图，连接DB交AC于点F，DC綊AB，DFFB.取PM的中点G，连接DG，FM，则DGFM，又DG平面AMC，FM平面AMC，DG平面AMC.连接GN，则GNMC，GN平面AMC，MC平面AMC.GN平面AMC，又GNDGG，平面DNG平面AMC，又DN平面DNG，DN平面AMC.考点三平面与平面平行的判定与性质典例(2013·陕西高考)如图

43、，四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心， A1O底面ABCD，ABAA1.(1)证明：平面 A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD ­A1B1D1的体积解(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABD­A1B1D1的高又AOAC1，AA1，A

44、1O1.又SABD××1，VABD ­A1B1D1SABD×A1O1.类题通法判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(，)；(3)利用线面垂直的性质(l，l)针对训练如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点求证：(1)平面AD1E平面BGF；(2)D1EAC.证明：(1)E，F分别是B1B和D1D的中点，D1F綊BE.四边形BED1F是平行四边形，D1EBF；又D1E平面BGF，BF平面BGF，D1E平面BGF.FG是DAD1的中位线，FGAD1

45、；又AD1平面BGF，FG平面BGF，AD1平面BGF.又AD1D1ED1，平面AD1E平面BGF.(2)连接BD，B1D1，底面是正方形，ACBD.D1DAC，D1DBDD，AC平面BDD1B1.D1E平面BDD1B1，D1EAC.第五节直线、平面垂直的判定与性质1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形

46、语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l1证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视3面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误试一试1“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件2若m

47、，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是()A若，m，则mB若mn，m，则nC若m，m，则D若m，且n与，所成的角相等，则mn解析：选D容易判定选项A、B、C都正确，对于选项D，当直线m与n平行时，直线n与两平面，所成的角也相等，均为0°，故D不正确3若平面平面，平面平面直线l，则()A垂直于平面的平面一定平行于平面B垂直于直线l的直线一定垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直线lD垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直解析：选D对于A，与可以相交，B中l与可以垂直、斜交、平行或在平面内，对于C，垂直于的平面与l平行或相交故选D.1转化与化归思想垂直关系2判定线面

48、垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质3判定线线垂直的方法：(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a，bab；(3)线面垂直的性质：a，bab.4判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.练一练1.如图，O为正方体ABCD ­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1DBAA1CA1D1DA1C1解析：选D由题易知，A1C

49、1平面BB1D1D，又OB1平面DD1B1B，A1C1B1O.2已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；.当满足条件_时，有m.(填所选条件的序号)解析：若m，则m.故填.答案：考点一垂直关系的基本问题1(2014·郑州模拟)设，分别为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l不能推出l.因此“l”是“”成立的充分不必要条件，选A.2(2013·合肥模拟)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，有以下四个命题mm其中正确的命题是()A BC D解析：选C对于，直线m与平面可能平行或相交；对于，直线m可能也在平面内而都是正确的命题，故选C.3如图，PAO所在平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面PBC，其中真命题的序号是_解析：AE平面PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正确，AEPB，AFPBEFPB，故正确，若AFBCAF平面PBC，则AFAE与已知矛盾，故错误，由可知正确答案：类题通法解决此类问题常用的方法(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；(2)否定命题时只需举一个反例；(3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方